페이지 이미지
PDF
ePub

centre,

[ocr errors]

å l’Ellipse , & qu'ils en sont tous deux délivrez dans le quation au cercle. En effet le cercle peut être regardé comme une Ellipfe dont les foyers font confondus avec le centre, & dont tous les diametres sont par conséquent égaux entr'eux, & à leurs parametres.

Dans l'équation qu cercle 4a -- ** Fyn, les coordonnées ont leur origine au centre , & dans celle-ci, 2ax — ** =yy, l'origine des coordonnées n'est point au PROPOSITION II.

Theorême. is. Les mêmes choses que dans la premiere Proposition F16.58: étant supposées. Je dis que l'appliquée FO an foyer Fef égale à la moitié du parametre de l'axe AB. Il fauc prouver que FO=p:

ci: s11
DEMONSTRATION.
Si dans l'équation aa--- XX=-
=c(CF), le point Po tombera en F, & PM deviendra
F0; & l'on aura am 04 ďoù l'on tire y

(Prop. 1.764 = (0°. 6.) P. C. & F. D.
PROPOSITION III.

Problême.
.16. Les deux axes conjuguez AB, DE d'une Elipse étant
donnez, trouver les foyers F, G.

Soit du centre D, extrêmité de l'axe conjugué DE, & du rayon AC, décrit un cercle qui coupera A B en deux points F&G qui feront les foyers qu'il faloit trouver

N ij

[ocr errors]

qayyon fait * (CP)

[ocr errors]

yyas

[ocr errors]
[ocr errors]

CC

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

:3

Bayerische
Staatsbibliothek

München

D E'M ON S T R A TI O N.
Par la constru&ion FD + DG=AB ; donc ( no. 2.)
F & G sont les foyers. C. Q. F. D.
PROPOSITION IV.

Problême.
F 16.58.17. L E grand axe A B. d'une Ellipse & les foyers F&G

étant donnez; déterminer l'axc conjugué à l'axe A B.

Soit du foyer F pour centre & pour rayon le demi axe
décriç un cercle. Il coupera la perpendiculaire à A B
menée par le centre C en deux points ] & E, & DE sera
l'axe conjugué a l'axe A B.

D E'MONSTRATION,
Elle est la même que celle de la Proposition précé.
PROPOSITION V.

Theorême.
*16.58. 18. Si l'on fait MQ perpendiculaire à D' E. Je dis que le

rečtangle des deux parties DQ, QE de l'axe D E faites par
l'appliquée MQ, est au quarré de MQ: comme D E' quarré
de l'axe DE à AB' quarré de l'axe A B.

En laissants aux lignes les mêmes noms qu'on leur a
donnez dans la premiere Proposition, CP, où QM étant
*; & PM , ou CQ, Y; DQ_fera', ;6 - Y; & Q E, 6+y.
Il faut démontrer que bb - yy. xx :: 466.44a,

D E' MONSTRATION.
EN reprenant l'équation de la premiere Proposition aa
* xx'=la multipliant par bb, la divisant par aa &
transposant l'on aura bb --- yy= benten, d'où l'on tire cette

dente.

[ocr errors]
[ocr errors][ocr errors]

De

A LA GEOMETRIE.

୨୨: analogie bb - yy. xx :: bb. aa ::

yy.xx :: bb. aa :: 466.4aa. DQ QE. QM:: DE'. AB'. C. Q. F. D.

DE FINITION. 19. Si l'on fait 2b. 2a :: 2a. aga que je nommep; la ligne p'est appellée le parametre de l'axe DE.

COROLL AIRE. 20. b. a :: 2a: p, donne bp = 2aa, ou bbp= 2aab ou = ; c'est pourquoi si on met z en la place de bile dans l'équation précedente, l'on aura bb

? ou si l'on fait m=, l'on aura bb — yy="**.

On ajoutera à ce Corollaire les raisonnemens que l'on a faits no. 9, 10, 11, 12, 13 & 14.

26xx

[ocr errors]

суу
d

XX =

PROPOSITION V I.

Problême. 21.Une équation à l'Ellipse ab — xx= étant dom née , décrire l'Ellipse lorsque les coordonnées font un angle droit.

Soit premierement trouvé une moyenne proportionnelle entre a, & 6' qui foit f; & par conséquent ff

ab; ainsi l'équation sera ff 2. On fait ce changement parceque ab étant l'expression du quarré du demi diametre dont les parties sont nommées x, cette expression doit aussi être un quarré.

Soit présentement C, l'origine des inconnues x, qui F 16.58. va vers A & vers B, & y, qui va vers D & vers E. Le même point C doit ausli être le centre de l'Ellipse puisque les inconnues x & y n'ont point de second terme dans l'équation. Soit fait CA & CB chacune=f;

A B sera le grand axe, fi c surpasse d; le petit, si cest moindre que d. Pour avoir l'axe conjugué à l'axe AB,

[ocr errors]

soit faiç c. d :: ff. f, & soit prise CD & CE chacune
égale à vaff. Pour trouver CD=CE=viff=N; il
faut chercher une moyenne proportionnelle entre c &d,
qui sera nommée g: puis trouver à ces trois grandeurs c.
8. f. une quatriême proportionnelle qui sera n=vdff.
Car puisque c. g. d. sont en proportion continue , c. d ::
cc.88 ; mais ayant encore c.g:: f. 3. on aura cc. ff. nn.
donc c. d :: ff. nn. = def. & par conséquent n = Voff;
DE sera (no. 12. ) l'axe cherché. Ayant ensuite trouvé
les foyers F & G par la troisième Proposition, on dém
crira s’Ellipse par la premiere.

DEMONSTRATION.
ELLE est évidente par ce que l'on a démontré no. 12.
Prop. 1. & 3.
PROPOSITION VII.

Problême.
F16.62. XII. UN E Ellipse ADBE, dont AB eft le grand axe ;

C, le centre ; F & G, les fayers, étant donnée. Il faut d'un
point quelconque M donné

sur l'Elipse mener la tangente MT.
Ayant mené FM, & GM, prolongé FM, en 1, en
forte

MG, & mené Gi. Je dis que la ligne
MO menée du point M par le point Ő milieu de GI sera
la
tangente cherchée.

D E'MONSTRATION.
D'U'n point quelconque L autre que M pris sur MO,
ayant mené les droites LF, ZG, L1; puisque par la con-
struction MG=MI,&10=OG, MO sera perpendi-
culaire à Gİ; c'est pourquoi le triangle GLi sera isoscele;
& partant FL + LIELF + LG surpasse FM + MI
=FM + MG; donc le point I est hors de l'Ellipse.
C. l. F. D.

[ocr errors][ocr errors]
[merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][ocr errors][ocr errors][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][subsumed][merged small][ocr errors][ocr errors][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][ocr errors]
« 이전계속 »