en Ọ par la ligne MCV menée du point touchant M par le centre C. Ayant mené par les points L, M, 0, G, les lignes LK, MP, 0QGX perpendiculaires à l'axe AB, & par O la ligne RON parallelé à AB qui rencontrera KĹ en N & XG en R, & nommé les données AC, ou CB, a; CD, ou CE, b; & les indéterminées CP, x; PM, y; CQ,. m; QX, ou OR, z; QK, ou GN, f; AX fera a +m — z; BX, a —m+z; AK, a +m+f; & KB, a — m -f. DEMONSTRATION. LEs triangles femblables CPM, CQO donnent CP my (x). PM (y) :: CQ (m). 20: =RX KN: l'on aa a auffi (no. 8. ) CT, & (n°. 12.) CH= bb & les triangles semblables TCH, ORG, ONL, donnent (CD3) :: aa my bbfx aay aay Mais (art. 12. 1o. 5.) aa (CB3). bb mmyy :: aa— mm + 2mz — Zz ( AX x XB). xx a*yy (XG), & aa (CB'). bb (CD') :: aa d'où l'on trouve ces deux équations. ad + (KĽ') a*yy & ayant ôté la feconde de la premiere, le premier membre du premier, & le second du second, l'on aura +bbff, d'où l'on tire =ss; car après avoir effacé de l'équation D les termes qui fe détruisent, il restera b4zzxx aayy b1ffxx - bbzz + bbff. On divifera ce reste par bb, aayy = =0. & l'on multipliera le quotient par aayy, il viendra bbzzxx - bbffxx aayyzz+aaffyy. On égalera le tout à o, ce qui donnera bbzzxx — bbfjxx + aayyzz + aasslyy On divifera cette équation par bbxx+aayy, & l'on aura au quotient —ss=0, ou bien zx=ss, ou z=s, OR ON; donc GOOL. C. Q. F.D. La pofition de la ligne GZ peut changer en bien des manieres à mesure que le point O s'approche ou s'éloigne du centre C, ou fe trouve au-delà par raport à M: mais cela ne peut au plus que changer les fignes dans les expreffions des lignes AX, XB, AK, KB, XG & KL, & l'on trouvera toujours z=/; c'eft pourquoi la Propofition eft généralement vraye. COROLLAIRE I, 14. I L est clair que la ligne FCS menée par le centre C, parallele à la tangente MT eft divifée en deux éga lement par le centre C: car le point O tombant en C GL devient FS, & comme le point M peut être pris indifferemment fur tous les points de l'Ellipfe, il s'enfuit que toutes les lignes comme FCS, font coupées par milieu en C; puifqu'elles peuvent toujours être paralleles à une tangente MT menée par l'extrêmité M d'une autre ligne MCV qui paffe auffi par le centre C. DEFINITIONS. le 15. LEs lignes MCV, FCS qui paffent par le centre d'une Ellipfe font nommées diametres, & lorfque deux diametres MCV, FCS font posez de maniere que l'un des deux FCS eft parallele à la tangente MT menée l'extrêmité M de l'autre MCV; ils font nommez diametres conjuguez; & les lignes OG, OL font nommées ordonnées, ou appliquées au diametre MV. COROLLAIRE II. par 16. IL est évident que les ordonnées à un diametre quelconque font divifées en deux également par le même diametre. 17. COROLLAIRE IL eft clair que la position des diametres conjuguez eft déterminée par la pofition de la tangente menée par l'une de leurs extrêmitez. COROLLAIRE IV. 18. SI l'on ajoute les deux équations A & B de la proposition précédente, après avoir mis en la place def, le premier membre au premier & le fecond au fecond, l'on aura celle-ci 2aammyy 2b*zzxx aayy zaabb 2bbmm —2bbzz, ou, en fuppofant que le point O tombe en C, auquel cas QK = devient CI, GĜ Z devient FS, K L devient SI, & CQ=m devient nulle ou o ༢ = ce qui FIG. 63. détruit les termes où m fe rencontre, bbzzxx aa ༢ང་ aayy d'où l'on tire zz=aa― xx, en mettant pour aayy leur aabb bbxx tirée de l'équation aa-xx = fa va aayy bb trouvée par la premiere Propofition; d'où l'on conclud que CI' — AP × PB: & que CP2= AI × IB: car l'on a auffi xx = aa 19. = COROLLAIRE V. 2 SI l'on fait dans cette équation xx = aa—ZL, Z ༢༢., ༢ (CI)=x (CP); les points P & I fe confondront en un FIG. 64. feul point r, & les deux diametres conjuguez MV, FS feront égaux, & l'on aura 2xx = aa; donc x = √——__ aa qui fervira à déterminer leur pofition en cette forte. Soit prise Cr moyenne proportionnelle entre CB & fa moitié, & menée par la perpendiculaire MYS qui rencontrera l'Ellipfe aux points M & S, par où l'on menera les diametres conjuguez MV, FS qui feront égaux. COROLLAIRE V I. = FIG. 64. 20. I L eft clair que AY × Y B⇒Cr': car l'équation (no. 18.) xx=aa-zz fubfifte toujours, quoique x=Z ou CP CI=CY. COROLLAIRE VII. 21. A Cause de Ar × YB —Cr2— (no. 19. ) 1⁄2 aa,ľon aa. Donc a (Art. 12. n°. s.) — aa ( C Y2 ). yy ( P M2 ) :: aa (CB2 ). aa (no. 19.) le point fur CA; & la perpendiculaire FQM déterminera auffi la pofition des deux diametres conjuguez égaux MCV, FCS. 22. COROLLAIRE VIII. PUISQUE (Art. 12. n°. 5.) AP × PB, ou (no. 18.) CI. F1 6.63. PM::CB,CD,& AIxIB ou (n®. IS.) CP .IS :: } CB3. CD', l'on a CI2. PM2 :: CP2. IS', ou CI.PM:: CP. IS, d'où il fuit que les triangles CPM, CIS font égaux. PROPOSITION XI. Theorême. 23. AYANT fuppofe les mèmes chofes que dans la Pro- FIG. 63i pofition précédente. Je dis que le rectangle VOOM des parties du diametre MV faites par l'appliquée OL eft à OL', quarré de la même appliquée; comme V M2, quarré du diametre VM, eft à FS, quarré du diametre conjugué à VM. Ayant nommé AC, ou CB, a ; CD, ou CE,b; CP, x; PM, y; OR, ou ON, z; CQ, m; CV ou CM, d; FC, ou CS, f; CO, u ; & O L ou 0G, f. Il faut prouver que dd— uu. ff:: dd. ff :: 4dd. 4ff. DE'MONSTRATION. L'ONa (art. 12.) A. aa - xx aayy les triangles semblables MCP, OCQ, donnent d (CM). x (CP) :: u (CO). m (CQ); donc B. dm=ux, & les triangles femblables SCI, LON, & CI' = (no. 18.) aa — xx, donnent ff (CS1). aa — xx (Cr): :ss (LO′ ). zz, ( O N' ) ; donc C. ffzz= aass — xxss. En reprenant préfentement l'équation du quatriême Corollaire de la Propofition précédente no. 18, qui étant divisée par 2, devient, |