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La ligne Ac, qui n'est rien autre chose

que

la ligne AB, moins la ligne CB, sera suivant ces noms M-N.

Il faut démontrer que M - N,N::N, M.

Par la conftru&tion la ligne BF, eft M+N. Or par la précedente Proposition, la ligne BE, est à la ligne AB, comme la ligne AB, est à la ligne BF; c'est-à-dire, N; M::M,M+ N. Invertendo, M,N::M+N, M. · N, N:: M + N

M: Or M+N-M, n'est autre chose que N; Donc

M-N, N::N, M. C'est-à-dire, la ligne Ac, est à la ligne CB, comla ligne CB, est à la ligne AB, qui est ce que l'on cherchoit.

Dividendo,

M.

M,

PROBLEME.

SIXI E'ME PROPOSITION.

Etant donné le côté d'un Angle Isofcele, qui doive être un Angle de 36 degrés, trouver la base de cet Angle.

Soit le côté dons né AD, du point A, soit décrit , intervalle AD, un are comme DEF. Soit par le Problême précedent, la ligne AD, divisée en moïenne & ex

A trême Raison au

С

D point C; la grande portion AC, soit portée de D, en B, sur l'arc; je dis que la ligne DB, est la base cherchée; c'est-à-dire, que tirant l'autre côté AB,

l'Angle

l'Angle DAB, est un Angle de 36 degrés; je l'aurai démontré, si je puis faire voir qu'il est fa cinquiéme partie de deux Angles droits, ou de 180 degrés : soit tirée la ligne B C.

Pour cela comme l'Angle DAB, eft Isolcele, & par consequent que les deux Angles sur la base BD, sont égaux entre eux, je n'ai que deux choses à faire voir. La premiere, que l'Angle DAB, est égal à ’’Angle DBC, La seconde, que cet Angle DBC, est la moitié de l’Angle sur la base DBA; car il s'ensuivra que l'Angle DAB, sera moitié de chacun des Angles égaux qu'il fait sur la base; & comme ces trois Angles en valent deux droits, il faudra bien qu'il soit la cinquiéme partie des deux Angles droits.

Preuve de la premiere Partie. Cela sera tout prouvé, fi l’Angle ADB, a pour bases antiparalleles les lignes BC, BA; or elles sont en effet bases antiparalleles , puisque par la construction, la ligne AD, est à la ligne AC, ou BD, son égale, comme la li gne BD, est à ligne DC, ce qui est la troisiéme dirposition des antiparalleles; donc l’Angle aigu DÄB; est en effet égal à l’Angle aigu DBC.

Preuve de la seconde Partie. Par la conftruction, la ligne CD, est à la ligne DB, Ou AC, comme la ligne CA, est à la ligne A B ; donc par la huitiéme Proposition des Proportionelles, l'Angle DB A, est divisé en deux parties égales par la ligne BC; donc l'Angle CBD, cst la moitié de l’Angle ABD; donc l'Angle B AD, est la cinquiéme partie de deux droits,

par consequent un Angle de 36 degrés.

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HUITI EME LIVRE.

Des Figures.

Pre's avoir examiné les proprietés des Lignes

&
des Figures.

DEFINITIONS.
Figure , est un espace renfermé

par

des lignes. L'espace renfermé par des lignes droites, s'appelle Re&iligne; par une ou plusieurs courbes, Curviligne; par courbe & droite, Mixte. Nous parlerons d'abord des Figures Rectilignes.

Dans les Figures Rectilignes l'on considere principalement trois choses; les Angles, les Côtez & l'Aire.

L'on a donné aux Figures Rectilignes les plus fimples, certains noms qu'il ne faut pas ignorer. La Figure de 3 côtés se nomme, Triangle.

Quadrilatere. Pentagone. Hexagone. Heptagone. O&ogone. Enneagone. Decagone.

Endecagone. de 12,

Dodecagone.

Kiliogone. de 10000 ,

Myriogone. de plusieurs côtés fe nomme indéfinis

ment, Polygone.

de 4: de 5,

de 6,
de 7,
de 8,
de 9,
de 10,
de il,

de 1000,

Le Triangle se divise en plusieurs especes. Rectangle, qui a un Angle droit. Ambligone , qui a un Angle obtus. Equilateral, qui a trois Angles & trois côtés égaux, Scalene , qui à ses trois côtés inégaux. isoscele, qui a ses deux côtés égaux. Oxigone, qui a ses trois Angles aigus.

Le quadrilatere se divise aussi en plusieurs especes. Quarré, qui a quatre Angles droits & quatre cô

tés égaux. Rectangle, qui a 4 Angles droits ; d'où s'ensuit que

tout quarré eft Rectangle. Parallelogramé, qui a ses côtés opposés paralleles.

Trapeze, qui a les quatre côtés inégaux.
Rhombe, qui a ses quatre côtés égaux, & qui n'a

pas ses Angles droits. Les Figures font régulieres ou irrégulieres; les régulieres, sont celles dont tous les côtés & tous les Angles sont égaux.

Quand les Figures ont les côtés égaux, sans avoir leurs Angles égaux, on les appelle simplement Equilateres.

Quand on compare deux Figures ensemble, fi les Angles de l'une sont égaux aux Angles de l'autre, & que les côtés correspondans ou homologues,

font proportionels, on les appelle Semblables; & fi les côtés comparés, font égaux, auffi-bien que les An. gles, ces Figures font appellées toutes égales , & ne different que de position:

PREMIÈRE PROPOSITION..

Toute Figure Rectiligne se peut resoudre en autant de Triangles qu'elle a de côtés.

Il n'y a qu'à choisir dans l'Aire ; c'est-à-dire,

dans l'espace ren

B fermé par les côtés , un point à discretion , comme A, & en tirer des lignes à chacun des Angles; il est visible qu'il se tormera autant de Triangles, que la Figure a de côtés.

SECONDE PROPOSITION.

Tous les Angles d'un Polygone quelconque font égaux à autant d’Angles droits, que le double de ses côtés moins quatre.

Car aïant choisi le point A, dans la Figure, & l'aïant partagée en triangles, les trois Angles de chacun de ces triangles , par exemple, du triangle GAB, valent deux Angles droits, par la cinquiéme Proposition du quatriéme Livre , parce que le triangle ne differe pas d'un Angle consideré avec sa base; & que tout ce que l'on a démontré d'un Angle avec sa base, est démontré pour le triangle. Donc tous les Angles des triangles qui composent la Figure, valent autant de fois deux Angles droits, qu'il a de côtés; & fi l'on en ête tous les Angles qui ont leur fominet au point , & qui valent ensemble quatre Angles droits , par la seconde Proposition du quatrième Livre, le reste sera la somme des Angles formés par les côtés du Polygone; donc, &c,

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