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rithme, cette méthode ne me donneroit pas exactement la fraction qu'il faut trouver : car prenant la différence de ce logarithme donné, & du plus prochainement moindre, je trouve qu'elle est 55913, & c'est la différence du logarithme du nombre 49 & du logarithme donné.

Je prens ensuite la différence du logarithme de 40 & du logarithme 41, qui se trouve être 107239.

Si je faisois maintenant une regle de trois , &

que je dise:

Si 107239 donnent I, combien 55913. Comme les différences de ces premiers logarithmes sont très-grandes, & diminuent fort inégalement; cette regle ne donneroit pas ce qu'il faut ; çar quoique $5913 foit presque la moitié de 107239, cette unité qu'il faut diviser, & dont il faut prendre une partie , ne doit pas être à beaucoup près divisée dans la proportion de ces deux nombres, à cause de la grande inégalité du décroissement des logarithmes.

Pour remedier à cet inconvenient, au logarithme donné 16076543 , j'ajoûte le logarithme de 100, qui est 20000000, vient 36076543, par la méthode ei - deffus je cherche le nombre auquel 36076543 appartient, & je trouve que ce logaşithme convient au nombre 40184, cette frac

5 tion 4 est exacte , ou très-peu s'en faut; parce que

5 les différences de ces grands logarithmes n'ont pas les inégalités des premiers. Mais comme ce logarithme 3. 6076 543 a

été formé par l'addition du logarithme donné 16076543, & du logarithme de 100, qui est 20000000

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la fomme des deux logarithmes est logarithme d'un nombre cent fois plus grand que celui dont 16076543 eft logarithme, suivant ce que nous avons dit tant de fois; donc il faut prendre la centiéme partie du pombre trouvé 4018

4 qui sera 40

94 5

500 On voit par là combien cette fraction est éloignée d'avoir avec l'unité la même proportion que 55913 avec 107239;

C'est pourquoi lorsque le logarithme donné eft moindre que le logarithme de 1 000, il faut l'augmenter comme nous venons de le pratiquer.

Que si l'on me proposoit un logarithme plus grand que le logarithme de 10000, lequel ell 4. 0000000; par exemple, si l'on me proposoit 4. 5524118, qui ne se peut trouver dans la Table; de ce logarithme donné, j'ôte le logarithme du nombre 10, qui est 10000000, me reste 35524118, que je trouve appartenir au nombre 35672, lequel nombre, par les principes ci-dessus posés, doit êttre la dixiéme partie du nombre dont le logarithme a été propofe ; parce que de ce logarihme on a retranché le logarithme de 10 ; ainfi multipliant 13567., par 10, on aura 35679 pour le nombre dont 45524118 est le logarithme.

Par les mêines principes, fi l'on me propose le logarithme négatif ci-dessus 1249988, & quc l'on me demande de quelle fraction il est logarithme; à ce nombre négatif j'ajoûte un logarithme à difcretion ; par exemple , le logarithme du nombre 360, qui cft 25563025, la fomme est 24313037; ce logarithme eft correspondant au nombre 270,

Qüj

10

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4, dont

ou

ou

36

lequel doit être 360 fois plus grand que le nombre dont on a proposé le logarithme, puisqu'on a ajoûté le logarithme de 360 au logarithme proposé; donc divisant 2 70 par 360, on doit avoir la fraction

270 27 cherchée ; c'est-à-dire ,

360

3 1249988 est le logarithme, comme on l'a trouvé ci-dessus.

Il ne nous reste plus qu'à donner quelques exemples de l'utilité de ces Tables,

Soit donné le triangle re&iligne' ACB, l'angle C de 88 degrés, le côté BA de 9895 toises, le côté ca, de 9799 toises, on demande l'angle B, par la pratique ordinaire des Sinus, comme 9895 est au Sinus de 884 99939 :: ainsi 9799 eft au Sinus B

C de l'angle B; il faudra donc multiplier 99939 par 9799, & diviser le produit par 9895; ce qui est affes long & sujet à erreur de calcul.

Par les logarithmes, le logarithme de 99939 Sinus, est

999973 le logarithme du nombre 9799, est 399118 j'en fais l'addition, vient

1399091 j'ôte de cette som. le log. de 9895,qui est 399541 reste

9.99550 que je trouve dans la Table être logar. de 810 46 qui est l'angle cherché.

9893

9499

88 deg.

Cela est bien-tôt fait & bien plus sûr , puisqu'il n'y a qu'une simple addition, & ensuite une fouftraction à faire,

Mais ce n'est rien en comparaison de l'utilité qu'on trouve dans les opérations Astronomiques. En voici une qui peut faire juger des autres. Cet exemple ne peut être bien compris que par ceux qui sçavent les principes du calcul des triangles sphe riques, les autres doivent s'en rapporter à nous.

Je veux sçavoir l'heure qu'il est par l'observation de la hauteur du centre du Soleil : cela dépend de la resolution d'un triangle spherique dont les trois côtés sont connus.

Le 19 Mai 1721, à Chastenay, où l'élevation du Pole est 48á, 45'55";& par consequent l'éleVation de l'Equateur 410, 14, 5", j'observai la hauteur du centre du Soleil de 304, 2' 26",

Dans le triangle spherique SPZ, où s deligne le centre du Soleil, Z, le Zenith, P, le Pole , les trois côtés font connus, car SZ, est la distances du centre du Soleil au Zenith, qui est le complément de 30: 2. 26", élevation observée; & par consequent l'arc sz eft de 52. 57. 34". ZP est la distance du Pole au Zenith, c'est-à-dire , 41. 14. 5". SP et la distance du Soleil au Pole, que l'on connoît exa&ement par les Tables à jour & à heures marquées, & qui étoit alors 70. 8. 35". Il faut de là tirer la cons

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6 237 234
34 11

145

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1078'3507

noissance de l'angle P, qui donne la distance du Cercle horaire au Méridien,

Pour cela , ayant l'invention des logarithmes, il falloit d'abord prendre la somme des trois côtés du triangle 171. 20. 14. prendre la moitié de cette forme 85. 40. 7". ôter de cette moitié le côté 70. 8. 35. mettre à part ce qui reste 15. 31. 32", ộter ensuite de cette même moitié 85. 40. 7". l'autre côté 41. 14.5" mettre auffi à part ce qui reste 44.

26, 2". ces deux restes fe nomment les différences.

Après cette préparation, il falloit faire ces deux regles de proportion.

Comme le Sinus de 70. 8. 35" est au Sinus de 15. 31. 32"; ainfi le Sinus de 44. 26. 2". a un quatriéme Sinus : puis aïant ce quatriéme Sinus, il falloit faire,

Comme le Sinus de 41. 14.5" est à ce quatriéme Sinus trouvé, ainsi le Sinus total à un autre Sinus.

Il falloit enfin multiplier cet autre dernier Sinus par le Sinus total, puis tirer la racine quarrée du produit; & cette racine quarrée étoit le Sinus de la moitié de l'angle cherché ZP S.

Il n'y a point de bon Calculateur qui puisse finir ces opérations en trois heures de travail, au hazard de fe tromper dans ces longues multiplications, divisions & extractions de racine.

Par les logarithmes , l'affaire se fait en un quartd'heure, par de fimples additions. Je prens le logarithme de 15.31.32",qui eft 9.42759 le logarithme de

44. 26. 2.

9.84514 le compl. logarithmique 70. 8.35. le compl. logarithm. de 41. 14. 5.

18103 leur somme est

19.48032

La

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