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en O par la ligne MCV menée du point touchant M centre C.

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Ayant mené par les points Z, M, O, G, les lignes LK, MP, OQ, GX perpendiculaires à l'axe AB, & par O la ligne RON parallelé à AB qui rencontrera KĹ en N, & XG en R, & nommé les données AC, ou CB, a; CD, ou CE, b; & les indéterminées CP, x; PM, y; CQ, m; QX, ou OR, z; QK, ou GN, f; AX fera a +m Z; BX, a—m+z; AK, a +m+f; & KB, a — m

-f.

Il faut prouver que GO= OL, ou ce qui est la même chofe, RÔ (x)=ON (S).

s CQ0

DE'MONSTRATION.

LES triangles femblables CPM, COO donnent CP (x). PM (y) :: CQ(m). Q0: ===RX-KN: l'on

a auffi (no. 8.) CT =

=

TC (#).CH сн

bb

y

les triangles semblables TCH, ORG, ONL, donnent

,&TC

(-):

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CH(-):ON().NI=

my

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aa

& KL =

aa - 3 KI

+

bb

(~~) :: OR(K). RG:

bbfx

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my

& (no. 12.) CH= &

mmyy

bbzx

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aay

X

aay

(CD3) :: aa— mm + 2mz — Z3 (AX × XB). 23

2bbmz b*zzxx

a*yy

mm

— 2mf—ss (AK × KB). d'où l'on trouve ces deux équations.

aay

bbfx

aay

Mais (art. 12. n°. 5.) aa (CB'). bb

par le

donc XG=

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xx

(XG'), & aa (CB'). bb (CD') :: aa

(KĽ')

my

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mmyy

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b+zzxx

aayy

+bbff, d'où l'on tire

bbmm + 2bbmz

bbmm = aabb

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- bbss,

& ayant ôté la feconde de la premiere, le premier membre du premier, & le fecond du fecond, l'on aura celle-ci,

2bbmz+ 26bm+

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2bbmf

b* fix

—2bbmz+2bbms—bbzz

aayy

=; car après avoir effacé de

b4zzxx

l'équation D les termes qui fe détruisent, il restera

b+ssxx

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aayy

bbzz+bbff. On divifera ce refte par bb,

aayy

——

= 0.

& l'on multipliera le quotient par aayy, il viendra bbzzxx - bbssxx: aayyzz+aaffyy. On égalera le tout à o, ce qui donnera bbzzxx bbssxx + aayyzz + aassyy: On divifera cette équation par bbxx+aayy, & l'on aura au quotient —ss=0, ou bien zz=ss, ou z⇒s, OR ON; donc GOOL. C. Q. F. D.

La pofition de la ligne GZ peut changer en bien des manieres à mesure que le point O s'approche ou s'éloigne du centre C, ou fe trouve au-delà par raport à M: mais cela ne peut au plus que changer les fignes dans les expreffions des lignes AX, XB, AK, KB, XG & KL, & l'on trouvera toujours z=/; c'eft pourquoi la Propofition eft généralement vraye.

COROLLAIRE I,

14.

IL eft clair que la ligne FCS menée par le centre C, parallele à la tangente MT eft divifée en deux éga

lement par le centre C: car le point O tombant en C', GL devient FS, & comme le point M peut être pris indifferemment fur tous les points de l'Ellipfe; il s'enfuit que toutes les lignes comme FCS, font coupées par le milieu en C, puifqu'elles peuvent toujours être paralleles à une tangente MT menée par l'extrêmité M d'une autre ligne MCV qui paffe aussi par le centre C.

DEFINITIONS.

15. LEs lignes MCV, FCS qui paffent par le centre d'une Ellipfe font nommées diametres, & lorfque deux diametres MCV, FCS font pofez de maniere que l'un des deux FCS eft parallele à la tangente MT menée par l'extrêmité M de l'autre MCV; ils font nommez diametres conjuguez; & les lignes OG, OL font nommées ordonnées, ou appliquées au diametre M V.

COROLLAIRE II.

16. IL est évident que les ordonnées à un diametre quelconque font divifées en deux également par le même diametre.

COROLLAIRE III.

17. IL eft clair que la position des diametres conjuguez eft déterminée par la pofition de la tangente menée menée par l'une de leurs extrêmitez.

COROLLAIRE IV.

