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b*zz.xx

bbmm-bbzz, & en met

aayy

tant dans le numerateur du premier terme, & dans le dénominateur du second pour aayy, fa valeur aabb bbxx

aamm

ZZXX

tirée de l'équation A, l'on aura

D.

aammyy

dd

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นน

aabb

4ff. C. Q. F. D.

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Xx

K, & mettant encore pour mm fa valeur tirée de

aa - XX

l'équation B, & pour 2, fa valeur

ff

quation C, l'on aura après les réductions & transpositions,

dag
>
ff

uu.:: dd.ff:: 4dd.

d'où l'on tire dd-uu.

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uu. :: 2d. p.

uuxx

dd

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aa

COROLLAIRE

I.

24. SI MV & FS font les deux diametres conjuguez égaux, d fera =ƒ; & l'équation deviendra dd

tirée de l'é

uu =

, qui feroit une équation au cercle, fi l'appliquée O Z faifoit un angle droit avec CM.

DEFINITION.

25. SI l'on fait d.f:: 2f.p, la ligne p sera appellée le parametre du diametre MV.

COROLLAIRE II.

26. LA proportion d'. f:: 2f.p donne dp =2ff; donc en multipliant par d, l'on a ddp=2dff; donc d = d; c'eft pourquoi fi l'on met dans l'équation précédente pour de fa valeur 2d, l'on aura dd dd

แน

24 d'où l'on

ff

tire dd- uu.

COROLLAIRE

COROLLAIRE

III.

27. LON N peut encore mettre pour 2 un autre raport

=

= 24 = d; & l'on aura dd — uu

mД, d'où l'on tire

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tire dd

uu.ss::m. n.

On ajoutera ici les mêmes chofes que l'on a dites art. 12, no. 9, 10, 11, 12, 13,

& 14.

PROPOSITION XII.

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Theorême.

28. LES mêmes choses étant encore fuppofées, fi l'on mene Gq parallele à MV. Je dis que Fq x qS. q G' :: FS'.

VM'.

En nommant encore CM, ou CV, d; CS, ou CF; f; CO, ou qG, u; OG, ou Cq, f; Fq fera f-f; & qS, f+f.

Il faut prouver que ƒƒ —ss. uu :: 4ff. 4dd.

DE'MONSTRATION.

EN reprenant l'équation de la Propofition précédente dd - นน la multipliant par ff, transposant & divi

ddg

ƒ

ffuu
dd

—ss. uu:: ff. dd :: 4ff. 4dd. C. Q. F. D.

ffsant par dd, l'on en tirera ƒƒ—ss=—, qui donnera ff - S=

DEFINITION.

29. SI Si l'on fait f. d:: 2d. p, la ligne =p sera appelée le parametre du diametre FS.

P

COROLLAIRE I.

30. LA Proportion précédente donne pf = 2ḍd ;

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31.

P

dd

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ff

sa valeur, l'on aura ƒ— ss=

précedente pour

dd

P

d'où l'on tire ƒƒ —ss. uu :: 2f. p.

mettant donc dans l'équation

m

= 2ḍd; donc

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& l'on aura ff

ff

dd

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ou

2fuu

P

ทนน

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en

се

un autre raport égal,

n

qui donne ff-ff. uu :: m. n.

t

On ajoutera encore ici ce qu'on a dit art. 12. n°. 9, 10, 11, 12, 13 & 14.

COROLLAIRE III.

32. Il est clair ( no. 25. & 29.) que le rectangle de l'un des diametres conjuguez par fon parametre est égal au quarré de l'autre diametre.

PROPOSITION XIII.

Problême.

33. DEUX lignes quelconques FS & MV qui fe coupent par le milieu en C à angles obliques étant données de pofition &de grandeur pour deux diametres conjuguez d'une Ellipfe, déterminer la pofition & la grandeur des axes de la même Ellipfe.

Cette Propofition contient deux cas qu'on pourroit néanmoins réduire à un feul, comme on va voir dans le second: le premier eft dorfque les lignes FS & MV font égales: le fecond lorfqu'elles font inégales..

PREMIER CAS.

AYANT

34. ANT joint les points M, S & M, F, & ayant FIG. 65. divifé MS & MF par le milieu en P&Q, on menera les lignes CP, CQ indéfiniment prolongées de part & d'autre qui fe couperont à angles droits en C, puifque CS, CM, CF font égales, & que les points P&Q divifent par le milieu MS & MF.

Soit enfuite fait PI CP & QH-CQ, & du centre C par I, & par H décrit deux cercles qui couperont CP, & CQ aux points A, B, D & E. Je dis que l'Ellipfe dont AB & DE font les axes, paffera par les points M, F, V&S.

DE'MONSTRATION.

';

――――

AYANT nommé AC, ou CB, a; CD, ou CE,b; CP, ou PI, x, PM, ou CO, ou QH,y; l'on à par la propriété du cercle, & par la Conftruction, aa-xx (AP × PB) =xx (PI', où CP'), & bb — yy ( E Q × Q D ) =yy (QH2, ou CQ), d'où l'on tire x = Vaa, & y Vbb; c'eft pourquoi (no. 19. & 21.) les points S, M, V&F, font à l'Ellipse dont les axes font AB, & DE. C. Q. F. D.

SECOND CAS.

35. SOIT prolongée CM du côté de M, & foit faîte F16. 66. MK prife fur le prolongement, égale à la troifiéme proportionnelle à CM & CS; & ayant mené par M la droite HMT parallele à FS, du point O milieu de CK, on élévera la perpendiculaire OG qui rencontrera HMT en un point G; puifque (no. 13.) MT eft tangente à l'Ellipse dont MV & F S font deux diametres conjuguez; & que (n°. 10.) l'angle CMT eft obtus, & du centre G par C, l'on décrira un cercle qui paffera par K, & coupera MG aux points T & H par où, & par C, l'on menera TC, & HC indéfiniment prolongées au-delà de C par raport à T & à H : l'on menera enfuite MP & MQ paralleles à

=

CH & à CT ; & ayant pris CB moyenne proportionnelle entre CT & C P; CD, moyenne proportionnelle entre dis que CH & CQ, fait CA CB, & CE = CD Je l'Ellipfe dont AB & ED ( qui à cause du cercle fe coupent à angles droits) font les axes, paffera par les points M, F, V & S.

DE'MONSTRATION.

AYANT abaiffé du centre G sur CT la perpendiculaire GN, le point N divifera CT par le milieu en N; & partant NG CH, & ayant abbaiffé du point S fur la même CT la perpendiculaire SI, & nommé les données CB, ou CA, a; CD, óu CE, b; CM ou CV, d; CF, ou CS, f; & les indéterminées CP, ou QM, x; PM, ou CQ2y; & CI, z; l'on aura (Const.)

CP(x). CB (a) :: CB (a). CT=

CQ (y). CD (b) :: CD (b). CH

bb

car NT=CN, par construction. NG——,

2y

bb

―y, & les triangles femblables

y

CIS, MOH, TPM donneront CI (). CS (ƒ)· fx

::MQ(x). MH =—, & CI(z). CS (ƒ) :: TP

2

aa

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- x,& QH:

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bb

y

aaf

aaf
;
& partant GT =
;

2ZX

Zx

(GT')

44 &

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donc NT=

;

b+zzxx

a*yy

donc HM+MT, ou

aa

2.20

4XX

TP=

donc à caufe de

b+ + 4yy

(NT1+

Mais l'on a auffi

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