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en O par la ligne MCV menée du point touchant M par le centre C.

Ayant mené par les points L, M,0, G, les lignes LK, MP, OQ, GX perpendiculaires à l'axe AB, & par o la ligne RON parallele à AB qui rencontrera Ki en N, & XG en R, & nommé les données AC, ou CB, a; CD, ou CE, 6; & les indéterminées CP, X; PM,y; Cle m; IX, ou OR, L; QK, ou GN,S; A X sera a + m - R; BX, a-m+k; AK, á + m +/; & KB, am -S

Il faut prouver que GO= OL, ou ce qui est la même chofe, (3)=0N (/).

ز

ту

bb

&

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bbzx

&TC)

day

DEMONSTRATION. L Es triangles semblables CPM,CQO donnent CP (*). PM (y) :: Cem). 20 =RX=KN: l'on a aussi (no. 8.) CT = "9, & (no. 12.)CH= les triangles semblables TCH, ORG, ONL, donnent TC ().ch ( ) ::OR(k). RG= S

bbfx CH (*) ::00 (/). NL=

+ & KL

bbfoc

Mais (art. 12. no. 5.) aa (CB).bb (CD*):: aa — mm + 2m2 - 73 (A X X X B).

(XG'), & aa (CBP). bb (CD') :: aa ayy

abbms - 2m|-|(AKÝKB).

(KL)

a*yy d'où l'on trouve ces deux équations.

my donc XG=+

j

aay

bbzx

my

aay

X

aay

ттуу

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aammyy

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XX

aayy

ааттуу

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b*zzxx 'A. + abbmx +

bbmm to 2bbmz - bbzz, &

b4ffaa B. 2bbms +

65mm 2bbm

алуу - ர, & ayant ôté la seconde de la premiere, le premier membre du premier, & le second du second , l'on aura celle-ci, 2bbm2 + 2bbmp +

+2bbmz+ 2bbmf-bbzz.

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b+zzxx

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aayy

алуу

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+ bhl, d'où l'on tire m=s; car après avoir effacé de l'équation D les termes qui se détruisent, il restera b4fxx

bbzz + bbf. On divisera ce reste par bb,

aayy

dayy

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=0.

& l'on multipliera le quotient par aayy, il viendra bbzzxx

bbssxx= aayyaz + aafsyy. On égalera le tout à 0, ce qui donnera bbz2xx bbs]xx + aayyzz + aassyy On divisera cette équation par bbxx + aayy, & l'on aura au quotient 23-1=0, ou bien ze=l, ou =S;OR = ON; donc GO=OL. C. Q. F.D.

La position de la ligne GL peut changer en bien des manieres à mesure que le point o s'approche ou s'éloigne du centre C, ou se trouve au-delà par raport à M: mais cela ne peut au plus que changer les signes dans les expressions des lignes AX, XB, AK, KB, XG & KL, & l'on trouvera toujours z=; c'est pourquoi la Proposition est généralement vraye.

COROLLA IR E I. 14. Il est clair que la ligne FCS menée par le centre C, parallele à la tangente MT est divisée en deux éga

lement

par le centre C: car le point o tombant en c, G L devient FS, & comme le point M peut être pris indifferemment sur tous les points de l'Ellipse; il s'ensuit que toutes les lignes comme FCS, sont coupées par le milieu en C; puisqu'elles peuvent toujours être paralleles à une tangente MT menée par l'extrêmité M d'une autre ligne MCV qui passe aussi par

le centre C. DEFINITIONS. IS L Es lignes MCV, FCS qui passent par le centre d'une Ellipse sont nommées diametres, & lorsque deux diametres MCV ,FCS sont posez de maniere que l'un des deux FCS est parallele à la tangente MT menée par l'extrêmité M de l'autre MCV ; ils sont nommez diametres conjuguez; & les lignes OG,OL sont nommées ordonnées, ou appliquées au diametre MV.

COROLLA IRE I I. 16. Il est évident que les ordonnées à un diametre quelconque sont divisées en deux également par le même diametre.

COROLLAIRE III. 17. Il est clair

que la position des diametres conjuguez est déterminée

par la position de la tangente menée par l'une de leurs extrêmitez.

