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V 1936DDVD-1936BBDD - 1936 BBDD + 1936BBBB

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440D-44BB ou

& partant l'aire du cerele RTM, 22 DD

22 BB est

Ce qu'il falloit démontrer. Ces trois Propositions, & particulierement la derniere, servent de clef à l'admirable méthode dont Archimede s'est servi pour déinontrer la proportion de la Sphere & du Cylindre. C'est assurément une des plus fublimes découvertes de l'esprit humain, & des plus utiles qui aient jamais été faites en Geometrie. Mais il est plus que vraisemblable que ce grand homme y est arrivé par un chemin peu différent de celui-ci; & qu'il a voulu cacher son art pour donner une plus grande admiration. Il est moralement impossible qu'il y eût pû, sans quelque chose d'équivalent à notre Analyse, suivre sans s'égarer une route aussi composée que l'est celle qu'il propose. Les personnes qui sont versées dans la lecture des Anciens, & qui sont accoûtuinées aux hautes speculations de Geometrie, remarquent en mille occasions ce que nous avançons ici; ainsi il ne peut être permis qu'aux médiocres Geometres de refuser aux Anciens, la gloire d'avoir posledé la Science Analatique, du moins aussi bien que nous.

Etant données les lignes droites AB,CD, qui se coupent à angles droits au point D, également diftant des extremités A, B. D'écrire une espece d'ovale, comme C Kw B, qui ait le point D, pour centre, la ligne AB, pour grand axe; la ligne CD, pour

moitié du petit axe, & qui soit de telle nature, que fi de l'un de ses points, comme w, l'on mene aux foiers f F, les lignes af, w F, le rectangle de ces deux lignes soit égal au rectangle de deux autres li

gnes quelconques menées de tout autre point de la courbe pareillement aux foiers tels que sont dans ła Figure les lignes Kf, KF.

Pour cela je considere d'abord que les points A,
C, étant deux points de la courbe , le rectangle des
lignes Af, AF, doit être égal au rectangle des lignes
Cf, CF; c'est-à-dire, que Af, doit être à Cf, com-
me la même Cf, ou son égale CF, est à la ligne AF;
ainsi la question se réduit à trouver le point f.
Je fais CD= A.

AD= B.
Afa
fD

B
AP=2B-*, parce que les deux foïers
f, F, déterminent les lignes Af, FB, à être égales.

La ligne fc, sera V AA + BB2 B x -+ ** parce que l'angle en D, étant droit le quarré de fc, est égal aux quarrés de la ligne fD, & de la ligne DC.

Or par la nature qu'on suppose à cette courbe x,
V AA-+BB2Bx+xx :: VAA+BB-2Bx+xx,

2 B

- X.

BB

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Donc le produit des Extrêmes, est égal au produit des Moiens ; 2 B x - **= AA + B B 2 B * *xx; dono xx= 2 Bx

V BB-AA & par confquent x=BD'où s'ensuit que si de la ligne AD, jôte une li

il me restera la ligne Af. Sur la ligne AD, prise pour diametre , soit décrit le demi-cercle AGD. Du point D, foit prise la ligne DG, égale à la ligne DC, & soient joints les points A, G, par la ligne AMG, laquelle soit

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gne égale à

2

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prolongée jusqu'en 1, en sorte que la ligne 1 A, foie la moitié de la ligne AG, & sur la ligne IG, prise pour diametre , soit décrit le demi-cercle IL G; je dis que la ligne LA, tirée perpendiculairement sur la ligne 16, au point A, & terminée par la cirs conférence I LG, est égale à

V BB - AJ Car le triangle AGD, étant rectangle, le quarré de la ligne AG, est égal au quarré de la ligne AD, moins le quarré de la ligne DG ; c'est-à-dire, que le quarré de la ligne AG, est BB A A. De plus les lignes AG, AL, AI, étant continuellement proportionelles par la construction, le quarré de la ligne AG, est au quarré de la ligne AL, comme la ligne AG, est à la ligne Al. Or la ligne AG, eft double de la ligne A 1, par construction; donc le quarré de la ligne AG, est double du quarré de la ligne AL. Cela étant, puisque le quarré de la ligne ÀG, est BB - AA; le quarré de la ligne AL, sera

A A, & par consequent la ligne AL, fera VB BAA

De maniere que fi de la ligne AD, j'ôte la ligne Df, égale à la ligne AL, il me restera la ligne Åf, qui me détermine le foierf, qu'il étoit question de trouver , & en même temps l'autre foier F, qui doit être d'autant éloigné du point B, que le point f, l'est du point A.

