페이지 이미지
PDF
ePub

tient c,

que

une partie du nouveau diviseur que j'écris à la gauche de B. Je divise de nouveau le premier terme 2 ac de la quantité B par + 2 á, ce qui me donne + c que j'écris au Quotient , & à la droite du nouveau diviseur 2a + 2b; ce qui fait 2 a + 2b70 pour le second diviseur complet. Je multiplie ce second diviseur 2 a + 2b + c par le nouveau Quo& j'ai +226 + 2 bc +60

j'écris audessous de la quantité B avec des lignes contraires; & réduisant ces deux quantités je trouve zero pour la troisiéme Réduction ; d'où je conclus que l'opération est achevée, & par coníquent, vaa + 2ab +66 +220 +2bc+6=a+b+6.

EXEMPLE I I. Soit la quantité yaa - 12ab + 4bb dont il faut extraire la racine quarrée. Diviseurs Quantité proposée. Racines ou Quotient:

1 9a1 — 12 ab + 4bb.' (36- 2b.

ga á 642b. A. - 12 ab + 4 ab

+ 12 ab— 466 B. Le premier terme 9a a étant un quarré dont la racine eft 3 4; j'écris 3.a au Quotient, & fon quarré 9a a au-dessous de 9 a á avec le signe & la premiere Réduction est la quantité X. Je double le Quotient 3 a, ce qui me donne 6d, qui font partie du premier diviseur, & que j'écris à la

gauche de la quantité A. Je divise — 12 ab par + 6a, ce qui me donne – zb que j'écris au Quotient & à la droite de 6 a,& j'ai par ce moien le diviseur complet 6 .- 2b. Je mapltiplie 6 — 2b par- 2b,

[ocr errors]

26.

ce qui donne - 12 ab + 466, & j'écris + 12 ab

4bb au-dessous de la quantité A. Je réduis ces deux dernieres quantités , & la Réduction B qui se trouve égale à zero, fait voir que la quantité proposée est un quarré dont la racine est 32 2b, c'est-àdire que v9a4 — 12 ab + 466:

12 ab +4bb=32S'il venoit une Réduction qui ne pût être divisée par le double du Quotient, ce seroit une marque que la quantité proposée ne seroit point quarrée; & il faudroit alors se contenter de la mettre sous le signe radical. Par exemple, si on vouloit extraire la racine quarrée de a a+bb, l'on trouveroit

que

la racine de aa cst a : mais on ne pourroit diviser la Réduction bb par 2 a, ce qui feroit voir que as + bb, n'est point un quarré; c'est pourquoi il faudroit se contenter d'en exprimer la racine, en cette forte V A4 + bl. Il en est ainsi des autres.

Au reste , il est aisé de connoître par la formation des puissances, ou lorsqu'on a un peu d'habitude dans le calcul algebrique , fi une quantité proposée est quarrée ou cube, &c. & d'en extraire par consequent la racine sans le secours d'aucune opération, ou par la seule inspection des termes de la quantité proposée.

63. Mais sans cela, & sans le secours des Regles que nous venons de donner, l'on

peut, avec toute la facilité possible extraire toutes sortes de racines , quarrées, cubes, quarrées quarrées, &c. par le moien de la formule générale proposée no, 30: car pour cela il n'y a qu'à regarder les quantités dont on veut extraire une racine quelconque , comme des quantités qu'il faut élever à une puissance dont l'exposant soit celui de la racine qu'on veut

extraire , c'est-à-dire que cet exposant soit ; si c'est la racine quarrées ; -, , fic’est la racine cube si c'est la racine quarrée quarrée , &c. ce qui est facile en suivant ce qui est prescrit no. 31, comme on va voir par les Exemples qui suivent.

