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33

3

3 X 4

1 * 3

69

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22. D'où il est aisé de voir qu'on peut faire la même chose d'une maniere plus courte, en multipliant les Expofans de la grandeur donnée par l'Exposant de la puissance à laquelle on veut éleyer cette grandeur, Ainfi la troisiéme puissance de

1*;, * 3 mb, ou ab eft a b = ab; la quatriéme puiflence de a esta =4 ; la troisiéme puisfance de A ab, ou 4 b cst a b =ab; la troisiéme puissance de a ,foud, et

á'; la quatriéme puissance de dou.

=, & en general la puissancen de a , est . La puissance n de esta ļ signifie un nombre pair, ou impair.

23. Il est clair (n. 14 & 15) que pour multiplier produit ou une puissance par un autre produit, ou par une autre puissance où se trouvent les mêmes lettres, il n'y a qu'à ajoûter les Exposans.

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3

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eft a

m

selon quc

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ab

· A * A

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a ŞI. On verra dans la suite pours quoi a *, & pourquoi a =I.

MULTIPLICATION
Des quantités complexes algebriques , & de la forma-

tion de leurs puissances.

REGLE, 24. On multipliera tous les termes de l'une des quantités par châcun de ceux de l'autre, en ob

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fervant les regles prescrites no. 14 & 15,& l'on aura le produit total, que l'on réduira ( no. 11 ) à fa plus simple expression.

EXEMPLE S. 25. Spit la quantité A. 4-+2b.

à multiplier par B. 22 - 36. Produits particuliers.

6. 2 a a + 4ab --- 2 ac.

D. + 3ab -+ 6bb3bc. Produit total. E. ZAA+ 7ab-206+6bb-3bc.

Le premier terme za de la quantité B multipliant tous les termes de la quantité A, donnera la quantité c.

Le second terme 36 de la quantité B, multipliant tous fes termes de la quantité A, donnera la quantité D; & giant fait la réduction des deux quantités C & D, l'on aura la quantité E qui sera le produit des deux quantités A & B. Donc 4+2b6x2a + 3b = 2 4 8 + 7 ab- 2 ag +6bb3b6. 26. Soit la quantité A. 1a +

bb. à multiplier par B. A A

bb.

C. 44 +44bb. Produits particuliers.

D. -dabbb4. Produit total.

E. 44 64. Le premier terme an de la quantité B, multipliant la quantité À produit la quantité C. Le deuxiéme terme bb de la quantité B, multipliant la quantité A produit la quantité D, & en réduifant les produits particuliers C & D, l'on a le produit total E. Donc 44+bb x AA bb

-64.

27. On se contente quelquefois, pour exprimer la multiplication de deux quantités complexes d'écrire entre deux le signe de multiplication.

Ainsi pour multiplier a + b par a -6, l'on écrit a+b xa-b, ou a +bxãb. Il en est ainsi des autres,

FORMATION Des puissances des quantités complexes. 28. Pour élever une quantité complexe à une puissance donnée, il faut, comme pour les quanțités incomplexes , la multiplier consecutivement autant de fois moins une que l'exposant de la puisfance donnée contient d'unités. Ainsi pour élever 2-+b, à la troisiéme puissance, il faut (no. 24) multiplier a + b par a -4.b, ce qui donne à a-+2 ab +bb, qui était encore multipliée par 4 +b, donne a' + 3 a ab + 3 abb+b', qui est la troisiéme puissance, ou le cube de a + ]. Il en est ainsi des autres.

On peut abreger l'opération lorsqu'il s'agit d'élever un polynome au quarré.

29. On écrira le quarré du premier terme + ou

deux fois le rectangle ou produit du premier par le second, + le quarré du second ; & ces trois termes feront le quarré cherché, si c'est un binome. Mais si c'est un trinome, on écrira encore + ou - deux fois le produit des deux premiers par le troisiéme + le quarré du troisiéme. Si c'est un quadrinome, on écrira encore + ou deux fois le produit des trois premiers par le quatriéme + le quarré du quatriéme , & ainsi de suite. Ainsi le quarré de a ab+, eft aa - 2ab + bb-+244

abct.cc.

On a mis ici cette abréviation, parce que l'on a très-souvent besoin de cette opération dans l’Ape plication de l’Algebre à la Geometrie. Voici une abréviation plus confiderable pour

éle ver un binome à une puissance quelconque.

30. L'on écrira au premier terme la premiere lettre du binome élevée à la puiffance donnée; au fecond la même lectre élevée à une puissance plus basse de l'unité, & multipliée par la feconde lettre; au troisiéme, la même lettre élevée à une puissance encore plus basse de l'unité & multipliée par le quarré de la seconde ; & ainsi de suite, en abaissant à chaque rerme la puissance de la premiere lettre de l'unité, & élevant au contraire celle du second de l'unité, jusqu'à ce que l'on arrive au terme, où la même premiere lettre n'aura qu’une dimension qui sera la pénultiéme ; & l'on écrira au dernier terme la seconde lettre élevée à une puissance égale à celle du premier. Ainsi pour élever a + b à la quatrieme puissance, l'on écrira, A. a* + ab + a abb

abs +64. Si le binome est tout positif, tous les termes de la puissance auront le signe + ; si la feconde lettre est négative, les termes où elle se trouvera élevée à une puissance impaire, ou dont l'exposant est un nombre impair , auront le figne, & tous les autres le signe +, comme on voit dans la puissance de

Il reste encore à trouyer les coëfficiens; en voici la méthode.

On donnera au second terme pour coëfficient l'exposant du premier; on multipliera le coëfficient du second par l'exposant que la premiere lettre a du binome a au même fecond , & le produit divisé par 2, sera le coëfficient du troisiéme. De même, le coefficient du troisiéme multiplié par l'exposant que

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la premiere lettre a au même troisiéme, & le produit divisé

par 3, sera le coefficient du quatrieme; & ainsi de suite. De maniere que le coëfficient d'un terme quelconque multiplié par l'exposant que la premiere lettre du binome a dans le même terme, & le produit divisé par le nombre qui marque le lieu que ce même terme occupe dans l'ordre des termes de la puissance, est le coëfficient du terme suivant. Ainsi la quatriéme puissance du binome * {b entierement formée, est a* +4ab- baabb$4 ab? **6*. Il en est ainsi des autres.

S'il y a quelque nombre entier ou rompu qui précede l'un des deux, ou tous les deux termes du bis nome, on multipliera le coëfficient de chaque terme de la puisfance par une puissance de ce nombre égale à celle où la lettre qu'il précede y est élevée. Ainsi pour élever & + 2 b à la troisiéme puissance, l'on y élevera premierement + , & l'on aura #3 + 3 aab+ 3 abb +63, lon multipliera ensuite les coefficiens des termes où b fe rencontre, par la puissance de 2 égale à celle où l y est élevée, c'est

l'on multipliera 3 a ab par 2, 3 abb-par 4, & bi par 8 , & l'on aura # 76a 4b + 12 ább mt 863, qui sera le cube de a + 2b.

On peut anssi élever par les mêmes regles un binome quelconque p+q à une puissance indéterminée m (m signifie un nombre quelconque entier ou rompu , positif ou négatif) qui fera, m 9-4 m *

2 q + m x

à-dire que

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m = 2 m3 3

3

P
q+m*

P 9 Gr. Où l'on voit que la premiere lettre p du binome a pour exposant dans tous les termes, m : moins un nombre entier ; c'est pourquoi fi ce nom

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