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puissance, & l'on donne à chaque racine le nom de la puissance à laquelle elle se rapporte. Ainfi la quantité qu'il ne faut multiplier qu'une fois

par elle-même pour produire la quantité ou la puissance dont elle est la racine, est nommée racine quarrée, ou seconde racine; celle qu'il faut multiplier deux fois par elle-même , pour produire la puissance dont elle est la racine, eft appellée racine cube, ou troisiéme racine ; celle qu'il faut multiplier trois fois, est nommée racine quarrée quarrée , ou quatriéme racine ; celle qu'il faut multiplier quatre fois racine quarrée cube, ou cinquiéme racine ; celle qu'il faut multiplier cinq fois racine cube cube , ou fixiéme racine, dowc.

On se sert dece caractere V qu'on appelle signe yadical, pour signifier le mot de racine : mais pour le déterminer à lignifier une telle racine, on y joint l'exposant de la puissance à laquelle se rapporte la racine en question, & cet exposant est alors appellé exposant du ligne radical. Ainsi », ou simplement V, signifie racine quarrée , ou seconde racine; V, signifie racine cube, ou troisiéme racine; V, signifie racine quarrée quarrée, ou quatriéme racine, &c. De sorte que Vab, ou Vaa+bb, Vaa + 2ab + bb, signifie qu'il faut extraire la ras cine quarrée de ab, ou de a a+bb, ou de aq + 2ab-tbb, &c. II

у des quantités dont la racine proposée s'extrait exactement ; d'autres , dont on ne la peut extaire qu'en partie ; & d'autres, dont on ne la peut point du tout exraire.

59. Les quantités dont on ne peut extraire exa&tement la racine, & qu'on est obligé d'exprimer pas le moïen du signe radical, sont nommées sourdes ,

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ou irrationnelles , & celles qui ne sont affecteés d'aucun figne radical, sont nommées rationnelles. Ainsi Vab, Vaa+bb, sont des quantités irrationnelles, parce que l'on n'en peut pas extraire la racine quarrée ; Ñ a abest une quantité irrationnelle, parce que l'on n'en peut pas extraire la racine cube, &c.

EXTRACTION Des Racines des quantités incomplexes. 60. Puisque (no. 22) pour élever une quantité incomplexe à une puissance donnée, il faut multiplier les expofans de cette quantité par l'exposant de la puissance proposée ; il est clair que pour extraire la racine proposée d'une quantité incomples xe, il n'y a qu'à diviser les expofans de cette quantité par l'exposant du signe radical convenable; ou, ce qui revient au même, multiplier les expo ans de la quantité proposée par une fraction dont le numerateur soit l'unité, & le dénominateur soit l'exs posant du signe radical dont il s'agit, c'eft-à-dire, par --, s'il s'agit de la racine quarrée ; ; ; s'il s'agit de la racine cube; -, s'il s'agit de la racine quarrée quarrée, &c. car les dénominateurs 2, 3 & 4 font les expofans des signes radicaux V,1,, &c. L'on rend par là l'opération de l'extraction des racines, semblable à celle de la formation des puissances , & l'on a des exposans pour les racines aussibien que pour les puissances: car eftl'exposant de la racine quarrée ; -, l'exposant de la racine cube'; , l'exposant de la racine quarrée quarrée, &c. &

2

l'on peut par conséquent énoncer l'extraction des racines, en disant qu'il faut élever une quantité donnée à la puissance ;, c. au - lieu de dire qu'il en faut extraire la racine quarrée, cube, quarrée quarréc, &c.