EXE M P L E I. Soit la quantité à - 3 aa b + 3 abb-b? dont il faut extraire la racine cube , ou

ce qui est la même chose, qu'il faut élever à la puissance Aïant fait as =,

3a a b fi į ab bhi =9, & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers termes, p+m p q de

de la formule générale proposée no. 30; (car les autres termes font inutiles, lorsque les racines qu’on veut extraire , sont rationelles; 7 l'on aura à +ma * -- 3 a ab + abb-63; & faisant encore m

I

3

[ocr errors]

3 m

30

[ocr errors]
[merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small]

3

parce que le second terme á b

anal =ub=b; le troisiéme & quatriéme terme sont nuls. Ainsi l'on a à -- b pour la racine cherchée; c'est-à-dire

3 a abot abb63

3 Vas- 3 aab + abb-b3=db.

EXEMPLE I i.
Soit la Quantité à à + 2 ab- 24+ bb

i que as

[ocr errors]
[ocr errors]

abc+60 dont il faut extraire la racine quarrée ; ou qu'il faut élever à la puissance Asant fait a a ou a'=P, + 2 ab- 2 ac+b6 2 bc +0= -9, & mettant ces valeurs de

P р de

9 dans les deux premiers termes de la Formule P + mp

l'on aura a z acat bb 2 bc +00, ou en faisant m=-,6+ * Zab-2ac+bb2bc+ce,

m

[ocr errors]

2 m

2 m2 f m a

* 2 ab

[ocr errors]

1-2

2

2

[ocr errors][merged small][ocr errors][ocr errors][merged small][ocr errors][merged small][merged small]

12

bcat cc. Mais parce que le second & troisiéme termes deviennent +6,&- ; il fuit que tous les autres termes où b&c se rencontrent font

nuls. Ainsi a 4+2 4b2ac+bb26c-+6Ć 2, où Vaa+2ab -zac+bb-2bc+c=1+66. E x E M P L E

ΙΙ Ι. Soit la quantité 9 a 2 + 12 ab + 4bb dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puissance

Asant supposé gaa, ou ga'=P, & 12 a b + bb=9, & mettant ces valeurs de p & de a dans les deux premiers termes de la Formule P -* mp 9, l'on aura , of m 9

* 12 ab + 466, ou en faisant m= ,91

2 w

2 m2

I

[ocr errors]

2

* 9 A

* 12 ab-+46b, ou g'a+!

I

[ocr errors]

I

I

1 * 12 ab +4bb: mais o ou V 9= 3; donc 3 a-+

4+ * 12 ab-+4bb, ou 3a + *-' x 12 ab +466, ou 3a +

b+ m'bb, ou 3a + 2a*b+ *bb: mais le

2

3

I2

[ocr errors]

3

[ocr errors]

second terme 2 a b=1b; c'est pourquoi ce second terme est le dernier, & le troisiéme est nul.

[ocr errors]

, OU

1

Ainsi

992 + 12 ab +466
V 9a & + 12 ab +46b=32 +2b.

R EM ARQU E.
64. Si dans aucun terme la valeur dem, expofant
de p, ne se trouvoit point =0, la racine de la
quantité proposée seroit irrationelle , & l'extrac-
tion se pourroit continuer à l'infini; ce qu'on ap-
pelle approximation des racines : mais cela n'est
point necessaire pour l'application de l’Algebre à la
Geometrie : car lorsque la racine d'une quantité est
irrationelle, on se contente de l'exprimer par le
moïen du signe radical qui lui convient , comme
on a déja dit, & comme on pourra voir dans la
suite.

Pour s'assurer si on a bien extrait une racine, il est bon de l'élever à la puissance : car s'il vient la quantité proposée, l'extraction aura été bien faite. Par exemple, l'on vient de trouver 3 4 + 2b pour la racine quarrée de 9 a a + 12 ab + 4bb. Or fi l'on multiplie 3a + 2b par 3.a. +2b, l'on trouvera 942 +12 ab +4bb qui est la quantité proposée, c'est pourquoi l'extraction a été bien faite.

« 이전계속 »