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b

en

с

bo

aura

Ab

ou

46

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, Ou

L'on a par l'Hypothese 4> b; donc (par le prinsipe précedent , & ses explications) divisant chaque membre de cette inégalité par c, Ce qu'il falloit premierement démontrer.

L'on a encore (Hyp.) a> b, donc en multipliant chaque membre de cette inégalité par c, & divifant chaque membre par ab, l'on ( art. 1, no. 37) > > Ce qu'il falloit en fecond lieu démontrer,

Nous avons supposé dans la Multiplication, & dans la Division, que +*+,&—*—,

donnoit -t ; & que $ *

donnoit En voici la preuve, en supposant seulement que +*+ donne +, dont personne ne doute. 39. Soit 4 -b à multiplier par +0. Je que

le produit sera a c-bccar aïant fupposé a - b =p, l'on aura en transposant a=p+b, & multipliant cette équation par +6, l'on aura ac = pc-+ bc; donc en transposant , ar-bc=pc; donc 4 bx+c = aC

bco 40. Soit presentement a-bà multiplier par - C. Je dis que le produit sera — ac+bc : car aïant supposé a-b=p, l'on aura en transposant a = p+b; donc en multipliant par — 1, l'on aura ( no. 39)

pc bc, ou a cabo po; donc a. 6

bc. : 41. Je dis aufli

que

b: car le produit du diviseur par le quotient, doit donner le dividende, ce qui n'arriveroit pas si le quotient étoit +b: car - 4*+b=- ab, qui n'est point dividende.

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ac

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ab

4b

ab

Au contraire - **-=+ab, qui est la quantité à diviser. 42. Il est de là évident que

puifque dans l'un & dans l'autre cas, le quotient doit être négatif, ce que nous avons aussi supposé ailleurs,

R E MAR QUE,

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d

d

I'. Tout le Calcul algebrique est fondé fur les trois Axiomes précedens , & sur les quatre premiers Theorêmes que l'on vient de démontrer. On n'a démontré les quatre derniers que pour faire voir l'usage de notre principe, & que par ce moien on peut démontrer d'une maniere qui est toûjours la même , toutes les proprietés des rapports égaux & inégaux, des proportions & des progressions geometriques.

2°. L'on remarquera aussi qu'en suivant le même principe, l'on démontrera avec la même facilité toutes les proprietés des rapports, proportions & progressions arithmetiques.

3o. Que l'équation qui exprime la confequence ou la vérité que l'on veut démontrer , peut toûjours être délivrée de fra&tions, de signes radicaux, & réduites à ses plus simples termes, avant que

de chercher à lui rendre semblable celle qui renferme l'Hypothese : car une équation étant vraie dans un état, elle le sera dans tous ceux qu'elle est capable de recevoir.

Il s'agit presentement d'ajoûter , soustraire, multiplier, diviser, & extraire les racines des rapports qu fractions,

ADDIȚION ET SOUSTRACTION,

43. Pour les ajoûter, on les écrira de suite sans changer aucun signe; & pour les soustraire, on les écrira de suite en changeant les signes de celles qui doivent être soustraites , soit que leur dénominateur soit le même, ou non.. On leur donnera ensuite un même dénominateur ; & après avoir réduit (art. 1,

no. 11 ) dans l'un & l'autre cas les numérateurs semblables, on prendra pour la somme, ou pour la différence , celles des deux expressions qui sera la plus simple.

EXEMPLES,

Pour ajoûter cho

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a abb

a abt

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a

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ad

abut ad avec

l'on aura

C

aab4 Pour ajoûter

avec

l'on 4+2 A ab b + 6*

66

a abb écrira

ou après les a. -2a a 66+64

-bb

Agb4+*bb_446+ voir réduites en même dénomination

at-2aabb +6+

a4 b6
=(art. I,
expression plus simple que la premiere.

ab
Pour foustraire

bb de

l'on écrira

-d вань,

ab

ou après leur avoir donné un mês

a acabbc-a ad+bbd - abc me dénominateur

com ca premiere expression est plus simple.

no. II)

at zanbb-764 qui est une

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La

MULTIPLICATION.

Acc

bo &

abcc
bd

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44. On multipliera les numérateurs, & ensuite les dénominateurs l'un par l'autre; & les deux produits formeront une fraction que l'on réduira à fon expression la plus simple.

be Soit à multiplier para o diant fupposéepa q. Il faut prouver que

=p= La premiere fuppofition donne ac=bp, & la seconde bo=dq; donc ( Axiome I, Corollaire 1 ) aboc=bdpq; donc (Axiome i, Corollaire ;) ht=pI=.C.Q. F. D. De même

bbot + ou (Theor. 3, Coroll. 3)

abbat and

en divisant les deux terbc mes par b. Par la même raison abx d, ou

ab

с

cd

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cd

b

't abcd

d

bd

C

DE'FINITION,

45. Le produit

de deux rapports différens &

bd C 의 å est appellé rapport composé , ou raison composée; & le produit om i d'un rapport , multiplié par lui-même , est appellé rapport doublé, ou raison doublée.

DI V I S I O N.

46. Le produit du mumérateur du dividende par le dénominateur du diviseur sera le numérateur du quotient, & le produit du dénominateur du dividende par le numérateur du divifeur , sera le dénominateur du quotient. On réduira ensuite le quotient à son expression la plus fimple.

Soit proposé le rapport“-6 à diviser par Asant supposé =p, & =q. Il faut prouver que abb

a b

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66

ACC

9

ab

ср

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La premiere supposition donne ab=cp; la seconde as=bq; donc (Axiome 1, Corollaire 1) ou en multipliant chaque membre par b,

abb & divisant chaque membre pare, C. l. F. D. De même

b

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bb

ACC

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c

divisé par d, ou par donne

EXTRACTION

Des racines des quantités fractionaires.

47. Il est clair par les regles de la multiplication des fractions, que pour extraire leurs racines, il n'y a qu'à extraire celle du numérateur & celle du dénominateur , & ces deux racines formeront une fraction , qui sera la racine de la proposée. Ainsi

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