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nous avons dit ci-dessus de l'égalité du produit des Extrêmes, & de celui des Mọiens, est le fondement de ce que les Arithmeticiens appellent la Regle de Trois. Car dans cette Regle, il ne s'agit que de trouver le quatriéme Proportionnel à trois nombres donnés. Par exemple, j'ai 2,4::6,

Je veux trouver un quatriéme nombre qui finiffe la Proportion; c'est-à-dire , auquel 6, foit en même Raison que 2 est à 4; il est bien certain que ce quatriéme nombre, quel qu'il puisse être, étant multiplié par le premier, me donnera un produit égal au produit de 4 par 6, puisque le premier nombre & lui inconnu, sont les Extrêmes d'une Proportion, dont

4

& 6, sont les Moïens; ainfi multipliant 4 par 6, il me viendra 24, & je suis sûr que 24, eft aussi le produit de mon nombre inconnu par 2 ; donc si je divise 24 par 2, il me viendra necessairement le nombre inconnu 12 que je cherchois.

2,4:: 6,12. Au reste, il ne faut pas laisser ignorer la proprieté de la Proportion Arithmetique dont on peut avoir quelquefois à faire. 4, est à 7, comme , est à 12; c'est-à-dire, 4 est surpassé de trois unités par 7, comme 9 est surpassé de trois unités par 12.

En toute Proportion Arithmetique la somme des Extrêmes est égale à la somme des Moiens, comme ici 4+ 12 est égal à 7+9.

Pour le démontrer d'une maniere générale, A est à A-+x, comme B est à B+ x. x exprime l'excès du Consequent sur l'Antecedent , qui est égal dans les deux Raisons.

Ajqûtant les deux Extrêmes, vient 1+B+xd

Ajoûtant les deux Moïens, vient 4+*+ B qui est la même chose.

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VI.

PREMIERE PROPOSITION FONDAMENTALE.

Des Lignes. Proportionelles.

40

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Les Lignes également inclinées dans deux differens espaces enfermés par des paralleles , sont entre elles en même Raison que les perpendiculaires de ces cspaces. Soient supposées

A с les deux lignes

I CD, GH, chacu

K................. ne étant inclinée dans son espace; c'est-à-dire , l'Angle CDB, égal à l'Angle GH F. Il faut démontrer

B

D que la ligne CD, eft à

E G la ligne GH, comme

L W la perpendiculaire AB est à la perpendiculaire EF. Pour cela, je divise la f

H ligne CD, en telles Aliquottes qu'il me plaira Ici; par exemple, je la divise en fix parties égales comme CK. Par les points de division je mene des paralleles à l'espace , c'est-à-dire , à la ligne Ac. Ces paralleles divisent l'espace total en fix petits espaces paralleles égaux entre eux; & la perpendiculaire AB, se trouve divisée de telle sorte que la ligne Al, est sa fixiéme partie, de même que la ligne CK, est la fixiéme partie de la ligne CD. Voila donc les lignes CK, Al, Aliquottes pareilles des lignes CD, AB. Je prens maintenant la petite ligne 11, pour meLurer l'autre perpendiculaire EF. Je trouve qu'elle

N

I...

10.000

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est contenuë

A trois fois, avec un

K. reste. Par les points de division je mene des paralleles à la ligne E G. Il s'ensuivra de là. que la ligne GH, sera divisée de tel

B

D le forte , que la petite E G ligne G.M, sera conte

L nuë trois fois avec un reste dans la ligne GH; N

O de même que la ligne A1, ou plûtôt son

F

H égale EL, est contenuë trois fois avec un reste dans la perpendiculaire. EF. Il s'ensuivra de plus que G M , sera necessairement égale à la petite ligne CK, par la cinquiéme Proposition des paralleles. Cette préparation faite , il est visible que C K, fixiéme partie de CD, est contenuë trois fois avec un refte dans la ligne GH, & que AI, fixiéme partie de AB, est contenuë pareillement trois fois avec un reste dans la ligne E F. D'ailleurs, les deux restes OH, N F sont entre eux comme les Aliquottes pareilles CK, AI, ou leurs égales GM, EL; ce qu'on démontrera de même, en divisant l'espace parallele EGLM, en telles Aliquote tes qu'on voudra, & en se servant de ces Aliquota tes pour mesurer le petit espace NOFH, qui ren ferme les deux restes; donc les lignes CK, AI,

Aliquottes pareilles des Antecedens CD, AB, font également contenuës dans les Consequents GH, EF; donc CD, GH:: AB, EF. Ce qu'il falloit démons frer.

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Si au lieu de diviser la ligne CD, en six parties égales, je l'avois divisée en cent mille parties égales; je me serois servi de ces cent milliémes parties pour mesurer la ligne Gh, chacune de ces cent milliémes parties auroit été contenuë dans la ligne GH, ou précisément un certain nombre de fois, ou avec un reste; de même une cent milliéme partie de la ligne. A B, auroit été contenuë dans la ligne EF, ou précisément le même nombre de fois, ou le même nombre de fois avec un reste; & de là s'ensuivroit la Proportion des quatre lignes, comme ci-dessus.

SECONDE PROPOSITION.

Si la ligne

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Si deux lignes sont autant inclinées dans leur espace parallele, que deux autres lignes dans le leur, les quatre lignes sont Proportionelles.

A

с
AB, est au-
tant incli-
née dans
son espace,
que la ligne

Pest
dans le sien,
ces deux li B
gnes seront en-

E
tre elles, com-
me les perpen-
diculaires des
espaces, par la
Proposition
précedente. I

H

B

mêmes perpen

De même, si les lignes

A

с
CD, GH,
sont autant
inclinées
chacune
dans leur
espace, elles
seront entre
elles comme les

E
diculaires de
ces espaces. Or
deux Raisons
égales à une
même Raison, F

H
font égales entre elles; donc la Raison des deux pre-
mieres inclinées AB, EF, est égale à la Raison des ;
deux autres CD, GH, ce qui fait leur Proportion,

TROISIE'ME PROPOSITION.
Si un même Angle a deux bases paralleles, ses cô-,
tés, selon une bale, sont proportionels à ses côtés,
selon l'autre, & les bases elles-mêmes, sont en mê-
me Raison que les côtés de même part, appellés co-
tés Homologues.

Soit l'Angle D AE, G.
ou BAC, aiant les
deux bases DE, BC.
Il faut démontrer que
le côté AB, est au

B

I.4. côté AD, fon Homologue, comme le côté AC, est au côté AE, for Homolo- F D gue; & que la base BC, est à la base DE, aufli com

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