Après cela la description de la Courbe est trèsfacile. Car si après avoir tiré les lignes FC, FC; du point F, pris pour centre,& d'un intervalle plus grand que la ligne FB, & plus petit que la ligne FC, comme par exemple, FS, je décris le cercle Sw; & que de

ure foier f, je décrive le cercle L.w, qui ait pour

BB

• A A

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1

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ražon la ligne f Q, laquelle soit à la ligne CF, comme
CF, est à FS, les deux cercles se couperont en un
point comme w, lequel sera un des points de la
ligne courbe requis.

Car par la construction, w F, sera égale à FS ; &
«f, sera égale à Qf: or par la même construction
FS, est à FC, comme FC, est à f Q. Donc Fo, eft à
FC, comme FC, ou son égale Cf, est à af. Donc le
re&tangle des deux lignes WF, wf, menées du point
w aux deux foiers, est égal au rectangle des deux
lignes CF, Cf; l'on trouvera de même tout autre
point comme K, en décrivant du centre F, le cercle
RK, & du centref, le cercle PK, en sorte que le
ražon du cercle PK, soit la ligne CF, comme la
même ligne CF, au raïon du cercle PK.

Nous appellons cette ligne courbe Caffinoïde, du nom de son inventeur le celebre M. Cassini Directeur de l'Observatoire Roial, qui s'en sert admirablement pour exprimer le mouvement des Planetes.

Il est aisé de démontrer qu'elle est d'un degré plus composé que les Sections Coniques , puisque l'équation qui exprime le rapport de l'appliqué wo, à son interceptéc Bo, monte au quarré quarré qui se peut aisément réduire au cube ; & qu'on la peut décrire par le mouvement d'une Se&ion conique , & d'une ligne droite, suivant la méthode de l'incomparable de M. Descartes.

Voici encore quelque proprieté de cette ligne.

Si du point H, extremité du petit axe,
à l'extremité du grand axe , la ligne HB, elle sera
mojenne proportionelle entre la ligne fB; & les
deux lignes Af, FB, prises ensemble.
Soit à present DB=D.

Af=B.

FB B.
Car la ligne DF, étant égale à D-B, son quarré

l'on mene

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fera DD - 2DB + BB, à quoi ajoûtant le quarré de la ligne CD, qui est Au, viendra le quarré de la ligne CF=DD- 2 DB + BB+ AA, or on trouve le quarré de CF = 2DB BB;

donc 4 DB - 2 BB=DD + AA. Cette égalité réduite en proportion, donne 2D-B, VDDIAA::V

DDHAA, 2 B. Or à cause du triangle rectangle HDB, HB, est égale à V DD+ A A. Donc elle est moienne proportionelle entre fB, & les deux lignes Af, FB. :

De plus, je dis que le quarré de la ligne H B, est double du quarré de la ligne HF, ou C F, son égale.

Nous avons démontré que la ligne D F, est égale

à la ligne A L, laquelle sera V DD AA

en faisant

2

DD-AA AD=D; donc le quarré de la ligne DF eft à quoi ajoûtant le quarré de la ligne CD', qui est

D D + A A VA, viendra

égal au quarré de CF, qui par consequent sera la moitié du quarré de la ligne HB, qui est DDA.

Cela nous fournit encore une maniere fort simple pour trouver les foiers de la courbe; il ne faut pour cela que prolonger la ligne HB, jusques en E, en forte que H = soit la moitié de HB, puis aïant. décrit sur = B, pris pour diametre le demi-cercle

B; élever sur le point H, la perpendiculaire H&, terminée par la circonférence. Cette ligne sera

DD+ AA r , & par consequent égale à H F. Ainsi le cercle décrit du centre H, intervalle H &, coupera la ligne DB, au point F, l'un des foïers de la courbe.

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FIN

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