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L'on a pour l'Hypothese a.b::c.d; donc (no.

1.)- .: or il est clair ( Axiome 1. Corollaire 4. ) qu'en ôtant les fractions, on aura ad obc, qui est semblable à la Consequence C. Q. F. D.

30. On prouvera de même que dans une proportion continuë le produdit des extrêmes est égal au quarré de la moienne. Ainsi a.b::b.c, l'on aura ac = bb.

Ce Theorême fournit un autre moïen dont nous nous servirons dans la suite , de changer une proportion en équation.

COROLLAIRES. Ier. Il suit que connoissant trois des termes a, b, c, d'une proportion, on pourra toûjours trouver le quatriéme, que je nomme x: car puisque (Hyp.) a.b::6.x, l'on aura (no. 29.) ax=bc; donc en divisant toute cette équation par a, l'on aura

d'où l'on voit que la valeur de bc divisée par

la valeur de a , donnera celle de x. 24. De même dans la proportion continuë, connoissant les extrêmes a &b, on trouvera la moïenne que je nomme y; car puisque (Hyp: ) a.,::y. b, l'on aura yý - ab; & partant (Axiome 2.) y=+Vab; c'est pourquoi la racine de la valeur 'de ab fera la valeur de 9. Les valeurs négatives ne satisfont point aux Problêmes, On en expliquera l'usage ailleurs.

THE ORÊ ME I I. 31. Les racines des produits qui forment chaque membre d'une équation sont reciproquement proportionelles , c'est-à-dire , qu'en prenant les racines d'un des

bc

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a b c

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membres pour les extrêmes , & les racines de l'autre pour les moiens , ces quate racines formeront une proportion.

Soit l'équation abc =dfg Il fant prouver que ab.df::8.6, ou afin que

la consequence soit en

df équation : car l'équation ne peut être vraie que la proportion ne le soit aussi.

En divisant toute l'équation abcdfg, que 8c, l'on aura

(art. 1. num. 37.) ab

df

qui est semblable à la Consequence C. Q: F. D.

COROLL AIRES. I'r. On peut tirer de la même équation abc= dfg plusieurs autres proportions , & les déinontrer de la mêine maniere , pourvu qu'on prenne les extrêmes dans un membre, & les moiens dans l'autre, & qu'on garde la Loi des Homogenes, c'est-à-dire, que les termes de chaque rapport aient un pareil nombre de dimensions : par exemple, on en peut tirer a.d::fg.bc;b.f::dg.ac, &c. mais quoiqu'on le puifle on n'en doit pas tirer a. df::g.bc: car on compareroit des quantités de differens genres, comme une ligne avec un plan. Il en est ainfi des autres.

26. Il est clair qu’afin qu'une équation puisse être réduite en proportion,

il faut que chaque membre soit le produit de deux quantités qui le puisse séparer par la division ; c'est pourquoi il est souvent nécessaire de la changer d'état pour la réduire en proportion. Par exemple, on ne peut réduire cette équation xx ax + bb en proportion dans l'érat où elle est: car le second membre ne peut être

divise

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46

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divisé par aucune quantité : mais en transposant, l'on a xx--ax=bb, d'où l'on peut tirer x.b:: b. LX. De celle-ci x x =

=aa

bb, on peut tirer a. - b. x :: %. a + b. De celle-ci x x = äa-tbb, x x á a

bb, on peut tirer x b:: b. x + á. Mais pour changer celle-ci x*= aabc en proportion; il faut changer bc en un quarré, ou a'a en un rectangle b, ou c; faisant donc, par exemple, bc=dd, l'on aura ** = 44

dd, d'où l'on tire å d. x :: 4. d *** d. Il en est ainsi des autres.