COROLL AIRE I V. 18. Si l'on ajoute les deux équations A & B de la proposition précédente, après avoir mis z en la place de li le premier membre au premier & le second au second, l'on aura celle-ci

2aabb 2.bbam

2ааттуу

26* zzxx

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2bbzz, ou, en supposant que le point o tombe en C, auquel cas QK=z devient ci, G L devient FS, KL devient SI,&CQ=m devient nulle ou=0 ce qui

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sa va

days

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bbzzxx détruit les termes où m se rencontre,

-hi

adyy
d'où l'on tire x=da - xx, en mettant pour aayy
leur aabb
bbxx tirée de l'équation aa — xx =

bb trouvée par la premiere Propofition; d'où l'on conclud que CI= APP B: & que CP= AI ~ IB: car l'on a aussi xx = aa

༢༢ :

COROLLAIRE V. 19.

Si l'on fait dans cette équation xx = aa ~, %

(CI)=x(CP); les points P & 1 se confondront en un F16. 64. seul point Y , & les deux diametres conjuguez MV, FS

seront égaux, & l'on aura 2xx = aa ; donc x=V-aa qui servira à déterminer leur pofition en cette forte. Soit prise CY moyenne proportionnelle entre CB & sa moitié, & menée par y la perpendiculaire MYS qui rencontrera l’Ellipfe aux points M&S, par où l'on menera les diametres conjuguez MV, FS qui seront égaux. COROLLAIRE

VI. F16.64. 20. Il est clair que A Y X Y B=CY' : car l'équation

(no. 18.) xx=aa— 2 subsiste toujours, quoique x=2 ou CPECI=CY.

FIG. 63.

COROLLA IRE VII. A Cause de AY XYB=Cr=(no.19.) į aa ,l'on a (Art, 12. no. 5.) į aa (CYP). yy ( PM) :: aa (CB' ). bb (CD?); car ( Art. 12. no. s. ) on a aa — xx.yy :: aa . bb. Mais (no. 19.) x=vaa. Donc xx = substituant į aa dans le premier terme aa – xx de l'analogie precedente à la place de xx, on aura aa {aa = {aa. yy :: aa .bb, d'où l'on tire y =V_bb, qui servira à trouver le point sur CD, comme l'on a trouvé

jaa. Donc

ز

22.

(no. 19.) le point y sur CA ; & la perpendiculaire FQM dérerminera aussi la position des deux diametres conjuguez égaux MCV, FCS.

COROLLAIRE VIII. Pursque ( Art. 12. no.5.) AP ® PB,ou (no. 18.)CI.F16.63. PM' :: CB*. CD', & AIXIB ou (no. 19.) CP. Ís' :: CB. CD', l'on a C12. PM2::CP. IS'; ou CI. PM:: CP.IS, d'où il suit que les triangles CPM, CIS sont égaux. PROPOSITION XI.

Theorême. 23. AYANT supposé les mêmes choses que dans la Pro- F16.63i position précédente. Je dis que le reftangle Vox O M des parties du diametre MV faites par l'appliquée OL est à OL', quarré de la même appliquée; comme V M", quarré da didmetre VM, est à FS', quarré du diametre conjugué à VM.

Ayant nommé AC, ou CB, a; CD, ou CE,b;CP,
X; PM,Y;OR, ou ON, K; CQ,m; CV ou CM, d; FC,
ou CS, f;CO,u; & OL ou OG, f.
Il faut prouver que dd

dd - uu.[::dd. ff :: 4dd. 4f

D E M O N S T R A TION.
L'ona ( art. 12.)
A. aa
xx

les triangles semblables MCP,
OCQ, donnent d (CM).* (CP):: (CO).m (CO);
donc
B. dm=ux, & les triangles semblables SCI, LON, &
CI',
( no. 18.) aa –

aa — xx, donnent ff (CS'). aa – xx (CI)::S(10). 32, (ON'); donc C. fak= aas xxf].

En reprenant présentement l'équation du quatriême Corollaire de la Propofition précédente no, 18 , qui étant divisée par 2 , devient,

aayy
bb

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