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1

AA

8

64

me 9, d'où A égal à 1. Mais cette valeur né fa-
tisfait pas à 12 AA - 12; c'est pourquoi il faut
trouver un quarré tel qu'en ôtant 8, & le reste di-
visé
par 8 ce quotient soit tel que 12 fois son

quarré diminué de 12, faffe un quarré.

Que le quarré cherché soit AA, en ôtant 8 vient WA-8, qui étant divisé par 8,

donne dont le duodecuple quarré est

12 AAAA—192A1+768 donc ôtant 12 en même dénomination 768, reste fans dénominateur 12 AA AA-192 A A à égaler à un quarré. Je le divise par 4 A A, vient ; À A

-48 à égaler å un quarré, & pour cela je cherche un quarré qui augmenté de 48, fasse un triple quarré. Ce quarré foit AA, qui augmenté de 48; fait AA* 48 égal à un triple quarré ; donc LA#16 égal à un quarré , comme 16 -8 A + A A, d'où A égal à 12 dont le quarré est 144 3 qui étant égalé à 3 AA — 48, vient pour A A. Premierement posé 64 , je l'égale maintenant à 8 A+8, & j'ai 7 pour la valeur d'A, suivant laquelle refolvant les pofitions, on aura pour les deux triangles requis : Premier.

32, 60, 68, Second.

24 32 40. AUTRE PROBLEME. T

Rouyer trois nombres tels que la somme où la faffe des quarrés différens.

Que les trois nombres soient À A +16,8 A, 4 AA + 4. La somme ou la différence des deux

3

premiers est un quarré, comme aussi la somme & la différence des derniers. Refte donc que la somme & la différence des extrêmes, fassent des quarrés; donc 20 + SAA, & 12 —3A A doivent être égaux à des quarrés.

Il est aisé de voir, suivant l'observation de Diophante, que le nombre i satisfait cette double égalité; mais si l'on resolvoit des positions par cette valeur, les deux dernieres donneroient un même nombre i on est donc réduit à trouver un autre quarré que l'unité dont le quintuple ajoûté à 20, & le triple souftrait de 12, fassent des quarrés.

Que le côté de ce quarré soit 1A;donc 2510 A +54 A & 9 +6A-3A A égaux à des quarrés, le premier multiplié par 9, & le second par 25, vient, 225–90 A 4:45 A A & 2 25 + 150 A

75 A A égaux à des quarrés. Leur différence est 240 A -120 À A; les produisans 30 — 15A, & 8 A, le quarré de la moitié de leur somme

49 A A 225-105 A

d'où A égal à

le

671 côté posé 1 - A fera par tant ré requis

, par quoi resolvant les positions, vient pour les trois nombres sans dénominateur :

2399057, 1873432, 2288168. Les trois sommes & les trois différences, donnent ces six différens quarrés. 4272489

2067 4161600

2040 4687225

2165 110889

333 525625

725 414736

1020

349

& le quara

349

450241
121801

Côtés.

644

T

A U T R E P R O B L E M E.
*Rouver quatre nombres tels que la somme de

deux, pris comme l'on voudra, ajoûtée à un nombre donné comme 15, fasse des quarrés.

Que les quatre nombres soient A. B, C. D.Donc:
15+ A + B égal ff
15+B+C égal MM
15+ C + D égal TT
15+ B + D égal PP
15+ A +C égal à un quarré.
15+ A+D égal à un quarré.
Å égal à ff - B-15
B égal à MM-C-IS
C égal à TT-D-15
Dégal à PP-B-15

Réduisant le B qui se trouve en cette premiere valeur d' A par MM-C-15

A sera égal à ff MM + C.
Réduisant le c, qui se trouve ici par

TI-D-15
A fera à ff - MM+T-D-15.
Réduisant aussi le C qui se trouve dans la valeur
de B,

B sera égal à MM-TT + D.
Parquoi réduisant le B qui se trouve en la valeur

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de D,

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IS

2

D sera égal à PP-MM+TT—D—15. Donnant de chaque côté D, vient 2 D égal à PP +TI-MM-15.

D égal à PP +TT - MM
Donc
Parquoi réduisant le D qui se trouve en la valeur
d'A, de B, & de C, viendra :

uff +TT-MM-PP-1S
A égal à

2

2

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MM + P PTTIS
B égal à
TT * MM

PP is
C égal à

PP*TT MM
D égal à
Il est constant que voila quatre nombres tels

que A + B +15, B + C +15,B+D+15,6+D +15, font des quarrés, reste donc que A+(+15, & A+D +15,

fassent des quarré; ces deux nombres réduits par les valeurs ci-dessus, vient ff + TI-PP & ff + TT-MMà égaler à des quarrés. D'où suit ce canon. Soient trouvés quatre quarrés tels que la somme des deux premiers, diminuée de l'un ou l'autre des deux autres, fassent des quarrés.

Soit posé pour la somme des deux premiers 625, & pour le troisieme 400, qui ôté de 625 laisse un quarré; il faut trouver un quatriéme quarré, qui ôté de 625 laisse un quarré. Nota, qu'en se fervant de 2,25, on ne trouveroit rien qui vaille, & A & B seroient un même nombre : donc 625.AA, égal un quarré comme 625—A

At d'où A égal à donc le quarré eft , Iqui ôté de 625, laisse un quarré. Réduisant 625 & 400 par cette dénomination, viendra pour la fomme des deux premiers quarrés cherchés 180625, & pour le troisiéme & quatriéme 115600, 40000 sans dénominateur. Soit à present divisé 180625 en deux quarrés, & foient posés ces deux quarrés 400 AA, & 441 A A la somme 841 A À doit

180625 être égale à 180625, d'où A A fera & les

841

ܐܐ

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16

200

40000

17

289

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841

deux derniers quarrés seront 72250000, 79055625

;

réduisant les deux derniers par cette dénomination, & ôtant le dénominateur, les quatre quarrés requis se• TT ff

MM PP ront 722 50000, 79655625, 33640000,97219600, lesquels appellant TT, ff, MM, PP, & réduisant sur leur valeur, les quatre nombres ci-dessus trouyés, viendra :

100701635 A.

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2

Lesquels sont tels que la somme de deux, pris com . me on voudra, augmentée de 15, fait un quarré.

A U T R E P R O B L E M E.

Iviser tout nombre donné en quatre parties, DI

telles que la différence de deux, prise comme l'on voudra, fasse un quarré.

Il faut d'abord chercher quatre nombres tels que la différence de deux, pris comme on voudra, faffe un quarré. Pour cela, je prens les trois quarrés trouvés par la méthode ordinaire , qui sont 42185025, 38452401, 37454400, & qui sont tels que la différence de deux, pris comme l'on voudra , est un quarré. Je pose A pour le quatriéme nombre; dont 42185025A, 38452401 A, 3745 4400 - A égaux à des quarrés. Leur Solide est 60755362689377664350000-4642341905869425 A+1180918261-A=à un quarré, comme

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