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Maintenant si l'on ajoûte le Consequent de la premiere Raison à fon Antecedent, pour comparer cette fomme au Consequent , & qu'on fasse la même chose à l'égard de la seconde Raison. C'est-à-dire, fi aiant i , B :: C, D, l'on dit A + B, B :: C + D, D, il est aisé de voir que le produit des Extrêmes sera égal au produit des Moiens ; car le produit des Extrêmes est AD + BD; le produit des Moïens eft CB + BD. Or il est visible que AD+BD=CD + BD, puisque AD, est égal à BC, à cause de la premiere Proportion. Cela s'appelle Componendo. En nombres, Ti 2,4::]; 6, je dis que 2 +4,4:: 3+6, 6. C'est-à-dire , 6 est

4, comme 9 est à 6. · Que si au lieu d'ajoûter les Consequents à leurs Antecedens , pour en faire la comparaison avec les Consequents, on les ête des Antecedens, c'est-àdire , fi ajarit A, B :: C, D, l'on dit A- B, B ::C-D, D. L'on prouvera par le même raisonnement, que le produit des Extrêmes sera égal au produit des Moiens, & qu'ainsi la Proportion ne será point blessée. Cela s'appelle Dividendo. En nombres, fi 9,4 :: 27, 12, je dis que 9 – 4,4 ::

29-12, 12. C'est-à-dire, s eft à 4, comme is eft à iz. } Voila les changemens essentiels & les plus ordi

naires qu'on fait dans la Proportion, car à propreiment parler, ce n'est point en faire un, lorsqu'aiant la Proportion 2,4:: 3,6, l'on dit 6, 3:4, 2, puisqu'on ne fait, que prendre les terines à rebours, qu’iis gardent le même ordre entre eux ; & qu'ainli il n'y peut avoir aucun changement, cela s'appelle

pourtant Invertendo.

De même, si l'on dit 3,6:: 2, 4, ce n'est pas un vrai changement, puisqu'on fait simplemenc

2,4

changer de place à deux Raisons égales pour les comparer. Cela s'appelle Permutando.

Il faut parler maintenant des Raisons composées.

Lorsqu’ažant deux Raisons , comme A, B lune; & C, D l'autre; l'on multiplie les deux Antecedens Pun par l'autre, & les deux Confequents aussi l'un par l'autre ; ces deux produits font une nouvelle Raison, comme AC, BD; c'est-à-dire, la grandeur A, multipliée par C, comparée avec la grandeur B, multipliée par D. Cette nouvelle Raison eft dite composée de la Raison de A, à B, de la Raison de C, à D. Exemple en nombres.

Premiere Raison,

Seconde Raison, 9,15. 2, multiplié par 9, donne 18; 4, multiplié par 15, donne 60. La Raison de 18 à 60, est dite, Raison composée de la Raison de 2 à 4, & de la Railon de 9 à 15.

Si les deux Raisons composantes sont égales, c'està-dire, fi elles constituent une Proportion; la Raifon composée eft dite, Raison doublée de la premiere Raison. Par exemple, 2,4:: 6, 12. Je multiplie les deux: Antecedens , vient 12, & les deux Consequents, vient 48; la Raison de 12 à 48, qui est la Raison compofée de ces denx Raisons égales, est dire , Raison doublée de la Raison de 2 à 4, ou de la Raison de 6 à 12 , qui est fon égale,

Il ne faut pas confondre la Raison double avec la Raison doublée : car par exemple, on dit que 4 est en Raison double de 2 ; c'est-à-dire, que 4 est double de 2, mais n'est pas en Raison doublée. On doit s'imprimer fortement toutes ces définitions dans l'esprit. • Il faut sur tout bien remarquer qu'une même Rai

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200.

.

fon peut être exprimée d'une infinité de manieres. Par exemple,

B.
AD BD.

ADC, BDC. C'est toûjours la même Raison A, B, puisque la Raison du produit AD, au produit BD, n'est autre chose que la Raison A, B, multipliée par la même grandeur D; & de même la Raison ADC, BDC, n'est autre chose que la Raison A, B, multipliée par le même produit ou même grandeur DC; en nombres.

4. 8, 16. 32, 64.

