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SIX I EM E LIVRE.

Des Proportions.

pû jusqu'à present parler des Proportions, parce qu'elles supposent la connoissance des Lignes Droites, Perpendiculaires, Os bliques, Paralleles, & celles des Angles.

DE'FINITIONS.

gran

Quand on compare deux grandeurs d'un même genre, comme deux nombres, deux lignes, deux surfaces, deux corps; le rapport de l'une de ces deurs à l'autre, s'appelle Raison. Par exemple, le rapport de 2 à 4, ou de 8 à 11, est une Raison. Le premier terme de la Raison se nomme l'Antecedent; le second se nomme le Consequent. Ainsi dans la Rai son de 8 à 11,8 est l’Antecedent, & le Consequent.

Cette comparaison se peut faire en deux mapieres, Par exemple, étant donnés les nombres 9, 3. - Si je confidere combien de fois l'un est contenu, dans l'autre, cela se nomme rapport geometrique.

Si je considere seulement l'excès de l'un sur l'autre, alors on nomme ce rapport, rapport arithmetique.

Mais il faut sçavoir que lorsqu'on parle en Geometrie d'une Raison, sans ajouter de quelle nature elle est, c'est toûjours de la Raison Geometrique qu'on veut parler.

Il faut ici rappeller quelques axiomes que nous avons posés en commençant.

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te de 30.

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Un tout se peut diviser en plusieurs parties égales ou inégales.

Un tout est égal à toutes ses parties prises ensemble:

Si une partie prise un certain nombe de fois, est égale au tout, elle se nomme partie Aliquotte. Ainsi 2 est partie aliquotte de 30, parce que 2 eft une partie , qui, prise quinze fois, est égale à son tout, qui eft

30. 5 est une partie Aliquotte de 30, parce que prise fix fois, elle est égale à son tout; mais 7, qui, pris un certain nombre de fois, est toûjours moindre ou plus grand que le tout 30, s'appelle partie Aliquan

En un mot, partie Aliquotte est celle qui mesure exactement son tout.

Partie Aliquante est celle qui ne le mesure point exactement.

Aliquottes pareilles de deux grandeurs , sont celles dont chacune eft autant de fois contenuë dans son tout, que l'autre l'est dans le fien. Ainsi 2 & 4 font Aliquottes pareilles de 8 & de 12 ; parce que comme 2 est contenu trois fois dans le tout 6 , de mêm

meest contenu trois fois dans le tout 12m Il est donc clair que ce qu'on appelle Raison, est la maniere dont l'Antecedent est contenu ou contient le Consequent. Par exemple, la Raison de 2 à

4, n'est autre chose , que la maniere dont 2 eft contenu dans

4,

c'est-à-dire deux fois; de même la Raison de 12 à 4, n'est autre chose que la maniere dont 12 contient 4, c'est-à-dire trois fois.

Il est évident que l'Antecedent eft quelquefois partie Aliquante de son Consequent , comme dans la Raison de 8 à 11, mais cela n'empêche pas qu'on ne puisse remarquer la maniere dont 8 eft contenu dans 11; c'est-à-dire remarquer qu'il y est contenu une

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ine 4

fois, avec un reste eft 3, & cette consideration ngus apprend quelle est la Raison de 8 à 11.

il suit encore de ce que nous venons d'expliquer, que si l'on multiplie l'Antecedent & le Consequent d'une même Raison par une même grandeur, la Rai, fon demeure toûjours la même. Par exemple, étant donnée la Raison de 3 à 6; si l'on multiplie 3 & 6 par un nombre quelconque , comme 4, il viendra 12 & 24, qui est une Raison perçille à celle de 3 à 6,

Tous les nombres ont une commune mesure qui est l'unité; ou si l'on veur, l'unité est partie Aliquote se de tout nombre. Le rapport qui est entre deux nombres, s'appelle Raison de nombre à nombre.

Il y a des lignes qui ont entre elles le même rapport que de certains nombres; par exemple, si l'on sup, pose qu'une ligne soit le tiers d'une autre. La plus petite sera à l'égard de la plus grande, comme i eft à 3 ; & pour lors, on dira que ces deux lignes sont commensurables; c'est-à-dire , qu'elles ont une com, mune mesure, ou bien qu'elles sont entre elles com, me nombre à nombre.

