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Car aiant prolongé BC, prife pour bafe, jufqu'en D, il fe forme l'angle CD, lequel avec l'angle ACB, vaut deux angles droits, fuivant

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Les définitions de ce Livre. Or le même angle ACB, vaut deux angles droits avec l'angle du fommet, & l'autre angle de la bafe. Donc l'angle du fommet A, avec l'angle fur la base en B, valent autant, pris enfemble, que l'angle exterieur ACD.

SEPTIEME PROPOSITION.

Si une même ligne coupe plufieurs paralleles, elle les coupe toutes avec la même obliquité.

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Car l'angle DAE, eft égal à l'angle BAC, puifqu'il lui eft oppofe au fommet. L'angle BAC, eft alterne de l'angle GFH, & par confequent égal à ce dernier, qui eft oppofé au fommet de l'an

gle IFL. L'angle IFL,

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eft alterne de l'angle NMO, qui eft oppofé au fommet de l'angle P MQ. S'il y avoit mille paralleles, on démontreroit la même chofe, & tous les angles aigus feroient égaux auffi-bien que tous les obtus.

II. SECTION.

De la maniere de confiderer les Bafes comme Cordes.
HUITIEME PROPOSITION.

Afin que les bafes puiffent être confiderées comme

cordes, on a déja remarqué qu'il faut que les deux côtés qui comprennent l'angle foient égaux, puifqu'ils font raïons d'un même cercle. Cela pofé, fi un tel angle eft comparé avec un autre angle Ifofcele comme lui, on peut confiderer trois égalités; l'égalité des côtés, l'égalité des angles, l'égalité des bafes. Deux de ces égalités données, donnent la troifiéme.

Premier

Cas. Si le

côté AB,

est égal au côté DE,

& que la

B

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bafe AC, foit égale à la base EF, l'angle ABC, fera égal à l'angle EDF.

le

Car puifque les raions font égaux aux raïons, cercle eft égal au cercle, & puifque la corde eft égale à la corde, elles foutiennent des arcs égaux; donc l'arc AGC, égal à l'arc EHF; donc l'angle ABC, égal à l'angle EDF.

Second Cas. Si le côté AB, eft égal au côté DE, & que l'angle ABC, foit égal à l'angle EDF; la bafe AC, fera égale à la base EF.

Car puifque les raïons AB, ED, font égaux, le cercle eft égal au cercle. Or les angles étant fuppofés égaux, l'arc AG C, doit être égal à l'arc EHF; donc la base ou corde AC, est égale à la bafe EF.

Troifiéme Cas. Si l'angle ABC, eft égal à l'angle EDF, & que la bafe AC, foit égale à la bafe EF, le côté AB, fera égal au côté ED.

Car les angles étant égaux, l'arc AGC, eft égal à l'arc E H F. Or la corde AC, étant fuppofée égale à la corde EF, il faut bien que le raïon AB,

foit égal au raïon ED, autrement les cercles feroient inégaux; & dans deux cercles inégaux, deux cordes égales ne foutiendroient pas des arcs égaux, ce qui eft contre la fuppofition.

III. SECTION.

De la Bafe confiderée fimplement comme Base ; c'est-à-dire, quand elle n'eft ni Corde ni Sinus de l'Angle.

NEUVIE'M E PROPOSITION.

Si l'on fuppofe un angle comme ABC, égal à un angle comme DFG, le côté AB, égal au côté FD; le côté BC, égal au côté FG. La base AC, fera égale à la base DG.

Il n'y a qu'à concevoir que l'une de ces figures foit pofée fur l'autre, il faut bien

que

par neceffité les trois points A, B, C, correfpondent aux trois points D, F, G; en forte que

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cela ne differe que de pofition, & que chacune des trois lignes correfponde à chacune des

trois autres.

On prouve de même que fi les côtés font égaux aux côtés chacun à chacun, & la bafe égale à la base, les angles font égaux.

CINQUIEME LIVRE,

De la maniere de mesurer les Angles dont le fommet n'eft point au centre du cercle.

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[USQU'A prefent nous avons confideré les Angles, comme aïant leur fommet au centre d'un cercle, en forte que leur mesure eft déterminée par l'arc de ce cercle compris entre les deux côtés de l'Angle. Maintenant nous allons confiderer les Angles par rapport à un cercle, au centre duquel leur fommet ne fera pas DEFINITIONS.

En fuppofant une corde, comme CE, il eft vifible qu'elle coupe le cercle en deux portions inégales. La portion CAE, fe nomme le petit Segment, & la portion CBE, le grand /G Segment.

L'Angle FCE, que

je fuppofe formé par

F

A

E

B

la tangente FG, & par la corde CE, s'appelle l'Angle du petit Segment.

L'Angle GCE, formé par la même corde & par

la même tangente, s'appelle l'Angle du grand Seg

ment.

L'Angle CAE,

qui a fon fommet en

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L'Angle CBE, qui a fon fominet en

F

A

E

B

un point comme B, dans la circonference du grand Segment, & qui a fes côtés terminés par la même corde, s'appelle l'Angle dans le grand Segment.

Tout Angle, foit dans le grand, foit dans le petit Segment, s'appelle du nom general d'Angle infcript. PREMIERE PROPOSITION FONDAMENTALE, De cette Mesure des Angles.

L'Angle du petit Segment a pour mesure la moitié de l'arc foutenu par la corde.

Soit la corde BF,

la tangente au point B, foit la ligne DBC. Il faut prouver que l'Angle CBF, a pour mefure la moitié de l'arc BAF.

Du point de contingence B, foit mené le raïon BE, & par le point E, cen

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