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n'y a plus de quantités irrationelles.

AXIOME III. 25. On peut mettre en la place d'une quantité quelconque incomplexe ou complexe, une autre quantité égale incomplexe ou complexe, ce qu'on appelle substituer : C'est par le moien de cet Axiome que l'on réduit plusieurs équations à une seule, & que l'on en fait évanouir les lettres que l'on veut , pourvû que chacune de ces lettres, ou quelques-unes de leurs puissances se trouvent au moins dans deux de ces équations, & que l'on ait au moins une équation de plus qu'il y a de lettres que l'on veut faire évanouir. En voici la méthode.

26. On choisir une des équations (c'est ordinairement la plus simple ) & l'on met seule ( Axiome I & fes Corollaires, la lettre qu'on veut faire évanoüir, dans un des membres ; ( c'est ordinairement dans le premier ,) & l'on substituë dans les autres équations, en la place de cette lettre , ou des fes puissances, sa valeur ou celle de ses puissances qui se trouve dans l'autre membre de l'équation que l'on a préparée; en sorte que cette lettre ne so trouve plus dans aucune, & l'on a alors une équation de moins, On recommence de nouveau a choifi la plus simple des équations resultantes, & l'on met seule dans le premier membre, la lettre qu'on veut faire évanouir , & l'on substituë comme auparavant la valeur de cette lettre dans les autres équations. On réitere la même opération jusqu'à ce que l'on ait fait évanouir l'une après l'autre toutes les lettres que l'on a dessein de faire évanouir , ou jufqu'à ce que l'on n'ait plus qu'une seule équation, On va éclaircir ceci par des Exemples,

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EXEMPLE S.
Ier. Soient les trois équations A, B, C, dont
on veut faire évanouir les deux lettres * & y.
4. x2=

D. X2bb2b2+ 22.
B. xy = 4.

E. x b+LA.
C. 2+y=b. F. a z+62-22=bbm2b2-+22.

G. 222=3b2+42-bb.
Je choisis l'équation C pour faire évanouir y, &
j'en tire y=b%, & en quarrant chaque mem-
bre (parce que le quarré de y se trouve dans l'é-
quation 4, ) j'aiyy=bb'2b2-+22, & met-
tant dans l'équation A, pour yy sa valeur bb-
2 b2+2%, & dans l'équation B, pour y sa valeur
b-2, j'ai les deux équations D & E, où y ne se
trouve plus. Je choisis de nouveau l'équation E
pour faire évanouir x, & j'en tire x=a+b-2,
& mettant dans l'équation D pour x sa valeur a +
b-2, j'ai l'équation F, qui devient par la réduc-
tion , & par la transposition, l'équation G, où x 80
y ne se trouve plus.

24. Soient les deux équations a 4 -4 2 x + x =2y + 2 by + bb, & yy + by=an + ax, d'où il faut faire évanouir y. Je remarque que si la seconde équation étoit multipliée par 2, l'on auroit 2y9+ zby=244 + 2 a x, où les termes où y 1 trouve , sont les mêmes que dans la premiere ; c'est pourquoi si l'on met dans la premier pour 2 yy. + 2 by sa valeur + 2 a 2 + 2a x tirée de la seconde après l'avoir multipliée par z , l'on aura a 2 + 2a x ***= 24 a + 2 ax + bb, qui se réduit à x x Aa +bb. Il en est ainsi des autres.

27. On peut encore par le moïen de cet Axiome faire de certains changemens dans une équation en faisant certaines suppositions. Par exemple, si l'on

a x=aab, en supposant ay = xx; & mettant cette valeur de x x dans l'équation x' = Aab, l'on aura a xy=aab, ou xy=ab, en divisant toute l'équation par a.

De même, li l'on a xx=ax-+bb, en fupposant ac=bb, l'on aura xx=ax + ac; & fi l'on a xx = ax + ac; en supposant b b = 4, l'on aura xx=ax + bb. Ce qu'on appelle changer un re&tangle en quarré, ou un quarré en rectangle. On a souvent besoin de faire ces changemens.