100, C'est toûjours la même Raison, étant visible que l'Antecedent est toûjours la moitié du Consequent dans ce dernier exemple, ou si vous voulés , la fécono de Raison 2, 4, n'est autre chose que la premiere Raison 1 , 2, multipliée par une même grandeur , qui est 2 ; & de même la derniere Raison 100, 200, n'est autre chose que la premiere Raison 1, 2, multipliée par une même grandeur, qui eft 100.

Les plus petits termes qui expriment une Raison, ou si vous voulés, les plus simples termes d'une Raifon, s'appellent les Exposans de la Raison. Par exemple, dans la Raison ci-dessus exprimée en lettres, A, B, en font les Exposans, & dans l'exemple en nombres, 1, 2, en sont les Expofans , & le seront toûjours, par quelque uombre que l'on puisse multiplier 1, 2, car la Raison de 10000, 20000, aura toûjours 1, 2, pour Exposans, & fera toûjours la Raison de 1 à 2.

On tire de là une consequence fort importante pour la suite ; sçavoir , que la Raison doublée d'une Rais

fon

me

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son de nombre à nombre, a necessairement pour
Exposans des nombres quarrés.
Car aiant une Raison de nombre à nombre , com-

3, 6, si j'en veux avoir la Raison doublée, il faut que je mette à côté de celle-là , une Raison qui lui soit égale. Par exemple, 3,6:4, 8.

Puis multipliant les deux Antecedens l'un par l'autre, & les deux Consequents pareillement, pour avoir la Raison doublée, il viendra la Raison 12, 48.

Réduisant cette Raison 12, 48, aux moindres termes, qui font I, 4, & qui en sont par consequent les Exposans, on voit que ce sont deux nombres quarrés, cela ne peut jamais manquer d'arriver, dont voici la raison.

Je dispose les deux Raisons égales en Proportion,

3,6::4, 8. - Je les réduits aux plus simples termes, 1, 2:11, 2.

En cette derniere Proportion, il est évident que les deux Antecedens font le même nombre, & les deux Consequents aussi le même nombre. Si donc je multiplie les deux Antecedens l’un par l'autre, & les deux Consequents l’un par l'autre, pour avoir la Raison doublée, j'aurai necessairement deux nombres quarrés, puisque chacun de ces nombres sera le produit d'un nombre multiplié par fois même.

De cette consequence, j'en tire une autre , qui est le fondement des Incommensurables, comme nous le verrons dans la suite; sçavoir, que

Si l'on me donne une Raison doublée, qui n'ait pas pour Expofans des nombres quarrés, la Raison dont elle est doublée , n'est pas Raison de nombre à nombre.

Avant que de quitter ces réflexions générales sur les Proportions, il est bon de considerer que ce que

E

nous avons dit ci-dessus de l'égalité du produit des Extrêmes, & de celui des Mọiens, est le fondement de ce que les Arithmeticiens appellent la Regle de Trois. Car dans cette Regle, il ne s'agit que de trouver le quatriéme Proportionnel à trois nombres donnés. Par exemple, j'ai

2,4 ::6, Je veux trouver un quatrieme nombre qui finisse la Proportion; c'est-à-dire , auquel 6, foit en même Raison que 2 est à 4;

il est bien certain que ce quatriéme nombre, quel qu'il puisse être, étant multiplié par le premier, me donnera un produit égal au produit de 4 par 6, puisque le premier nombre & lui inconnu, font les Extrêmes d'une Proportion, dont

4

& 6, sont les Moïens; ainfi multipliant 4 par 6, il me viendra 24, & je suis sûr que 24, est aussi le produit de mon nombre inconnu par 2 ; donc si je divise 24 par 2, il me viendra necessairement le nombre inconnu 12 que je cherchois.

2,4::6, 12. Au refte, il ne faut pas laisser ignorer la proprieté de la Proportion Arithmetique dont on peut avoir quelquefois à faire. 4, est à 7, comme 9 eft à 12; c'est-à-dire , 4 est surpassé de trois unités par 7, comme 9 est surpassé de trois unités par 12.

En toute Proportion Arithmetique la somme des Extrêmes est égale à la somme des Moiens, comme ici 4-+ 12 est égal à 7+9.

Pour le démontrer d'une maniere générale, Aest à A-+ x, comme B est à B + x. x exprime l'excès du Consequent sur l'Antecedent , qui est égal dans les deux Raisons.

Ajqûtant les deux Extrêmes, vient 1+B+ xd

Ajoûtant les deux Moïens, vient A4%-4 B qui est la même chose.

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