3

18. SI l'on ajoute les deux équations A & B de la propofition précédente, après avoir mis en la place de /, le premier membre au premier & le fecond au fecond, l'on aura celle-ci 2aammyy

2b*zzxx

+

zaabb 2bbmm

XX

aayy

—– 2bbzz, ou, en fuppofant que le point O tombe en C, auquel cas QK = devient CI, Ĝ Z devient FS, KL, devient SI, & CQ=m devient nulle ouo, ce qui

bbzzxx

détruit les termes où m fe rencontre,

༢༢.

aayy

fa vad'où l'on tire zz=aa―xx, en mettant pour aayy leur aabb bbxx tirée de l'équation aa — xx =

aayy

bb

trouvée par la premiere Propofition; d'où l'on conclud que CI AP PB: & que CP1— AI × IB: car l'on a auffi xx=aa

༢༢:

=

FIG. 64. 20.

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aa

COROLLAIRE V.

FIG. 63. 19. SI l'on fait dans cette équation xx = aa—zK, Z (CI)=x (CP); les points P & 1 fe confondront en un FIG. 64. feul point r, & les deux diametres conjuguez MV, FS donc x= = √1 aa feront égaux, & l'on aura 2xx = aa ; qui fervira à déterminer leur pofition en cette forte. Soit prise Cr moyenne proportionnelle entre CB & fa moitié, & menée par la perpendiculaire MYS qui rencontrera l'Ellipfe aux points M & S, par où l'on menera les diametres conjuguez MV, FS qui feront égaux.

COROLLAIRE V I.

IL eft clair que AY x YB-Cr: car l'équation (no. 18.) xx=aa — zz fubfifte toujours, quoique x—— ou CP CI=CY.

x=z

21. ×

COROLLAIRE VII.

A Caufe de AY x YB = Cr2 = ( n°. 19. ) 1⁄2 aa,l'on a (Art. 12. n°. s.) — aa ( CY2 ). yy ( P M2 ) :: aa (CB3).

bb (CD2); car (Art. 12. n°. 5.) on a aa-xx.yy :: aa.

¿

bb. Mais (no. 19.) x = √1⁄2aa. Donc xx =
aa. Donc
fubftituantaa dans le premier terme aa — xx de l'ana-
logie précedente à la place de xx, on aura aa —
= {aa. yy :: aa. bb, d'où l'on tire y =✔bb, qui fer-
vira à trouver le point Q fur CD, comme l'on a trouvé

aa

(n°. 19.) le point r fur CA; & la perpendiculaire FQM déterminera auffi la pofition des deux diametres conjuguez égaux MCV, FCS.

COROLLAIRE VIII.

X

22. PUISQUE (Art. 12. n°. 5.) AP × PB, ou (no. 18.) CI. F 1 c. 63. PM::CB.CD,& AIxIB ou (no.18.}CP .Is

::

CB'. CD', l'on a CI2. PM2 :: CP2. IS2, ou CI.PM:: CP. IS, d'où il fuit que les triangles CPM, CIS font égaux.

PROPOSITION XI.

Theorême.

23. AYANT suppose les mèmes chofes que dans la Pro- F 16.63i
pofition précédente. Je dis que le rectangle VO x O M des
parties du diametre MV faites par l'appliquée OL eft à OL',
quarré de la même appliquée, comme V M, quarré du dia-
metre VM, eft à FS, quarré du diametre conjugué à VM.
Ayant nommé AC, ou CB, a ; CD, ou CE,b; CP,
x; PM, y; OR, ou ON, z; CQ, m; CV ou CM, d; FC,
ou CS, f; CO, u ; & O L ou OG, f.

Il faut prouver que dd- uu.:: dd. ff:: 4dd. 4ff

j.

DE'MONSTRATION.

L'ONa (art. 12.)

A. aa

xx

aayy
b b

les triangles femblables MCP,

OCQ, donnent d (CM). x (CP) :: u (CO). m (CQ); donc

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B. dm=ux, & les triangles femblables SCI, LON, & CI = (no. 18.) aa-xx, donnent ff (CS1). aa— xx (Cr) :: ff (LO ̊ ). zz, ( ON'); donc

C. ffzz = aaff — xxss.

En reprenant préfentement l'équation du quatriême Corollaire de la Propofition précédente no. 18, qui étant divisée par 2, devient,

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