fervant les regles prefcrites n°. 14 & 15, & l'on aura le produit total, que l'on réduira ( no. 11 ) à sa plus fimple expreffion.

EXEMPLES.

25. Soit la quantité A. a+2bc.

à multiplier par

Produits particuliers.

Produit total.

B. 2a+3b.

C. 2a a 4ab 2 ac.

D. + 3ab + 6b b− 3 bc.

E. 2a8+7ab—2 ac+6bb—3bc. Le premier terme 2a de la quantité B multipliant tous les termes de la quantité A, donnera la quantité C.

Le fecond terme 36 de la quantité B, multipliant tous les termes de la quantité A, donnera la quantité D; & aiant fait la réduction des deux quantités C & D, l'on aura la quantité E qui fera le produit des deux quantités A & B. Donc 4+2b — c× 2a + 3 b = 2 aa + 7 ab

+6bb―zbc.

2 ag

Le premier terme aa de la quantité B, multipliant la quantité A produit la quantité C. Le deuxième terme-bb de la quantité B, multipliant la quantité 4 produit la quantité D, & en réduifant les produits particuliers C & D, l'on a le produit total E. Donc aa+bb x a a bb a+

27. On fe contente quelquefois, pour exprimer la multiplication de deux quantités complexes d'écrire entre deux le figne de multiplication.

Ainfi pour multiplier ab par ab, l'on écrit a + b xa. -b, ou a + b × ab. Il en eft ainfi des autres,

1

Des puiffances des quantités complexes.

28. Pour élever une quantité complexe à une puiffance donnée, il faut, comme pour les quantités incomplexes, la multiplier consecutivement autant de fois moins une que l'expofant de la puiffance donnée contient d'unités. Ainfi pour élever ab, à la troifiéme puiffance, il faut (n°. 24) multiplier ab par a+b, ce qui donne à a zab

bb, qui étant encore multipliée par a + b, donne a3 + 3aab + 3 abb + b3, qui eft la troifiéme puiffance, ou le cube de a+b. Il en eft ainfi des autres.

On peut abreger l'opération lorfqu'il s'agit d'élever un polynome au quarré.

29. On écrira le quarré du premier terme

ou

deux fois le rectangle ou produit du premier par le fecond, le quarré du fecond; & ces trois termes feront le quarré cherché, fi c'est un binome. Mais fi c'eft un trinome, on écrira encore + ou

deux fois le produit des deux premiers par le troifiéme le quarré du troifiéme. Si c'est un quadrinome, on écrira encore + ou deux fois le produit des trois premiers par le quatriéme → le quarré du quatriéme, & ainfi de fuite. Ainfi le quarré de ab + c, est aa — 2 ab + b b → 246 2 b c + c c.

On a mis ici cette abréviation, parce que l'on a très-fouvent befoin de cette opération dans l'Application de l'Algebre à la Geometrie.

Voici une abréviation plus confiderable pour éle ver un binome à une puiffance quelconque.

30. L'on écrira au premier terme la premiere lettre du binome élevée à la puiffance donnée; au fecond la même lettre élevée à une puiffance plus baffe de l'unité, & multipliée par la feconde lettre ; au troifiéme, la même lettre élevée à une puiffance encore plus baffe de l'unité & multipliée par le quarré de la feconde; & ainfi de fuite, en abaiffant à chaque rerme la puiffance de la premiere lettre de l'unité, & élevant au contraire celle du fecond de l'unité, jufqu'à ce que l'on arrive au terme, où la même premiere lettre n'aura qu'une dimenfion qui fera la pénultiéme ; & l'on écrira au dernier terme la feconde lettre élevée à une puiffance égale à celle du premier. Ainfi pour élever ab à la quatriéme puiffance, l'on égrira, A. a1 → a3 b + a abb abb. Sile binome eft tout pofitif, tous les termes de la puiffance auront le figne ; fi la feconde lettre eft négative, les termes où elle fe trouvera élevée à une puiffance impaire, ou dont l'expofant eft un nombre impair, auront le figne& tous les autres le figne, comme on voit dans la puiflance A

4

3

,

Il refte encore à trouver les coëfficiens; en voici la méthode.

