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QUATRIEM E LIVRE.

Des Angles.
A

PRE's avoir parlé des Lignes perpendiculaires

des Obliques, des Paralleles, & de celles qui font terminées à une circonference, l'ordre naturel demande que nous parlions des Angles, qui sont une espece de surface.

DEFINITION. L'Angle est une surface indéterminée suivant få longueur , qui est celle des lignes qui le comprennent; & déterminée par la rencontre de ces deux lignes en un point qu'on appelle le Sommet, & par la partie d'une circonference qui a ce Sommet pour centre. Ainsi l'espace

D DBACE, eft

В. un Angle dont le sommet est le point A, les lignes ACE, en font

E les côtés; & la portion de circonference DE, qui est d'un eertain nombre de degrés, est la mesure de cet Angle.

L'Angle se designe ordinairement par trois lettres, dont celle du milieu marque le sommet. Mais il est important de bien remarquer que pour mesurer cet angle, on peut se servir de la portion de la circonference BC, laquelle a autant de degrés que la portion DE, & qu’ainsi l'angle BAC, en-tant qu'Angle,

n'est

DB A, A.

с

n'est point different de l'angle D A E; les côtés
du dernier , sont à la vérité plus longs, mais la
mesure de l'angle est la même , & contient pa-
reil nombre de degrés. De sorte que si l'angle
DAE, contient 25 degrés, l'angle BAC, est
pareillement un angle de 25 degrés, & il n'arri-
veroit aucun changement à sa mesure, qui seroit
toûjours de 25 degrés, quand les côtés DA; AE,
feroient prolongés à l'infini.
Si les deux côtés d'un an-

B
gle font pris égaux, l'angle
s'appelle Isolcele. En ce
cas, si l'on joint les extré-
mités de ces deux côtés

par une ligne droite, il est visible que cette ligne sera la corde d'un arc, qui aura pour raions les côtés de l'angle:

Si les côtés sont inégaux, & que de l'un, I'on mene une perpendiculaire sur l'autre, cette ligne sera pour lors Sinus de l'angle; ainfi dans cette seconde figure, la A ligne B C, est Sinus, &

с dans la premiere, la ligne BC, est corde. Que fi cette ligne

B qui joint les côtés, n'est ni Corde ni Sinus ; comme en cette derniere figu- À re,on l'appelle fim-? plement la base de l'angle, qui est un nom commun à toutes les lignes qui joignent les côtés.

С

B

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1

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Cela donne trois manieres de mesurer les angles, par les Arcs, par les Sinus, par les Cordes; mais il est évident que la maniere absoluë & naturelle de mesurer les angles, est de considerer la grandeur de l'arc; c'est-à-dire, le nombre de degrés qu'il contient. C'est par là qu'on a divisé l'angle en droit, aigu, obtus.

L'angle droit est un angle de godegrés, d'où s'ensuit qu'une ligne qui tombe perpendiculairement fur une autre, fait deux angles droits; par exemple, la ligne Ac, tombant perpendiculairement fur BD, fait d'une part l'angle ACD, & de l'autre l'angle ACB, qui sont cha- B cun un angle de 90 degrés, puisque du point C, décrivant une demicirconference, elle se trouvera divisée en deux parties égales; c'est-à-dire en deux arcs de 90 degrés chacun, par la troisiéme Propofition du Livre precedent. Que fi la ligne AC,

A tombe obliquement

sur la ligne BD, comme en cette seconde figure, elle fait deux angles iné

B gaux : A CD, qui a moins de 90 degrés, & qui se nomme Angle aigu, & ACB, qui a plus de 90 degrés, & qui se nomme Angle obtus. Mais il est bien visible que ces deux angles inégaux pris ensemble, valent la demi-circonference, c'est-à-dire autant que deux angles droits. Ou fi vous voulés, 180 degrés, qui font la moitié des 360 degrés de la circonference entierc.

с

1

PREMIERE PROPOSITION.
Les angles opposés au sommet font égaux.
Soient les deux lignes

B
BAE, CAD, qui se cou-
pent au point X. Les an-

F
gles B AC, DA E; font
dits oppofés au sommet
& de même les angles
BAD, CAE.

Il faut démontrer que l'an-
gle B AC, est égal à l'an-

H
gle DAE, & que l'angle
BAD, est égal à l'angle

D

NE CAE. Du centre A, soit décrit un cercle de tel intervalle qu'on voudra. Il n'y a qu'à faire voir que L'arc FG, est égal à l'arc Hl. Or cela est visible de foi-même : car GFH, est une demi-circonference, ou 180 degrés; FHI, autre demi-circonference; l'une & l'autre a l'arc FH, commun : ainsi fi l'on le retranche, reste d'un part l'arc GF, & de l'autre HI, qui ne peuvent manquer d'être égaux. On démontre avec la même facilité, l'égalité des deux autres angles.

SECONDE PROPOSITION.
Si l'on mene de diffe-
rens côtés plusieurs li-
gnes aboutissant toutes
au même point, en quel-

que nombre

qu'elles

soient, tous les angles
qu'elles comprendront,
vaudront ensemble qua-
tre angles droits.

Car du point de ren-
contre décrivant une cir-

conference, elle fera la mesure de tous ces differens angles, & par consequent tous ensemble vaudront 360 degrés, ou quatre fois 90 degrés, c'est-à-dire quatre angles droits.

1. SECTION.

De la maniere de confiderer les Angles par leurs Sinusa

Quand on compare deux angles l'un avec l'autre, on peut considerer l'égalité des angles mêmes, l'égalité de leurs Sinus, & l'égalité des côtés que l'on choisit pour raion. Or deux de ces égalités données, donnent la troisiéme.

TROISIEME PROPOSITION. Si deux angles ont le raion égal., & le Sinus égal; ils sont eux-mêmes égaux.

Soient deux angles ABD, EFH. Soient les raions BA, FE égaux, & soient ausi égaux les Sinus AC, E G. Il faut démon

B. ue

les arcs AD, EH, font égaux, d'où s'ensuit l'égalité des angles.

Puisque les deux raïons font égaux, les deux cercles qui ont les points B, F, pour F centres, font égaux. D'ailleurs les deux Sinus AC, EG, étant égaux & étant moitiés de cordes égales , le double de la ligne Ac, sera égal au double de la ligne E G. Or

trer

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