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dammyy

b*zzxx D.

aabb bbmm bbz2; & en met

аауу tant dans le numerateur du premier terme , & dans le dénominateur du second pour aayy , sa valeur aabb

bbxx

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l'équation B , & pour 23,

fa valeur
aal xxl

tirée de l'é

ff quation C, l'on aura après les réductions & transpositions,

dds dd

d'où l'on tire dd - uu:|::dd.ff:: 4dd.

ff 4ff. C. Q. F. D.

COROLLA IRE I. 24. SIMV & F S sont les deux diametres conjuguez égaux, d sera =f; & l'équation deviendra dd À, qui seroit une équation au cercle, si l'appliquée OL faisoit un angle droit avec CM.

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25. Si l'on fait d.f:: 28. p, la ligne p fera appellée le parametre du diametre MÝ.

COROLLA I Ř E II. 26. L A proportion dif:: 2f.p donne dp = 2ff; donc en multipliant par d, l'on a ddp=2dff; doncs= c'est pourquoi fi l'on met dans l'équation précédente pour la valeur, l'on aura dd 2011 d'où l'on tire dd - uu. :: 2d.p.

COROLLAIRE

P

COROLL AIRE III. 27. N peut encore mettre pour un autre raport

==; & l'on aura dd - uu=mff, d'où l'on tire tire dd - uu.] ::

uu.] ::m. n. On ajoutera ici les mêmes choses que l'on a dires arc. 12, no. 9, 10, 11, 12, 13, & 14.

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و

PROPOSITION XII.

Theorême. 28. Les mêmes choses étant encore supposées, si l'on mene Gq parallele à MV. Je dis que F9x qs. 96' :: FS'. VM'.

En nommant encore CM, ou CV,d; CS, ou CF; f;co, ou qG, u;OG, ou Cq,/; Fq sera f-Si &qS, f+f:

Il faut prouver que ff -/. uu :: 4ff. 4dd.

D E' MONSTRATION EN reprenant l'équation de la Proposition précédente

ddr dd

la multipliant par ff, transposant & divifr

ffus sant par dd, l'on en tirera ff - (=

dd'

qui donnera ff luu:: ff. dd :: 4ff. 4dd. C. l. F. D.

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D E' FINITION. 29. , I l'on fait f. d:: 2d.p, la ligne

la ligne =p sera appellée le parametre du diametre F s.

P

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2f

1

f

; dd

P

ff

zfuu

COR o L L AIRE I. 30. L A Proportion précédente donne pf = 2dd; donc pi= 2fdd, ou metrant donc dans l'équation precedente pour

la valeurs, l'on aura f-17 d'où l'on cire ff - l. uu :: 2f. p.

COROLLAIRE 31. L'on peut encore changer le raportă

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dd

P

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I I.

ff dd

af ou

P

en

muu

ce

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un autre raporc égal, “, & l'on aura ff qui donnef- fuu::m. N.

On ajoutera encore ici ce qu'on a dic art. 12. no.9,10, II, 12, 13 & 14.

COROLLA I R E III. 32. Il est clair ( no. 25.& 29.) que le rectangle de l'un des diametres conjuguez par son parametre est égal au quarré de l'autre diametre.

33.

PROPOSITION XIII.

Problême. Dev X lignes quelconques FS & MV qui se coupent par le milieu en angles obliques étant données de position & de grandeur pour deux diametres conjuguez d'une Elipse, déterminer la position & la grandeur des axes de la même Ellipse.

Cette Proposition contient deux cas qu'on pourroit néanmoins réduire à un seul, comme on va voir dans le second : le premier est lorsque les lignes FS & MV sont égales : le second lorsqu'elles sont inégales.

34. AYA

و

PREMIER CA S. AYANT joint les points M, S&M, F, & ayant Fig. 6s. divisé MS & MF par le milieu en P&l, on menera les lignes CP, CQ indéfiniment prolongées de part & d'autre qui se couperont à angles droits en C, puisque CS, CM, CF sont égales , & que les points P & divisent par

le milieu MS & M F.

Soit ensuite faic =CP & QH=CQ, & du centre c par 1, & par H décrit deux cercles qui couperont CP,& cQ aux points A, B, D & E. Je dis que l'Ellipse dont AB & DE sont les axes , passera par les points M, F, V &.S.

D E'MONSTRATION. AYANT nommé AC, ou CB, a; CD, ou CE,b; CP , ou PI , *; PM, ou CQ, ou QH,y; l'on a par la propriété du cercle , & par la Construction, aa -- x*(AP * PB)='

*(PI", où CP), & bb - yy ( EQXQD) yy ( QH, ou CQ), d'où l'on tire x=vaa, =V { bb; c'est pourquoi ( no. 19. & 21.) les points S, M, V & F, sont à l'Ellipse dont les axes sont AB, & DE. C. l. F. D.

SECON CAS. 35. Soit prolongée CM du côté de M, & foit faite F16.66. MK prise sur le prolongement, égale à la troisième pro- ; portionnelle à CM & CS ; & ayant mené par M la droite HMT parallele à FS, du point O milieu de CK , on élévera la perpendiculaire OG qui rencontrera HMT en un point G ; puisque ( no. 13.) MT est tangente à l'Ellipse dont MV & F S sont deux diametres conjuguez ; & que (no. 10.) l'angle CMT est obtus, & du centre G l'on décrira un cercle qui passera par K, & coupera MG aux points T & H par où, & par C, l'on menera T c, & icindéfiniment prolongées au-delà de c par raport à T & à H:l'on menera ensuite MP & MQ paralleles à

N D

par C,

CH & à CT ; & ayant pris CB moyenne proportionnelle entre CT & C P; CD, moyenne proportionnelle entre CH&CQ, fait C A=CB, & CE=CD. Je dis que l'Ellipse dont AB & ED. ( qui à cause du cercle le coupent à angles droits ) sont les axes, passera par les points M,F,V & S.

D E'MONSTRATION. Ayant abaissé du centre G sur CT la perpendiculaire GN, le point N divisera CT par le milieu en N; & partant NG=<CH, & ayant abbaissé du point S sur la même CT la perpendiculaire Si,& nommé les données CB, ou CA, a; CD, óu CE, b; CM ou CV, d; CF, ou CS, f; & les indéterminées CP, ou QM, *; PM, ou CRY; & CI, K; l'on aura ( Const. ) CP(x).CB (a) :: CB(a). CT =

44

&

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CIS, MQH, TPM donneront CI (C). CS (5)

,

fx :: Me(*). MH= & CI(%).CS (f)::TP

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aaf

aaf HT j

& partant GT = ZX

a*f l'angle droit GNT, (GT')

42ZXX

6+zzxx NG'), d'où l'on tire ff=23+

(NT'+

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a'yy

Mais l'on a aussi

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