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la tangente AB, je dis, fuivant la Propofition précedente, comme la hauteur de la montagne eft à la tangente, ainfi la tangente eft à la ligne AC; d'où ôtant la hauteur de la montagne, refte la ligne DC, diametre de la Terre.

AUTRE

PROBLEM E.

CINQUIEME PROPOSITION.

Divifer une ligne comme AB, au point C, en moïenne & extrême Raifon; c'est-à-dire en forte que la toute AB, foit à la portion CB, comme la por tion CB, est à la portion AC.

Sur l'extre

mité A, de

la ligne AB, foit élevée la perpendiculaire AD, égale à la moi

tié de la ligne donnée AB;

du point D, pris pourcentre intervalle

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DA, foit dé

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crit le cercle AEF, puis foit tirée la ligne BD, coupée par le cercle au point E; je dis que la ligne BE, étant portée de B en C, le point C, divife la ligne donnée en moïenne & extrême Raifon. Pour abreger; que la ligne AB, foit appellée M. La ligne BE, foit appellée N.

Par confequent, la ligne BC, fera auffi N. Et la ligne FE, diametre du cercle, qui eft double de la ligne AD, fera égale à la ligne AB, & fera auffi M.

La ligne AC, qui n'eft rien autre chofe que la ligne AB, moins la ligne C B, fera fuivant ces noms M-N.

Il faut démontrer que M-N, N::N, M.

Par la conftruction la ligne BF, eft M+ N. Or par la précedente Propofition, la ligne BE, eft à la ligne AB, comme la ligne AB, eft à la ligne BF3 c'eft-à-dire, N, M::M, M → N.

Invertendo,

M, N:: MN, M.

Dividendo, M N, N M + N.

Or

Donc

M, M:

MNM, n'eft autre chofe que Ni
MN, N::N, M.

C'eft-à-dire, la ligne AC, eft à la ligne CB, com la ligne CB, eft à la ligne AB, qui eft ce que l'on

cherchoit.

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Etant donné le côté d'un Angle Ifofcele, qui doive être un Angle de 36 degrés, trouver la bafe de cet Angle.

Soit le côté don né AD, du point A, foit décrit, intervalle A D, un arc comme DEF.

Soit par le Problême précedent, la ligne AD, divifée

en moienne & ex- A

C

D

trême Raifon au point C; la grande portion AC, foit portée de D, en B, fur l'arc; je dis que la ligne D B, eft la base cherchée; c'est-à-dire, que tirant l'autre côté AB,

l'Angle

l'Angle DAB, eft un Angle de 36 degrés ; je l'aurai démontré, fi je puis faire voir qu'il eft la cinquième partie de deux Angles droits, ou de 180 degrés : foit tirée la ligne B C.

Pour cela comme l'Angle DAB, eft Ifofcele, & par confequent que les deux Angles fur fa bafe BD, font égaux entre eux, je n'ai que deux choses à faire voir. La premiere, que l'Angle DAB, eft égal à l'Angle DBC. La feconde, que cet Angle DBC, eft la moitié de l'Angle fur la bafe DBA; car il s'enfuivra que l'Angle DAB, fera moitié de chacun des Angles égaux qu'il fait fur la bafe; & comme ces trois Angles en valent deux droits, il faudra bien qu'il foit la cinquième partie des deux Angles droits. Preuve de la premiere Partie. Cela fera tout prouvé, fi l'Angle ADB, a pour bases antiparalleles les lignes BC, BA; or elles font en effet bafes antiparalleles, puifque par la conftruction, la ligne AD, eft à la ligne AC, ou BD, fon égale, comme la li gne BD, eft à ligne DC, ce qui eft la troifiéme difpofition des antiparalleles; donc l'Angle aigu DAB ¿ eft en effet égal à l'Angle aigu DBC.

Preuve de la feconde Partie. Par la conftruction, la ligne CD, eft à la ligne DB, ou AC, comme la ligne CA, eft à la ligne AB; donc par la huitiéme Propofition des Proportionelles, l'Angle DBA, eft divifé en deux parties égales par la ligne BC; done l'Angle CBD, cft la moitié de l'Angle ABD; done l'Angle BAD, eft la cinquième partie de deux droits, par confequent un Angle de 36 degrés.

&

HUITIEME LIVRE.

A&

Des Figures.

PRE's avoir examiné les proprietés des Lignes & des Angles, l'ordre demande que l'on traite des Figures.

DEFINITIONS.

Figure, eft un efpace renfermé par des lignes. L'efpace renfermé par des lignes droites, s'appelle Rectiligne; par une ou plufieurs courbes, Curviligne; par courbe & droite, Mixte. Nous parle rons d'abord des Figures Re&tilignes.

Dans les Figures Rectilignes l'on confidere principalement trois choses; les Angles, les Côtez & l'Aire. L'on a donné aux Figures Rectilignes les plus fimples, certains noms qu'il ne ne faut pas ignorer.

La Figure de 3 côtés fe nomme, Triangle.

Quadrilatere.

de 4, de 5,

Pentagone.

de 6,

Hexagone.

de 7,

Heptagone.

de 8,

Octogone.

de 9,

Enncagone.

de 10,

Decagone.

Endecagone.

de 11,

de 12,

Dodecagone.

de 1000,

Kiliogone.

de 10000,

Myriogone.

de plufieurs côtés fe nomme indéfini

ment, Polygone.

Le Triangle fe divife en plufieurs efpeces. Rectangle, qui a un Angle droit.

Ambligone, qui a un Angle obtus.

Equilateral, qui a trois Angles & trois côtés égaux.
Scalene, qui a fes trois côtés inégaux.
Ifofcele, qui a fes deux côtés égaux.
Oxigone, qui a fes trois Angles aigus.

Le quadrilatere fe divife auffi en plufieurs efpeces. Quarré, qui a quatre Angles droits & quatre côtés égaux.

Rectangle, qui a 4 Angles droits, d'où s'enfuit que tout quarré eft Rectangle.

Parallelograme, qui a fes côtés oppofés paralleles. Trapeze, qui a fes quatre côtés inégaux.

Rhombe, qui a fes quatre côtés égaux, & qui n'a pas fes Angles droits.

Les Figures font régulieres ou irrégulieres; les régulieres, font celles dont tous les côtés & tous les Angles font égaux.

Quand les Figures ont les côtés égaux, fans avoir leurs Angles égaux, on les appelle fimplement Equi

lateres.

Quand on compare deux Figures ensemble, fi les Angles de l'une font égaux aux Angles de l'autre, & que les côtés correfpondans ou homologues, font proportionels, on les appelle Semblables; & fi les côtés comparés, font égaux, auffi-bien que les Angles, ces Figures font appellées toutes égales, & ne different que de position.

PREMIERE PROPOSITION.

Toute Figure Re&tiligne fe peut refoudre en autant de Triangles qu'elle a de côtés.

Il n'y a qu'à choifir dans l'Aire; c'est - à - dire

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