페이지 이미지
PDF
ePub

tant de fois contenu dans le Consequent 27, que 6 dans le Consequent 54; il y aura Proportion entre ces quatre termes. Or 3 est neuf fois dans 27, comme 6 eft neuf fois dans 54. Ainsi les quatre termes sont Proportionels.

Que si les Aliquottes pareilles des Antecedens ne mesurent pas exactement leurs Consequents; c'est-àdire , fi elles y sont contenuës un certain nombre de fois avec un reste, pour qu'il y ait Proportion , il faut que

les deux restes soient entre eux comme les Aliquottes pareilles. Par exemple, soit la Proportion

9, 20:127, 60. Soit 3 l'Aliquotte de l’Antecedent 9; soit 9 l’Aliquotte de l'Antecedent 27. Elles sont Aliquottes pareilles, parce que 3 est le tiers de l'Antecedent 9, comme 9 est le tiers de l'Antecedent 27. Mais 3 ne mesure point exactement le Consequent 20, car il y eft contenu fix fois avec le reste 2. Afin donc qu'il y ait Proportion, il faut que o soit contenu fix fois dans le Consequent 60, avec un reste qui soit 6. Or il est visible que 2., premier reste du Consequent 20, est à 6, reste du Consequent 60, comme 3 est à 9, c'est-à-dire, comme les Aliquottes pareilles des Antecedens; & par consequent la Proportion subliste entre les quatre termes 9, 20 :: 27,60.

Si au lieu de prendre pour les Aliquottes pareilles des Antecedens, les deux nombres 3, 9, l'on prend 1,3;

il arrivera la même chose: car I est contenu neuf fois dans l'Antecedent 9; 3 est contenu' neuf fois dans l'Antecedent 27, donc 1, 3 font Aliquottes pareilles des Antecedens. Or i est contenu vingt fois dans 20, Consequent de la premiere Raison, & 3 est contenu vingt fois dans 60, Consequent de la seconde Raison ; donc les quatre termes sont Proportionels.

Mais il faut un peu s'accoûtumer à considerer la Proportion par les Aliquottes pareilles, qui laissent des restes dans les Consequents; parce qu'autrement on ne pourroit se former une idée bien distincte de la Proportion qui se trouve entre quatre grandeurs incommensurables.

Car fi deux lignes sont incommensurables entre elles , jamais l’Aliquotte de l'une ne pourra être Aliquotte

de l'autre. Il ne laisse pas d'y avoir entre ces deux lignes un certain rapport; & fi deux autres lignes ont entre elles le même rapport, il y aura Proportion, parce que les Aliquottes pareilles des Antecedens, seront également contenues dans les Consequents, avec un reste de part & d'autre, & que ces restes seront entre eux comme les Aliquottes pareilles des Antecedens.

En un mot ; Proportion est la comparaison de deux Raisons égales , soit que ces Raisons soient de nombre à nombre, soit qu'elles soient sourdes.

La plus importante proprieté de cette Proportion, qu'on appelle par excellence Proportion Geometrique, c'est que le produit des Extrêmes est toûjours égal au produit des Moiens; & pour le démontrer d'une manierere universelle, je suppose ,

1°. Que toute grandeur se puisse exprimer ou designer par une lettre ainsi A, B::C, D, veut dire, la grandeur que j'appelle A, est à celle que j'appelle "B, comme la grandeur que j'appelle C, est à celle que j'appelle D, soit que ces grandeurs soient des nombres, ou que ce soient des lignes.

Ce signe + veut dire plus.
Ce ligne — signifie moins.

Deux caracteres placés sans virgule l'un auprès de l'autre , comme AB, signifient la grandeur A, multipliée par la grandeur B, ou le produit d' A par. Bu

AB=CD, signifie le produit d'A, par B, eft égal ay produit de C, par D.

Cela supposé. Soit une Proportion Geometrique A, B::C, D. Il faut démontrer que le produit des Extrêmes AD, est égal au produit des Moïens BC, c'est-à-dire, AD=BC.

Souvenons-nous d'abord que deux grandeurs sont égales , quand elles sont en même Raison avec une même grandeur. Par exemple, si une ligne quelconque est le tiers ou le

quart

d'une ligne que j'appellerai Z, toute autre ligne qui sera le tiers ou le quart de 2, sera égale à la premiere.

Il faut se souvenir en second lieu , que deux Raisons égales à une même Raison, font égales entre elles. Cela est évident par soi-même.

De plus, il est évident que AD,BD:: A, B. C'est-à-dire , que le produit de A, par D, est au produit de B, par D, comme Ą, est à B. Parce que la premiere de ces deux Raisons AD, BD, n'est autre chose que la Raison A, B, multipliée par une même grandeur, qui est D. Nous l'avons expliqué cideflus en nombres.

