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cedent, c'est-à-dire, 180 degrés ou la demi-circonference. Or l'Angle DAB, par la precedente Proposition, vaut la moitié de l'arc AB, l'Angle E AC, vaut la moitié de l'arc AC, reste donc pour la valeur de l’Angle. B. AC, la moitié de l'arc B F G

COROLLAIRE Si l'on prend le point À, pour centre d'un cercle, l'arc de ce cercle compris par les côtés de l'Angle BAC, sera la moitié de l'arc B FC; parce que l'arc de ce nouveau cercle, sera la mesure de l'Angle , & que l'autre arc fur lequel cet Angle est appuié, est le double de la mesure.

I I. COROLL AIRE. Si du centre du cercle G, Pon mene deux lignes au point B, C, l'Angle BGC, sera double de l'Angle inscript B XC. C'est ce qui s'exprime souvent ainsi: L'Angle au centre est double de l'Angle en la cirs conference, quand ils sont appuiés sur le même arc. Car l’Angle BGC, a pour mesure tout l'arc B FC, & l’Angle BAC, n'en a que

la moitié. I II. COROLLA I Ř E. L'Angle du petit Segment est égal à l'Angle dans le grand Segment. CarlAngle du pe

H tit Segment CAD, a pour mesure la moi

А tié de l'arc AHD, par la 1 Propofition de ce Livre , & cette même moitié est la mesure de l'Angle

B inscript AED, par la précedente.

E

H

I V. COROLLAIRE. Tous les Angles dans un même Segment sont égaux entr'eux, car ils ont tous la même inesure , qui est la moitié de l'arc sur lequel ils font appuiés.

V. COROLLAIRE. » L’Angle du petit Segment CAD, & l'Angle dans le petit Segment AHD, va A А

D lent ensemble deux Angles droits. Car l'un a pour mesure la moitié de l'arc

B
AHD, & l'autre
la moitié de l'arc
AFEGD, c'est-à-

E dire la demi-circonference.

TROISIEME PROPOSITION. L'Angle formé par une corde & par la partie d'une autre corde prolongée hors du cercle, a pour mesure la moitié des deux arcs soutenus par les deux cordes. • Il faut prouver que

B l'Angle BAF, a pour mesure la moitié de

G l'arc EGA, plus la moitié de l'arc AHF. Soit par le point A , ti

н. rée la tangente DAC, l'Angle BAF, est és gal aux deux Angles

F AC, CAF. Or l'Angle BAC, est égal

A

L'Angle qui a fon sommet hors du cercle, à pour

l’Angle DAE, parce qu'il lui est opposé au som. met; & les deux Angles DAE, CAF, étant Angles du petit Segment, ont chacun pour mesure la moitié de leurs arcs. Donc l’Angle total B AF, a pour mesure la moitié des deux mêmes arcs EGA, AHF.

QUATRIE'MĘ PROPOSITION. Tout Angle dont le sommet eft entre le centre ; & la circonference, a pour mesure la moitié de l'arc sur lequel il est appuié, plus la moitié de celui qui eft compris entre ses côtés prolongés. Il faut démontrer que E

D l'Angle B AC, a pour mesure la moitié de l'arc B C, plụs la moitié de l'arc DE; soit tirée la ligne E C.

L’Angle ACE, a pour mesure la moitié de l'arc ED, par la seconde Proposition de ce Livre. L'Angle

С BEC, a pour mesure la moitié de l'arc BC, par la même raison. Or l'Angle BAĆ, eft exterieur à l'égard de ces deux Angles inscripts; donc il est égal à tous les deux, par la fixiéme Proposition du

quatriéme Livre; donc il a pour mesure la moitié de l'arc BC, plus la moitié de l'arc DE.

CIN QUI É'M É PROPOSITIONI mesure la moitié de l'arc concave, moins la moitié de l'arc convexe sur lequel il est appoié.

Il faut démontrer

que

A А l'Angle B AC, a pour mefare la moitié de l'arc BC, moins la moitié de l'arc ED; soit E

D tirée la ligne B D.

L'Angle BDC, Angle exterieur est égal aux deux Angles AB D, D A B. Or l'Angle ABD, a pour mefure la moitié de l'arc ED, B par la seconde Proposition de ce Livre. Donc pour avoir la mesure de l'autre Angle, c'est-à-dire, de l'Angle B AD, ou BAC, il faut ôter la moitié de l'arc ED, de la moitié de l'arc BC, qui est la mes sure de l'Angle exterieur BDC.

SIX I E'ME PROPOSITION. Si l'on prolonge le diamettre d'un cercle , & que sur ce diamettre prolongé, l'on mene plusieurs per pendiculaires, une li

A gne oblique menée de

D P'extrémité du diametre opposée au côté prolongé, &coupant ces perpendiculaires, formera avec chacune d'elles, un Angle qui aura pour mesure la

F moitié de l'arc foutenu par l'oblique.

Il n'y a qu'à prouWer que l'Angle ACB, *pour mesure la moia.

tié de l'arc AGF. Car tous les autres formés par les autres perpendiculaires & l'oblique lui sont égaux. Soit menée la tangente DAE; les lignes D AE, BC, sont paralleles par construction ; donc l'Angle ACB, est alterne de l'Angle CAE, ou FAE. Or l'Angle FAE, est un Angle du petit Segment, qui a pour mesure la moitié de l'arc AG F; donc son égal ou alterije ACB, a la même mesuré.

PTIE'M È PROP OʻS I TION. L'Angle formé par deux tangentes ; fé nomme l'Angle circonfcript au cercle, & a pour mesure la demi-circonference, moins l'are compris entre les deux tangentes.

A Il faut prouver que l'Angle B 10, & pour mesure la

D demi-circonferens ce, moins l'arc en

wi Tiér BDC. : Les trois Angles BAC,CBA,BCA, pris enfemble, va Ient deux Angles droits ou la demicirconference, par Ia 5 Proposition du IV Livre. Or F Angle qui a fon sommet en B, est un Angle du petit Segment , aufftbien que l'Angle qui a Ton sommet en c: Ils ont chacun pour mesure la moitié de l'are B DC; ils l'ont donc tout entier à eux deux pour leur

mesure ; reste donc pour le troisiéme Angle, qui est l'Angle čir. confcript s le nombre de degrés, qui avec l'arc BD , acheve la demi-circonference; donc fi l'on ote l'arc BDC, de la demi-circonference , le reste sera la meLure de l'Angle circonfcript B AC.

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