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D, soient menées les lignes EF, HI, paralleles à la ligne AC, prolongée en G. Il se forme par là deux espaces paralleles, & il est évident que la ligne B A, eft autant inclinée dans son espace que la ligne DA, l'est dans fien , puisque par la constru&ion, l’Angle BAC, est égal à l'Angle CAD; de même la ligne BC, est autant inclinée dans le premier espace , où elt renfermée la ligne B A, que la ligne CD, l'est dans le second espace , où est renfermée la ligne AD, puisque c'est une même ligne coupée par des paralleles; donc par la deuxiéme Proposition de ce Livre, la ligne AB, est à la ligne AD, comme la ligne BC, est à la ligne CD, & alternando, la ligne ĀB, est à la ligne BC; comme la ligne AD, est à la ligne CD.

NEUVIEME PROPOSITION. Si du sommet d'un Angle droit , l'on menie une perpendiculaire sur la base, cette perpendiculaire forme deux Angles semblables entre eux & austotal, d'où s'ensuivent plusieurs Proportions. Il faut relire soigneusement la quatriéme Proposition de ce Livre, pour bien entendre celle-ci qui est fort importante.

L'Angle BAD est droit, l'Angle BCA, est droit. Lepremier forme sur fa base BD, l'Angle ABD; B С

D le second, c'est-à-dire , l’Angle BCA, forme sur la base BA, le même Angle ABD, ou ABC; donc l’Angle BAD, est semblable à l'Angle BCA, puisque les Angles sur les bases sont égaux entre eux , &

F

droits ,

que les Angles А
BAD, BCA
étant tous deux

font eux - mêmes suposés égaux. On démontre- B

D ra de même que l'Angle BAD, est semblable à l'Angle D CA, parce que outre qu'ils sont tous deux droits, ils forment par leurs côtés des Angles égaux chacun à chacun sur leurs bases, car le premier forme sur sa base BD, l'Angle B DA, & ce même Angle B DA, ou CD A, est l'Angle formé sur la base À D, par un côté de l'Angle DC A. Les trois Angles B AD, BCA, DCA, sont donc non seulement égaux, mais semblables, ce qu'il ne faut pas

confondre; c'est-à-dire, que les Angles qu'ils forment par leurs côtés sur leurs bases sont égaux chacun à chacun; donc par la quatriéme Propolition de ce Livre, les côtés homolo. gues de ces trois Angles semblables sont proportionels; c'est-à-dire ,

Le petit côté BC, est à la base AB, comme le petit côté A B , est à la base B D.

Le côté CD, est à la base AD, comme le côté AD est à la base BD.

Le petit côté CB, de l'Angle BCA, est à son autre côté CA, comme le petit côté CA, de l'Angle DCA, eft à son autre côté DC.

Pour prouver plus brievement ces proportions, on peut dire que par la perpendiculaire AC, l'on a trois moiennes proportionelles ; sçavoir AB, moïen proportionel entre BD, & BC.

ÅD, moien proportionel entre BD, & CD,
AC, moien proportionel entre BC, & CD.

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DIXIEME PROPOSITION.
Entre deux lignes don-
nées comme AB, CD,

A А
trouver une moienne
proportionelle,

Je les dispose de telle forte bout à bout , qu'elles ne faf

E

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gne droite,

A

telle qu'est
la ligne
AD, sur le

F
point B,qui
les joint,

B
j'élevé la perpendiculaire indéfinie: Je divife la ligne
ÅD, en deux parties égales au point F, & du point
F, pris pour centre, intervalle FD, je décris le cercle
qui coupe la perpendiculaire au point'E; je dis que
la ligne BE, est la moïenne proportionelle cher-
chée : car par la construction, l'Angle AED, eft
un Angle droit, puifqu'il a fon sommet dans la cir-
conference, & qu'il est appuie sur un demi-cercle ou
180 degrés; donc par la précedente Propofition", la
perpendiculaire E B, est moïenne proportionelle en-
tre les deux Segmens de la base À B, BD, ou CD,
qui sont les deux lignes données.

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SEPTIEME LIVRE.

Des Réciproques.

DEFINITION S.

ORSQUE quatre lignes sont proportionelles, les

à Moïennes.

Ainsi lorsque l'on dit, ces deux lignes-là sont Réciproques à ces deux autres-ci; c'est comme si l'on disoit”: la premiere de ces deux lignes-là, est à la premiere de ces deux lignes-ci, comme la seconde de ces deux lignes-ci, est à la seconde de ces deux lignes-là.

Lorsqu'un même Angle a deux bases ; qui n'é tant point paralleles, forment avec ses côtés des Angles égaux; l'un d'un côté, l'autre de l'autre, telles bases sont dites Antiparalleles, & ces bases peuvent être. Antiparalleles, suivant trois dispositions. L'Angle CAE,

А a deux bases, qui se croisent & en

3
ce cas, l'Angle en
C, doit être égal à
l'Angle en E, & par

D
consequent l'Angle en
B, égal à l'Angle en
D.

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Dans la deuxiéme disposition, l'Angle

F
I FK, a deux bases
IK, GH, entiere-
ment séparées , &

HL
dans cette disposi-
tion, l'Angle en I,

G doit être égal à l'Angle GHF, & par con

I

K
sequent l'Angle en
K, égal à l'Angle HG F.
Dans la troisiéme dis-

L
position, l'Angle NLO,
à deux bases qui se joi-
gnent au point 0, & en
ce cas l’Angle LNO, est

M égal à l'Angle LOM, & l’Angle LMO, est égal à l'Angle LON. Dans ces trois difpofi

N N tions, les côtés totaux comparés avec les côtés partiaux, donnent des Réciproques; car :

Dans la premiere disposition, le côté AC, est au côté AD, comme le côté A E est au côté A B.

Dans la seconde , le côté FI, est au côté FH, comme le côté FK, est au côté FG.

Dans la troisiéme, le côté LN, est au côté LO, comme le côté Lo, est au côté LM. Pour le démontrer:

Par les trois sommets A, F, I, soient tirées des paralleles à chacune des deux bases; chacune des trois dispositions donne deux espaces parallelesa

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