3°. Il suit aussi qu'un rapport ou une fra&ion comme est un des termes d'une proportion, & renferme les trois autres : car faisant ab= x, l'on aura en multipliant parć, ab=(x; donc ( no. 31 )

ab Ć. a :: b. *, ou č. a :: b.

en remettant pour * sa valeur

4o. Il suit aussi des deux Theorêmes précedens, que fi quatre grandeurs a, b, c, d, sont proportionelles, c'e!t-à-dire , que a. b :: 6. d, elle seront aussi

proportionelles dans les quatre variations suivantes.

1. a. c :: b. d, ce qu'on appelle, permutando.
2. b.a:: d.c, ce qu'on appelle , invertendo.

3. -tibabĆ+ d. d, ce qu'on appelle , componendo.

4. a-b.b::did, ce qu'on appelle , divi'dendo,

Car si les équations que l'on tirera (no. 29) de ces quatre analogies sont vraies , les analogies lo feront aussi. Or la premiere & la seconde analogie donnent ad=bc, la troifiéme donne ad+b.de

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=bc+bd,& la quatriéme ad-bd=bc-bd: mais l'Hypothesc a. b::6. d, donne ad=bi, qui est la premiere équation, & qui montre par cons sequent la vérité des deux premieres analogies.

Si l'on ajoûte , & si l'on- soustrait bd de chaque membre de l'équation a d=bc tirés de l'Hypothese, l'on aura ad + bd =bc + bd, & ad-bd =bcbd, sont semblables aux deux dernieres équations tirées des deux dernieres analogies, & qui en font par consequent voir la vérité.

Il y a encore d'autres variations dans les propors tions que l'on démontrera avec la même facilité.

Theo RÊ ME III. 32.

Si deux grandeurs quelconques a & b, sont multipliées par une même grandeur c, rationelle , ou irrationelle , les produits ac e bc, seront en mêmes raisons que les mêmes quantités a db.

Il faut prouver que ac. bc :: a. b, ou, afin que la consequence soit en équation, que (no. 29) abc = abc.

Parce que les deux membres de cette équation sont semblables, il suit (no. 29 & 31 ) que ce qui étoit proposé est vrai.

COROLLAIRE S. jet. Il est clair qu'on peut multiplier les quatre termes d'une proportion, ou l'un ou l'autre des deux rapports qui la forment, ou les deux antecedens, ou les deux confequens de ces rapports, par telle quantité qu'on voudra, fans

que ces rapports cessent d'être égaux.

2o. Et parce que ces rapports ou les divisions in diquées sont des frađions, il fuit qu'on peut multiplier les deux termes d'une fractions par telle

quan

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bc

a

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tité qu'on voudra, sans que cette fraction change
de valeur. Ainsi
.

en multipliant les deux termes par c.

3€. Une quantité quelconque, qui n'est point fractionaire devient une fraction étant comparée à l'unité, ce qui n'y change rien; c'est pourquoi toute quantité qui n'est point fractionaire , peut être changée en une fraction dont le dénominateur sera telle quantité qu'on voudra. Ainsi a ou

al en multipliant chaque terme par l. 4o. Il suit aussi qu'on peut donner à des fractions des dénominateurs semblables, lorsqu'elles en ont de différens, ce qu'on appelle réduire les fractions à même dénomination : car pour cela , il n'y a qu'à multiplier les deux termes de chacune par le dénominateur de l'autre, s'il n'y en a que deux. Ainsi pour réduire à même dénomination & 4f; aiant multiplié les deux termes de la premiere par g;

abg & ceux de la seconde par c; l'on aura & S'il y en a un plus grand nombre, on multipliera les deux termes de chacune par le produit des dénominateurs des autres. Ainsi pour réduire

Ainsi pour réduire în en même dénomination; ajant multiplié les f deux terines de la premiere par fg, ceux de la seconde par dg, & ceux de la troisiéme par df, l'on

afs bdg cdf

dfg'dfa'afa
Il se trouve souvent des fractions

que
l'on

peut réduire à même dénomination , sans les changer

ab

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cdfi

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b

aura

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