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de m,

bre entier se trouve dans quelqu'un égal à m, l'cx* posant de p y fera =0;& par consequent p=1, & ce terme sera le dernier de la puissance m du binome p+q. Mais si ce nombre entier ne se troue ve jamais =m, la puiffance m du binome p+g pourra être continuée à l'infini.

31. Le binome p+q élevé à la puissance mi comme on vient de faire , peut servir de formule générale, pour élever un binome, ou un polynome quelconque à une puissance donnée.

Soit par exemple 2 4*-*x qu'il faut élever à la troisiéme puissance. Aiant supposé 2 6 * = P,

& m=3, l'on substituëra en la place de P, de q, &

leurs valeurs 2 a X, X X ; & 3; & en la place des puissance de p & de q, les puissances égales de leurs valeurs 2 A * & x x , & l'on aura 8 a' x' — 12 a ax+ + 6 axs--- xpour la puissance cherchée : car w devient =3 au quatriéme teime de la Formule. De même, pour élever 4 + b -r à la troisiéme puissance. Aiant supposé a=p, b--=9,& m=3, l'on aura après les substitutions ai + 3 a ab-+ 3 abb-+b3aac-6 abc +3ac0-3bbc +3b0cmo. Il en est ainsi des

32. On se contente quelquefois, pour élever un polynome à une puissance donnée, d'écrire à la droite l'exposant de la puissance à laquelle on le veut élever. Ainsi pour élever a+bau quarré, on écrit a+b; pour l'élever au cube , l'on écrit a +b'; & en général, pour élever ab à la puissance m. Fon écrit a +bm lignifie un nombre quelconque entier ou rompu, positif ou négatif.

33. Il est clair que pour élever une puissance

autres.

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3

m

quelconque d'un polynome, formée comme of vient de dire, à une puissance donnée, il n'y a qu'à multiplier l’exposant de l'une par l'exposant de l'autre. Ainsi pour élever a + 6* à la troisiéme puissance, l'on écrira à +62*= +6°. Pour é lever a 7,6"

17.6" au quarré, ou à la deuxiéme puissan ce, i'on écrira a +72". Pour élever a+b à la puissance n, l'on écrira 4 * 6**. Il en est ainsi des

34. Il est encore évident que pour multiplier deux puissances de la même quantité complexe, formées comme on a dit no. 32, il n'y a qu'à ajoûter ensemble leurs exposans. Ainsi pour multiplier a + b par a +b', l'on écrira a to =

atbatba *A +b-sat

-02b
br .bm+n; a=+bmx a+6°
; a +6" x a + b =A+64

autres.

24

n

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I.

DIVISION..
Des quantités algebriques incomplexes ou complexes.

REGLE GENERAL E. 35. On écrira le diviseur au-dessous du' dividende en forme de fra&ion, & l'on prendra cette fraction pour le quotient de la division. En effet, puisque toute divifion numerique exprimée ; comme on vient de dire, est égale à son quotient, par exem-, ple" =3;=5, & qu'elle peut par consequent être prise pour son quotient; il en doit être de mê

me

ab

+66

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tres,

me des divisions algebriques. Ainsi pour diviser ab par c; l'on écrira -- ; pour diviser ä ä + b b par (+d, l'on écrira &c.

36. Mais comme il est toûjours nécessaire de réduire les quantités algebriques à leurs plus simples expressions lorsqu'il est possible, & que les divisions ou fractions dont on vient de parler, n'y sont pas toûjours réduites, il faut donner les regles necessaires pout cet effet.

Il y a différentes manieres, ou plûtôt, il y a des cas où il faụt opérer d'une certaine maniere ; d'ayoù il faut opérer d'une autre maniere pour

réduire les frađions, ou les divisions à leurs plus fimples termes. Nous ne donnerons à present que le cas où l'opération est celle qu'on a toûjours nommée division; les autres se trouveront ailleurs.

D I VISION

Des quantités incomplexes. 37. Il est évident (r.o. 14 & 15) que lorsque le dividende est le produit du diviseur par une autre quantité quelconque, le quotient fera le dividende, après en avoir effacé le diviseur. Ainsi le quotient de ab divisé par á eft b, c'est-à-dire que =b; le quotient de abc divisé par åb est c, c'est-à-dire que de même SA;

À b. IL

a äb en est ainsi des autres.

Il y a souvent des nombres autres que l'unité qui precedent ou le dividende, ou le diviseur, & quelquefois tous les deux. Il faut ausii avoir égard aux Signes. Voici la regle qu'il faut observer.

B

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ala

abc

? 66

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A

pár ce.

12

12 ale

est 46: car

=

3 4 5 6

36-1 a 66

38. On divisera par les regles de la division numerique, le nombre qui précede le dividende lui qui précede le diviseur, & (no. 37) les lettres du dividende par celles du diviseur, & l'on donnera au quotient le Signe + li le dividende & lc, diviseur ont tous deux le même Signe + ou - ; & fi l'un a + & l'autre , l'on donnera au quotient le Signe T. Ainsi le quotient de 12 ab par 3 4

ab =4&

6, & partant

12 abc =46. De même

12 a3 66 sab;

4 a ab. Il en est ainsi

- 396 des aurres.

39. Si le dividende & le diviseur sont semblables, & égaux, le quotient sera l'unité. Ainsi

.

I; 12 a b

=1. Ce qui suit de ce que toute quantité se mesure, ou se contient elle-même une fois. 40.

Il arrive souvent que les nombres se peuvent diviser, & que les Lettres ne fe peuvent pas diviser; & au contraire, auquel cas il faut diviser ce qui se peut diviser, & laisfer le reste en fraction. Ainfi

426 826c 30

41. Lorsque ni les nombres, ni les lettres ne se peuvent diviser, on écrit le diviseur au-deffous du dividende en forme de fraction; & c'est en ce cas qu'il est necessaire de prendre cette fraction pour le quotient de la divifion. Ainsi

pour b, l'on écrira ; pour diviser 3 ab par 26, l'on é

i ab crira

i pour diviser --- 26b par 36, l'on écrira

12 ab

12 a b

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3 ab

3

diviser A par

en 2 ab

2 ab

ou -; pour diviser sab par - 26, l'on é30

30 crira

ou ; pour diviser 4 a b par

sa 6

sab

2 C

- 4 a b

4 ab

ou

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- 3€, l'on écrira

On trouvera ailleurs la raison des changemens de Signes que l'on vient de faire.

Si l'on multiplie le quotient d'une division par le diviseur, il viendra la quantité à diviser : car la multiplication & la division ont des effets contrai

-
que

l'addition & la foustraction.
42. Il est clair (no. 21 & 37) que pour diviser une
puissance quelconque d'une quantité incomplexe
par une puissance quelconque de la même quanti-
té, il n'y a qu'à soustraire l'exposant du diviseur de
l'exposant du dividende. Ainsi

32

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asb

1

og ap

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A

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др 31) 1;

aq =I,&c. DIVISION

Des quantités complexes. 43. Lorsque le dividende est le produit du divifeur par quelqu'autre quantité, il est clair

que

la division se fera toûjours exactement aussi-bien quc celle des quantités incomplexes.

Or il est souvent aisé de voir si une quantité que l'on veut diviser par une autre quantité, est le produit de la quantité qui doit être le diviseur par une troisiéme quantité ; & alors le quotient serà cette

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