On donnera au fecond terme pour coefficient l'expofant du premier; on multipliera le coefficient du fecond par l'expofant que la premiere lettre a du binome a au même fecond, & le produit divifé par 2, fera le coëfficient du troifiéme. De même, le coefficient du troifiéme multiplié par l'expofant que

la premiere lettre a au même troifiéme, & le produit divifé par 3, fera le coefficient du quatrième; & ainfi de fuite. De maniere que le coefficient d'un terme quelconque multiplié par l'exposant que la premiere lettre du binome a dans le même terme, & le produit divifé par le nombre qui marque le lieu que ce même terme occupe dans l'ordre des termes de la puiffance, eft le coefficient du terme fuivant. Ainfi la quatriéme puiffance du binome +b entierement formée, eft a± 4a b+ 6aabb±4ab2 b. Il en eft ainfi des autres.

S'il y a quelque nombre entier ou rompu qui précede l'un des deux, ou tous les deux termes du bi nome, on multipliera le coefficient de chaque terme de la puiffance par une puiffance de ce nombre égale à celle où la lettre qu'il précede y eft élevée. Ainfi pour élever a 26 à la troifiéme puiffance, l'on y élevera premierement 4b, & l'on aura a2 + 3 a ab + 3 abb b', l'on multipliera enfuite les coefficiens des termes où b fe rencontre, par la puiffance de 2 égale à celle où b y eft élevée, c'està-dire que l'on multipliera 3 aab par 2, 3 abb par 4, & b3 par 8, & l'on aura a 6a ab + 1 z abb

3

of

86', qui fera le cube de a 2 b.

On peut auffi élever par les mêmes regles un binome quelconque pq à une puiffance indéterminée m (m fignifie un nombre quelconque entier ou rompu, pofitif ou négatif) qui fera,

3

MI m

P q+mx *

2

4

c. Où l'on voit que la premiere lettre p du binome a pour expofant dans tous les termes, m moins un nombre entier ; c'eft pourquoi fi ce nom

bre entier fe trouve dans quelqu'un égal àm, l'expofant de p y ferao; & par confequent p=1, & ce terme fera le dernier de la puiffance m du binome p+q. Mais fi ce nombre entier ne fe trouve jamais m, la puiffance m du binome p→→→ q pourra être continuée à l'infini.

31. Le binome p+9 élevé à la puiffance m, comme on vient de faire, peut fervir de formule générale, pour élever un binome, ou un polynome quelconque à une puiffance donnée.

Soit par exemple 2 ax-xx qu'il faut élever à la troifiéme puiffance.

-

xx

Aiant fuppofé 2 ax = p, q, & m3, l'on fubftituëra en la place de p, de q, & de m, leurs valeurs 2ax, xx, & 3; & en la place des puiffance de p & de q, les puiffances égales de leurs valeurs 2 ax & xx, & l'on aura 8 a3 x3- 12 a a x2 + 6 a x3 — x° pour la puiffance cherchée: car m devient 3 au quatriéme ter me de la Formule. De même, pour élever a b ―c à la troifiéme puiffance. Aïant fuppofé a—p, • c = q, & m = 3, l'on aura après les fubftitutions 4+3 a ab → zabb → b3 3 a ac—6abc + 3 acc → 3 bbc +3bccc. Il en eft ainfi des

b

--

autres.

32. On fe contente quelquefois, pour élever un polynome à une puiffance donnée, d'écrire à fa droite l'expofant de la puiffance à laquelle on le veut élever. Ainfi pour élever a bau quarré, on

2

3

écrit ab; pour l'élever au cube, l'on écrit a b & en général, pour élever abà la puissance m.

Fon écrit ab. m fignifie un nombre quelconque entier ou rompu, pofitif ou négatif.

33. left clair que pour élever une puiffance