Pour ce qui reste à dire sur les équations, voïez l'Application de l’Algebre à la Geometrie, Section I, art. 2 & 3

On trouve dans les Ouvrages de plusieurs Sçavans Geometres, un grand nombre de Theorêmes démontrés sur les rapports , proportions & progresfions; mais il y manque la méthode de les démontrer tous par le même principe, qui est ce qu'il y a de plus a desirer tant en cette occasion que dans toutes les autres parties de Mathematiques.

On pourroit tirer de ce que nous avons dit no. 18, 19, 20 & 21, une méthode pour démontrer très- facilement toutes les proprietés des proportions, & des progressions tant arithmetiques que geometriques : mais elle n'est pas assés générale, & ne convient qu'aux grandeurs proportionelles ; c'est pourquoi je me suis déterminé à prendre une autre voie qui convienne tout à la fois, non seulement aux grandeurs proportionelles, mais encore à tous les Theorêmes que l'on se propose de démontrer par l’Algebre dans toutes les parties de Mathemațiques. Voici le Principe.

PRINCI P E. 28. Après avoir nommé les quantités qui doi

vent entrer dans la question par des lettres, l'on écrira l'Hypothese en équation, & la consequence aussi en équation ; & en suivant les trois Axiomes précédens, & leurs Corollaires, on fera en sorte de rendre l'Hypothese semblable à la consequence , & alors le Theorême sera démontré, Et si les termes de l'équation que renfermera la consequence, se trouvent entierement semblables ; de sorte que par la réduction, elle puisse devenir o 0. Le Theorême sera aussi démontré : car les termes d'une équation ne sçauroient être entierement semblables lans être égaux , & ne sçauroient se réduire fans être semblables.

EXPLICATION DU PRINCIPE. 1o. Un Theorême contient deux parties, l’Hypothese & la Consequence ; l'Hypothese est ce que l'on y suppose ; & la Consequence est la verité qu'il s'agit de démontrer.

2o. Le Principe demande qu'on éerive toûjours l'Hypothe en équation. Souvent l’Hypothese renferme cette équation , ou une proportion qu'il est aisé de changer en équation : car si on a, a.b::c.d, on aura (no. 11)-bar-d, si la proportion est arithmetique, &, si la proportion eft geometrique, puisque la proportion n'est autre chose que l'égalité de deux rapports.

3°. Si l'Hypothese ne renferme ni équation ni proportion, on égalera les quantités qu'elle renferme à d'autres lettres prises arbitrairement, & on aura par ce inoïen des équations, comme on verra par ces Exemples.

4o. On tirera de l'Hypothese autrant d'équations qu'on pourra : car cela ne peut que faciliter les moïens

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de rendre l'Hypothese semblable à la Consequence.

Lorsqu'il s'agit de démontrer quelques propriétés touchant les grandeurs inégales , & touchant les rapports inégaux, l'on expximera l'Hypothese, & la Consequence par le moien du figne , ou <, en cette forte a> ou <b, > ou <*,& on se fervira de ces expressions, que l'on pourroit appeller inégalités, comme si c'étoient des équations : car ik est clair qu'on peut ajoûter , soustraire, multiplier , & diviser les deux membres de ces inégalités par une même quantité, ou par des quantités égales, les combiner, comme on voudra avec des équations, les élever à des puissances, en extraire les racines; en un mot, on peut les traiter à la maniere des équations, pourvû qu'on ne les combine point ensemble, fans que le membre le plus prand ceffe d'être le plus grand ; de sorte qu'on aura les mêmes moïens de rendre l'Hypothese semblable à la Consequence , out la Consequence semblable à l'Hypothese , que fi c'étoit des équations, & de démontrer par consequent toutes les propriétés des rapports inégaux, de la même maniere

que

celle des rapports égaux. - Ce qu'on dira dans la fuire des rapports & des proportions , se doit entendre des rapports & proportions geometriques, à moins qu'on n'avertisse que c'est des rapports & proportions arithmetiques qu'on veut parlerr.

THE ORË ME I. 29. Si quatre grandeurs a, b, c, d, sont en proportion geometrique , le produit des extrêmes fera égal an produit des moïens.

Il faut prouver que fi a.b:: 6. d, l'on aura d = b c.

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