b*zz.xx bbmm-bbzz, & en met aayy tant dans le numerateur du premier terme, & dans le dénominateur du second pour aayy, fa valeur aabb bbxx aamm ZZXX tirée de l'équation A, l'on aura D. aammyy dd นน aabb 4ff. C. Q. F. D. Xx K, & mettant encore pour mm fa valeur tirée de aa - XX l'équation B, & pour 2, fa valeur ff quation C, l'on aura après les réductions & transpositions, dag uu.:: dd.ff:: 4dd. d'où l'on tire dd-uu. uu. :: 2d. p. uuxx dd aa COROLLAIRE I. 24. SI MV & FS font les deux diametres conjuguez égaux, d fera =ƒ; & l'équation deviendra dd tirée de l'é uu = , qui feroit une équation au cercle, fi l'appliquée O Z faifoit un angle droit avec CM. DEFINITION. 25. SI l'on fait d.f:: 2f.p, la ligne p sera appellée le parametre du diametre MV. COROLLAIRE II. 26. LA proportion d'. f:: 2f.p donne dp =2ff; donc en multipliant par d, l'on a ddp=2dff; donc d = d; c'eft pourquoi fi l'on met dans l'équation précédente pour de fa valeur 2d, l'on aura dd dd แน 24 d'où l'on ff tire dd- uu. COROLLAIRE COROLLAIRE III. 27. LON N peut encore mettre pour 2 un autre raport = = 24 = d; & l'on aura dd — uu mД, d'où l'on tire tire dd uu.ss::m. n. On ajoutera ici les mêmes chofes que l'on a dites art. 12, no. 9, 10, 11, 12, 13, & 14. PROPOSITION XII. Theorême. 28. LES mêmes choses étant encore fuppofées, fi l'on mene Gq parallele à MV. Je dis que Fq x qS. q G' :: FS'. VM'. En nommant encore CM, ou CV, d; CS, ou CF; f; CO, ou qG, u; OG, ou Cq, f; Fq fera f-f; & qS, f+f. Il faut prouver que ƒƒ —ss. uu :: 4ff. 4dd. DE'MONSTRATION. EN reprenant l'équation de la Propofition précédente dd - นน la multipliant par ff, transposant & divi ddg › ƒ ffuu —ss. uu:: ff. dd :: 4ff. 4dd. C. Q. F. D. ffsant par dd, l'on en tirera ƒƒ—ss=—, qui donnera ff - S= DEFINITION. 29. SI Si l'on fait f. d:: 2d. p, la ligne =p sera appelée le parametre du diametre FS. P COROLLAIRE I. 30. LA Proportion précédente donne pf = 2ḍd ; 31. P dd ff sa valeur, l'on aura ƒ— ss= précedente pour dd P d'où l'on tire ƒƒ —ss. uu :: 2f. p. mettant donc dans l'équation m = 2ḍd; donc & l'on aura ff ff dd ou 2fuu P ทนน en се un autre raport égal, n qui donne ff-ff. uu :: m. n. t On ajoutera encore ici ce qu'on a dit art. 12. n°. 9, 10, 11, 12, 13 & 14. COROLLAIRE III. 32. Il est clair ( no. 25. & 29.) que le rectangle de l'un des diametres conjuguez par fon parametre est égal au quarré de l'autre diametre. PROPOSITION XIII. Problême. 33. DEUX lignes quelconques FS & MV qui fe coupent par le milieu en C à angles obliques étant données de pofition &de grandeur pour deux diametres conjuguez d'une Ellipfe, déterminer la pofition & la grandeur des axes de la même Ellipfe. Cette Propofition contient deux cas qu'on pourroit néanmoins réduire à un feul, comme on va voir dans le second: le premier eft dorfque les lignes FS & MV font égales: le fecond lorfqu'elles font inégales.. PREMIER CAS. AYANT 34. ANT joint les points M, S & M, F, & ayant FIG. 65. divifé MS & MF par le milieu en P&Q, on menera les lignes CP, CQ indéfiniment prolongées de part & d'autre qui fe couperont à angles droits en C, puifque CS, CM, CF font égales, & que les points P&Q divifent par le milieu MS & MF. Soit enfuite fait PI CP & QH-CQ, & du centre C par I, & par H décrit deux cercles qui couperont CP, & CQ aux points A, B, D & E. Je dis que l'Ellipfe dont AB & DE font les axes, paffera par les points M, F, V&S. DE'MONSTRATION. '; ―――― AYANT nommé AC, ou CB, a; CD, ou CE,b; CP, ou PI, x, PM, ou CO, ou QH,y; l'on à par la propriété du cercle, & par la Conftruction, aa-xx (AP × PB) =xx (PI', où CP'), & bb — yy ( E Q × Q D ) =yy (QH2, ou CQ), d'où l'on tire x = Vaa, & y Vbb; c'eft pourquoi (no. 19. & 21.) les points S, M, V&F, font à l'Ellipse dont les axes font AB, & DE. C. Q. F. D. SECOND CAS. 35. SOIT prolongée CM du côté de M, & foit faîte F16. 66. MK prife fur le prolongement, égale à la troifiéme proportionnelle à CM & CS; & ayant mené par M la droite HMT parallele à FS, du point O milieu de CK, on élévera la perpendiculaire OG qui rencontrera HMT en un point G; puifque (no. 13.) MT eft tangente à l'Ellipse dont MV & F S font deux diametres conjuguez; & que (n°. 10.) l'angle CMT eft obtus, & du centre G par C, l'on décrira un cercle qui paffera par K, & coupera MG aux points T & H par où, & par C, l'on menera TC, & HC indéfiniment prolongées au-delà de C par raport à T & à H : l'on menera enfuite MP & MQ paralleles à = CH & à CT ; & ayant pris CB moyenne proportionnelle entre CT & C P; CD, moyenne proportionnelle entre dis que CH & CQ, fait CA CB, & CE = CD Je l'Ellipfe dont AB & ED ( qui à cause du cercle fe coupent à angles droits) font les axes, paffera par les points M, F, V & S. DE'MONSTRATION. AYANT abaiffé du centre G sur CT la perpendiculaire GN, le point N divifera CT par le milieu en N; & partant NG CH, & ayant abbaiffé du point S fur la même CT la perpendiculaire SI, & nommé les données CB, ou CA, a; CD, óu CE, b; CM ou CV, d; CF, ou CS, f; & les indéterminées CP, ou QM, x; PM, ou CQ2y; & CI, z; l'on aura (Const.) CP(x). CB (a) :: CB (a). CT= CQ (y). CD (b) :: CD (b). CH bb car NT=CN, par construction. NG——, 2y bb ―y, & les triangles femblables y CIS, MOH, TPM donneront CI (). CS (ƒ)· fx ::MQ(x). MH =—, & CI(z). CS (ƒ) :: TP 2 aa - x,& QH: bb y aaf aaf 2ZX Zx (GT') 44 & donc NT= ; b+zzxx a*yy donc HM+MT, ou aa 2.20 4XX TP= donc à caufe de b+ + 4yy (NT1+ Mais l'on a auffi |