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me le côté AB, est au côté AD, ou comme le côté Ac, est à son Homologue A E.

Par le Sommet A, soit menée une parallele aux deux bases, cette parallele forme avec les deux bases, deux espaces paralleles, dont le plus grand est GAHFDE, & le moindre G AHBCI; les deux bases étant paralleles, la ligne AD, qui les coupe, les coupe avec la même obliquité. L'Angle qui a son Sommet en B, est done égal à l'Angle qui a son Sommet en D; par la même Raison, l'Angle qui a son Sommet en C, est égal à l'Angle qui a fon Sommet en E; donc la ligne AB, est autant inclinée dans son petit espace, que la ligne AD, l'est dans le grand; & la ligne AC, autant inclinée dans le petit espace, que la ligne AE, dans le grand ; donc par la précedente Proposition , ces quatre lignes AB, AD;. AC, AE, sont proportionelles.

Pour démontrer presentement que la base BC, est à la bafe DE,comme le côté AC, est au côté

B Homologue A E.

Soit menée la point E, la ligne RT parallele au côté AD D

E & par le point C, la ligne O CP; il se for

R me par là deux nouveaux espaces paralleles, le plus grand compris par les lignes TER,

ABD, & le petit compris par les lignes OCPABD. Orfla ligne Ac, est autant inclinée dans le petit espace , que la ligne WE, l'est dans le grand, & la ligne BC, autant inclinée dans le petit espace, que la ligne D E, dans le grand , à cause du parallelisme des bases; donc la ba

par

ne faite.

fe BC, est à la base DE, comme le côté AC, est aw côté A E, par la precedente Proposition,

COROLLAIRE. Cette Proposition est le fondement d'une partie du Compas de Proportion , qu'on appelle les Parties égales. Car ce n'est autre chose en effet que deux lignes égales, divisées en 100, 200, &c. parties égales à la discretion du diviseur, ces deux lignes tournent par leur extremité sur un même centre, en sorte qu'elles forment tel Angle que l'on veut. Voila la machia Si je veux diviser une

A ligne donnée , comme BC, en dix parties éga

•\20 les, j'ouvre l'instrument composé de mes deux

201 20 lignes divisées en 100 parties égales, de telle

307 sorte que l'angle que ces deux lignes formeront ait pour

base la ligne à diviser BC; ensuite de quoi portant un com

Cat
pas ordinaire sur les di-
visions, de maniere que
ses pointes soient appli-

part
& d'autre
80+

30 de 10 en 1o, la ligne 10, 10 , comprise par les

90+

+90 pointes du compas sera la dixiéme partie de la 100

200 ligne B C; puifque toute B

С cette opération aboutit à donner deux bases paralleles à un même Angle, & que de même que le côté

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407 3아

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quées de

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A 10, est la dixiéme partie du côté A 100, ainsi la base 10, 10, est la dixiéme partie de la base BC.

II.

COROLLA IR E. Cette même Proposition est le fondement de toutes les opérations que l'on fait avec le Bâton de Jacob. Cet instrument est composé de deux Regles, chacune divisée en parties égales. Ces deux Regles se coupent à Angles droits , & on les dispose de telle maniere que la hauteur du bâton AB, posée perpendiculairement sur le terrain B C, que l'on veut mesurer , & le raïon visuel conduit du haut du bâton A, jusques au point d'éloignement C, font un Angle qui a deux bases paralleles ; sçavoir , la distance BC, & la partie DE, de la Regle transversale de l'instrument. Ainsi l'on connoît la distance BC, en considerant que comme AD, est à AB, de même DE, est à la distance B C, que je suppose, par exemple, être la largeur d'une Ri. viere que l'on veut mesurer du bord B.

E

B

QUATRIEME PROPOSITION. I Quand deux Angles égaux ont chacun une base, & que les Angles formés sur les bases par les côtés sont

égaux chacun à chacun ; c'est-à-dire , uri Angle formé sur une des bases, égal à un Angle formé sur l'autre base; tels Angles sont appellés Angles semblables, & les côtés de l’un sont proportionels aux côtés de l'autre, anffi-bien que la base à la base. Soit l'Angle dont le fom

А. met est en A, égal à l'Angle dont le sommet est en D. Soit l'Angle ABC, formé sur la base BC, par le côté B/ AB, égal à l'Angle DEF, formé sur la base

D EF, par le côté D E. Les Angles ACB, DFE, seront par consequent égaux, le côté B A, en Es ce cas est appellé Homologue à l'égard du côté DE, & le côté AC; Homologue par rapport au côté D F. Il faut démontrer que le côté AB, est au côté DE, comme le côté wc, est au côté DF, & comme la base BC, est à la base EF.

10. Il est évident que ce n'est presque que la précem dente Proposition énoncée autrement: Car en appliquant

le sommet A , sur le sommet D, viendra un Angle ažant deux bases paralleles, puisque l’Angle en B, est supposé égal à l'Angle en E. Mais pour

démontrer la chose immediatement, il n'y a qu'à mener par les deux sommets A, D, deux paralleles aux bases, l'on aura deux espaces paralleles, la ligne AB, sera autant inclinée dans son espace que la ligne DE, dans le fien ; & la ligne AC, autant inclinée dans son espace, que la ligne D F, dans le sien; donc ces quatre lignes

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font proportionelles; c'est-à-dire , le côté AB, est au côté DE, comme le côté Ac, est au côté DF. L'on démontrera de même la Proportion des bases. CINQUIE'ME PROPOSITION. PROBLEME

Etant données trois lignes, trouver une quatriéme! proportionelle.

Soit les trois lignes données AB, CD, EF.

A B Soit du point A,

fait le sommet d’un Angle dont la ligne AB, soit un côté.

D Sur le point B, soit placé le point C, de la ligne E CD, en sorte que la ligne CD, soit base de l'Angle dont le

В. sommet est en A. Au mê me point appliqué le point E, de la ligne E F, en forte

que

la ligne EF, soit couchée sur la ligne AB; par les points A, D, soit menée une ligne indéfinie; la ligne FH, menée parallelement à la premiere base CD,& déterminée au point H, par la ligne indéfinie AD, sera la quatriéme proportionelle cherchée. Car en cette figure, il est visible que l'Angle en A, a deux bases CD, FH, paralleles, & qu'ainsi le côté AB, est à la base-CD, comme le côté EF, est à la base FH, qui est la quatriéme proportionelle que l'on cherche.

D

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A, soit F

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