Mais on verra dans la fuite , que quoique deux certaines lignes aient chacune une infinité d'Aliquottes, jamais telle Aliquotte de l'une que l'on voudra choisir, ne pourra être l'Aliquorte de l'autre, & pour lors ces deux lignes se nomment incommensurables, L'on dit que leur Raison est sourde , ou Irrationnels le, ou que ce n'est pas une Rasson de nombre à noms bre; parce qu'en effet , il est impossible de trouver deux nombres qui asent entre eux même rapport que celui de ces deux lignes.

Non seulement l'on peut comparer deux grandeurs entre elles ; l'on peut comparer deux Raisons: & lorsque les Raisons que l'on compare sont égales entre elles, cela s'appelle Proportion. Par exemple,

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Si l'on compare la Raison de 2 à 4, avec la Raison de 6 à 12, on voit clairement que ces deux Raisons sont égales; car de même que 2 est la moitié de ainsi 6 est la moitié de 12, & cela se marque ainsi, 2,4:: 6, 12. C'est-à-dire deux est à

quatre, comme six eft à douze.

En cet exemple, 2 s'appelle Antecedent de la premiere Raison; 4 s'appelle Consequent de la premiere Raison. 6 est l'Antecedent de la seconde Raison; 12 eft le Consequent de la seconde Raison. 2 & 12 s'appellent les Extrêmes de la Proportion; 4 & 6 s'appellent les Moïens; mais il faut remarquer qu'un même terme peut être le Consequent de la premiere Raison, & l'Antecedent de la seconde ; & pour lors il s'appelle Moien Proportionnel, comme en l'exemple qui suit. 2 est à 4, comme 4 està 8; cela se marque ainsi: 2, 4, 8 : pour abreger.

Que si l'on comparoit deux Raisons arithmetiques, comme par exemple, la Raison de 2 à 5, avec la Raifon de 8 à 11, alors parce que le nombres surpasse le nombre 2 par trois unités, comme le nombre il surpasse le nombre 8, ces deux Raisons arithmetiques seroient dites égales; & ces deux Raisons égales feroient une Proportion Arithmetique. Mais tout cc qui suit regarde la Proportion Geometrique.

Comme la définition de la Proportion est importante , il faut se la rendre familere par une autre expreffion. L'on connoît qu'il y a Proportion en quatre termes, quand les Aliquottes pareilles des Antecedens sont contenuës autant de fois dans leurs Consequents; soient les quatre termes 9, 27:: 18, 540

3

6 3 est le tiers de l'Antecedent 9, comme 6 est le tiers de l'Antecedent 18. Ainsi 3 & 6 font Aliquottes pareilles des deux Antecedens. Si donc 3 est au

dire,

tant de fois contenu dans le Consequent 27, que 8 dans le Consequent 54; il y aura Proportion entre çes quatre termes. Or 3 eft neuf fois dans 27, comme 6 eft neuf fois dans 54. Ainsi les quatre termes sont Proportionels.

Que si les Aliquottes pareilles des Antecedens ne mesurent pas exactement leurs Consequents; c'est-à

fi elles y font contenuës un certain nombre de fois avec un reste , pour qu'il y ait Proportion , il faut que les deux restes soient entre eux

comme les Aliquottes pareilles. Par exemple, soit la Proportion

9, 20::27, 60. Soit 3 l'Aliquotte de l'Antecedent 9; soit 9 l'Aliquotte de l’Antecedent 27. Elles sont Aliquottes pareilles, parce que 3 est le tiers de l'Antecedent 9, comme 9 est le tiers de l'Antecedent 27. Mais 3. ne mesure point exactement le Consequent 20, car il y eft contenu six fois avec le reste 2. Afin donc qu'il y ait Proportion, il faut que 9 soit contenu fix fois dans le Consequent 60, avec un reste qui soit 6. Or il est visible que 2., premier reste du Consequent 20, est à 6, reste du Consequent 60, comme 3 est à 9, c'est-à-dire , comme les Aliquottes pareilles des Antecedens; & par consequent la Proportion fubfifte entre les quatre termes 9, 20 :: 27, 60.

Si au lieu de prendre pour les Aliquottes pareilles des Antecedens, les deux nombres 3, 9, l'on prend 1,3; il arrivera la même chose : car i est contenu neuf fois dans l'Antecedent 9; 3 est contenu neuf fois dans l'Antecedent 27, donc 1, 3 font Aliquottes pareilles des Antecedens. Or i est contenu vingt fois dans 20, Consequent de la premiere Raison, & 3 est contenu vingt fois dans 60, Consequent de la seconde Raison; donc les quatre termes sont Proportionels.

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