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Soient les pa

le double de la ligne AC, & le double de la ligne EG, seront deux cordes égales de deux cercles égaux; donc elles soutiendront des arcs égaux; donc le double de l'arc AD, sera égal au double de l'arc EH; donc l'arc AD, est égal à l'arc EH; donc l'angle égal à l'angle.

Les deux autres cas de la Proposition , qui ne sont pas de grand usage, se démontrent avec la même facilité.

QUATR I EME PROPOSITION. Si une ligne oblique est entre paralleles, elles forment deux angles aigus & deux obtus. L'aigu à l'égard de l'aigu s'appelle Alterne, & l'obtus à l'égard de l'obtus de même , & ces angles Alternes sont égaux.

G
ralleles CBA,
DEF, l'oblique
VAD. Il faut dé-
CIB

А.
montrer que l'an-
gle CAD, eft é-
gal à l'angle ADF,
qui est son Al
terne.

D

E Pour le prouver. Du point D, pris pour centre, intervalle DA, soit décrite la portion de cercle 'AFH, & du point ų, pris pour centre, intervalle AD, soit décrite la portion DCG. Il est certain que les deux cercles font égaux, puisqu'ils ont même rason. De plus, aïant mené du point D, la ligne DB, perpendiculaire sur la ligne CA; DB, sera le Sinus de l'arc CD: de mêmę aïant mené du point A, la ligne A E, per

pendiculairement

G sur DF; AE, fera Sinus de l'arc AF. Or ces deux

CIB Sinus étant deux perpendiculaires entre mêmes

paralleles, seront necessairement é

D gaux. Voila donc le rason égal au raion; c'est-à-dire AD, égal à DA,

H & le Sinus égal au Sinus; donc l'arc égal à l'arc, & l'angle égal à l'angle, par la precedente Proposition Cela eft encore plus visible, en considerant que la perpendiculaire DB, est la moitié de la corde DG, comme la perpendiculaire AE, est la moité de la corde AH. Donc la corde est égale à la corde. Or par la nature du cercle, les cordes égales dans les cercles égaux foutiennent des arcs égaux ; donc l’arç DCG, égal à l'arc AFH; donc la moitié DC, égale à la moitié AF; donc les angles sont égaux.

CINQUIE'ME PROPOSITION. Tout angle, y compris les deux angles que ses côtés font avec la base, vaut deux angles droits, c'està-dire 180 degrés.

Soit l'angle donné BAC, dont le sommet est A, la D

F A G base BC. Il faut prouver que l'angle donné BAC,

H l'angle ABC, & l'angle ACB, pris ensemble, va

B

lent 180 degrés.

Par le sommet A; soit menée DAE, parallele à la base BC. Il est visible que les deux côtés AB, AC, font avec la ligne DAE, trois angles qui valent deux droits, puisqu'ils sont mesurés par la demi-circonference FHG, dont le centre est A. Or

par la précedente Propofition, l'angle DAB, est égal à l'angle de la base ABC, & par la même Proposition , l'angle E AC, est égal à l'angle ACB: Donc c'est la même chose de prendre la valeur des deux angles DAB, EAC, ou celle des deux angles de la base ABC, ACB. Or les deux premiers avec l'angle du sommet BAC, valent deux droits. Donc les deux derniers, c'est-à-dire les deux angles de la base avec l'angle donne BAC, valent deux angles droits.

COROLLAIRE. Qui connoît deux de ces angles, connoît neceffairement le troisiéme; car , par exemple, si deux de ces angles pris ensemble, valent 130 degrés, il faut que le troisiéme én vaille cinquante 180 degrés avec les deux autres.

I I. COROLLAIR E. Si l'angle du sommet est un angle droit , les deux de la base pris ensemble , vaudront un angle droite

pour faire

SIX I E'ME PROPOSITION.

Si l'on prolonge une ligne prise pour la base d'un angle, elle formera du côté qu'elle sera prolongée un angle avec l'un des côtés de l'angle donné, & ce nouvel angle s'appelle Angle exterieur, qui est toûjours égal aux deux opposés interieurs ; c'est-à-dire, à l'angle du sommet, & à l'autre angle de la base,

D

Car aiant prolongé BC, prise pour bafe, jusqu'en D, il se forme l'angle A CD, lequel avec l'angle ACB, vaut deux an

BA

10
gles droits, suivant B,
les définitions de ce Livre. Or le même angle ACB,
vaut deux angles droits avec l'angle du sommet, &
l'autre angle de la base. Donc l'angle du sommet
A , avec l'angle sur la base en B, valent autant, pris
ensemble , que l'angle exterieur ACD.

SE TIE'M E PROPOSITION,
Si une même ligne coupe plusieurs paralleles, elle
les coupe toutes avec la même obliquité.
Car l'angle DAE,

D
est égal à l'angle BAC
puisqu'il lui est opposé
au sommet. L'angle
BAC, est alterne de I F
l'angle GFH, & par
consequent égal à ce N L
dernier, qui est oppos

PM
sé au sommet de l'an-
gle IF. L. L'angle IF L, 2 e
eft alterne de l'angle NMQ, qui est opposé au som-
met de l'angle P MQ. S'il y avoit mille paralleles, on
démontreroit la même chose , & tous les angles aigus
seroient égaux aussi-bien que tous les obtus.

I I. SECTION.
De la maniere de considerer les Bases comme Cordes.

HUITIEME PROPOSITION.
Afin

que les bases puissent être considerées comme

ЗА

E

с

G

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H

1

1

D

F

cordes, on a déja remarqué qu'il faut que les deux
côtés qui comprennent l'angle soient égaux, puis-
qu'ils sont raions d'un même cercle. Cela pose , fi
un tel angle est comparé avec un autre angle Isoscele
comme lui, on peut considerer trois égalités ; l'éga-
lité des côtés , l'égalité des angles, l'égalité des ba-
ses. Deux de ces égalités données, donnent la trois
fiéme.
Premier

А
Cas. Si le
côté AB,

H
est égal ay
côté DE,
&

B que

la base ac, soit égale à la base EF, l'angle ABC, sera égal à l'angle E DF.

Car puisque les raions sont égaux aux raïons, le cercle est égal au cercle , & puisque la corde est égale à la corde, elles soutiennent des arcs égaux ; donc l'arc AGC, égal à l'arc EHF; donc l'angle ABC, égal à l'angle EDF.

Second Cas. Si le côté AB, est égal au côté DE, & que l'angle ABC, soit égal à l'angle EDF; la base Ac, lera égale à la base E F.

Car puisque les raïons AB, ED, sont égaux, le cercle est égal au cercle. Or les angles étant fupposés égaux, l'arc AGC, doit être égal à l'arc EHF; donc la base ou corde AC, est égale à la base EF.

Troisiéme Cas. Si l'angle ABC, est égal à l'angle EDF, & que la base Ac, soit égale à la base EF, le côté AB, sera égal au côté ĚD.

Car les angles étant égaux, l'arc AGC, est égal à l'arc EHF. Or la corde Ac, étant supposée égale à la corde E F, il faut bien que le raïon AB,

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