Si après la multiplication des expofans de la quantité proposée par les fractions dont on vient de parler , les exposans qui font alors fractionnaires, se peuvent tous réduire en entier, la racine proposée sera une quantité rationnelle ; si une partie de ces exposans se peut réduire en entier, & que l'autre partie demeure fractionnaire, la racine ne sera extraite qu'en partie, & l'on mettra la partie rationnelle devant le signe radical, & la partie irrationnelle après ; fi tous ces exposans demeurent fractionnaires, la racine ne sera point extraite, & l'on se contentera de mettre le signe radical devant la quantité proposée ; enfin si les exposans fra&tionnaires qui ne peuvent être réduits en entier surpassent l'unité, la puissance de la lettre dont ils font exposans, sera en partie rationnelle, & en partie irrationnelle. Il faudra opérer sur les coëfficiens, comme sur les lettres, en y emploiant les extractions numeriques des racines , & la Méthode de trouver tous les diviseurs d'un nombre, expliqué no. 56. Tout ce qu'on vient de dire sera éclairci par les Exemples qui suivent.

EXE M P L E S.

61. Soit a' b4cdont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puissance -- ; aïant multiplié les exposans 2, 4 & 6 par, l'on aura

2

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3

3

't

2

1

habici, ou abac: après avoir réduit les expofans fractionnaires en entier, de forte

que Vaibico =abc, ce qui est évident. De même V ab=

= ab á=aVb: car a est la racine de a a, ou 4*, & bī est la même chose que Vb; Vab=

=47b1 =Vab; c'est-à-dire que Vab est une quantité toute irrationelle ; Vab=

=A b
=aitis

(n 23).a'a

ibiza Vab; v 72 a'b' =626 V 2 ab: car il est clair par les Exemples précedens, que Vab=ab Vab, & je démontre que v7256V2, en cette forte. Si l'on cherche (no. 56 ) tous les diviseurs de 72, & qu'on examine les quarrés qui s'y rencontrent (s'il s'agissoit de la racine cube, il faudroit examiner tous les cubes , & ainsi des autres racines ) on trouvera que 36 est le plus grand. Or 72

= 2 & 36 *2=72; c'est pourquoi V 72 peut être regardée comme le produit de V36 * V2: mais v 3636; donc V 72 =6V: , & partant V 72 4b = 6 ab V 2 ab. On trouvera de même que V 12 a ab = 2a V3b, & que' vo a abc a v obc; parce que 6 ne peut être divisé par aucun quarré. Il en est ainsi des autres.

36

EXTRACTION

Des Racines des Polynomes.

62. La Méthode d'extraire les racines des Polynomes, selon la maniere ordinaire, est semblable à celle d'extraire la racine des nombres.

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EXEMPLE I. Soit la quantité a a + 2ab + bb+ 246 +266 +06, dont il faut extraire la racine quarrée. Diviseurs. Quantité proposée

. Racine , ou Quor: äa+2 ab+b+ 2007

[+26c+ cc.$6+6+6.

-aa 1.2 + 6,

A. O + 2ab +66 +226 +2bc-+
-2 ab

-bb 2, 24+ 2b +0. B.

0-+20C-+ 2bc +00

-2bccc

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240

Je dis , le premier terme a a est un quarré, dont la racine est a que j'écris au Quotient, & je soustrais le quarré de a, qui est a a, du premier terme na de la quantité proposée, en l'écrivant au-dessous avec le signe Je réduis à la maniere de Fa division la quantité proposée, & le quarré soustrait , & j'écris la Réduction A au-deflous d'une ligne.

Je double le Quotient a, ce qui me donne 2 a que j'écris à la gauche de la Réduction À , & qui fait partie du premier diviseur. Je divise le premier térme + 2 ab de la quantité A par 2 a; ce qui me donne + 6 que j'écris au Quotient, & å la droite du diviseur 2 a,& j'ai le premier divifeur complet 2 a 4 b que je multiplie par le nouveau Quotient b, & j'ai +2ab+b6 trais de la quantité A, en l'écrivant au- dessous avec des signes contraires , & la Réduction de ces deux quantités me donnne la quantité B. Je double le Quotient å +6, & j'ai 24+2 b pour

que je souf

une

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