Suivant le même raisonnement, CB, BD::C,D, parce que la Raison de CB , à BD, n'est autre chose que la Raison de C, à D, multipliée par la même grandeur, qui est ß. Il est donc démontré

que AD, BD :: A, B. Il est encore démontré que CB, BD :: C, D. Voilą donc quatre Raisons, qui font necessairement égales ; car la premiere vient d'être démontrée égale à la seconde , & la troisiéme égale à la quatriéme; or par la supposition, la seconde & la quatriéme sont égales, puisqu'elles constituent la Proportion A, B :: C, D. Donc la premiere Raison, AD, BD, est aussi égale à la troisiéme Raison CB, BD

[ocr errors]

& ces deux Raisons font une nonvelle Proportion VD, BD :: CB, BD.

Dans cette derniere Proportion, les deux Consequents sont égaux, ou si vous voulés sont la même grandeur BD; donc les deux Antecedens AD,CB, qui ont le même rapport avec cette même grandeur BD, sont nécessairement égaux ; c'est-à-dire, AD =BC, ou CB, ce qui fignifie A, multiplié par D, est égal à B, multiplié par C, ou C, multiplié par B, ce qui est la même chose ; donc le produit des Extrêmes d'une Proportion est toûjours égal au produit des Moïens.

AVERTISSEMENT. Pour encourager ceux qui commencent, de leur faire connoître , par un exemple illuflre, de quoi un bon esprit est capable, quand il veut se rendre attentif, l'on croit devoir rapporter ici une merveille, dont M. de Malezien est témoin. Madame la Duchesse du Maine , n'aïant pas encore seize ans accomplis , avoit déja un goût surprenant pour les Sciences de les Belles Lettres. Elle se faisoit entretenir tous les jours pendant deux heures par M. de Malezieu, & l'engageoit même à aller de deux jours lun, la trouver à Marly, quand la Cour y étoit. Dans ces premiers commencemens, dan pendant l'un de ces voiages, elle voulut apprendre l Arithmetique. La Regle de Trois la frappa, elle en demanda le fondement. Cela engagea M. de Malezieu à mi dire que c'étoit une suite de la proprieté de ce qu'on appelle Proportion Geometrique , dont il lui donna simplement un exemple fur les quatre nombres suivans , 3,4:: 6, 8, en lui ajoitant que lorsque quatre nombres quelconqnes apoient entre eux ce rapport, le produit des Extrêmes étoit tonjours égal au produịt des Moïens. Cette explication redoubla la curiosité de la Princesse. Elle demanda la

[ocr errors]

.

raison de cette proprieté : M. de Malezieu lui répondit qu'il n'y falloit pas songer, & que cette démonstration étoit la suite de plusieurs principes dont elle n'avoit jamais oji parler , qui viendroient à leur tour. Mais il fut bien surpris de recevoir le lendemain matin un Billet de Madame la Duchesse du Maine , qui l'exhortoit à venir sur le champ, pour examiner avec elle, fi les reflexions qu'elle avoit faites pendant la nuit sur cette meryeilleuse proprieté, pouvoient être de quelque usage. Il partit aussi-tôt, es für bien paié de fon voïage, par le plaisir qu'il eut de voir que cette jeune Princesse avoit parfaitement démêlé tout le fond de la démonstration, e l'avoit mis dans une évidence plus parfaite que tout ce qu'il avoit jamais sur cettre matiere. Voici précis sément ce qu'elle dit à M. de Malezieu.

Je confidere les quatre nombres 2, 4, 3, 6, qui font en Proportion, parce que le premier est la moitié du fecond, comme le troisiéme est la moitié du quatriéme; ego je veux trouver pourquoi le produit de 2 par 6, est égal au produit de 4 par 3:

Pour cela , je vois d'abord que li je multiplie 2 par 6, ce produit , qni est le produit des Extrêmes , dois être du produit de z. par 3 , parce que 6 eft double

de 3.

Mais fi au lieu de prendre ce produit de 2 par 3 , 04 3 par. 2, qui n'est que la moitié du produit des Extremes, je m'avise de prendre le produit de 3 par. 4; il faudra bien que ce produit de 3 par 4, soit double du produit de 3 par 2 , puisque 4 eft le double de 2, de même que 6 eft le double de 3 ; donc le produit de 3 par 4, étant double du produit de 3 par 2, qui n'est que la moitié du produit des Extrêmes, ce produit de 3 par 4, fera necessairement égal au produit des Extrêmes, c'eftà-dire que le produit des Extrêmes fera égal au preduir des Moïens,

« 이전계속 »