페이지 이미지
PDF
ePub
[ocr errors]

zy

s

Xy

[ocr errors]

MQ(x): QH (-y) :: CI (). IS=
donc à cause de l'angle droit CIS, f (CS*) = 23+

(CI' + IS?); donc 33+,

[merged small][ocr errors]

2bbzz

zzyy

b*zzxx

atyy

[ocr errors]

b* zz

zbbzz

zzyy

; XX

aayy, il vien

aayy

XX

[ocr errors]

cette équation délivrée de fractions xxyy donnera A. 6*x* a*b* - 2a*bbyy it a ye :

Pour abreger encore il faut diviser cette équation par *, qu'il faut égaler à 0, & l'on aura B. a*b*

2a*bbyy + a’y — b*x* =b.. Laquelle étant divisée par aabb + bbxx dra au quotient aabb- bbxx

aayy=0, qui se réduit à cette équation aa

qui est une équation à

bb une Ellipse dont les axes sont ( Prop. 1. ) AB=24, & DE 26, & qui prouve au moins que cette Ellipse passe par les points M, &V ; puisque (Hyp.) CM=CŤ. Or ( Const.) CM (d). C$ (f)::CS.(f).MK

aafför f mais par la proprieté du cercle

(HM x MT =CM * MK = Const. CS')=ff, d'où l'on tire 22=

x = . ) = = da —XX;

c'est pourquoi ( no. 18.) l'Ellipse passe aussi par les points S & F. C. Q. F.D. R E MARR U E.

19:11 Pour trouver le diviseur aabb aayy - bbxx,

tirez la racine quarrée de l'équation marquée ( A) vous aurez aabb

aayy = + bbxx, laquelle écant réduite à o , donnera aabb

=0, qui sera le diviseur cherché.

Si vous voulez une maniere plus générale pour trouver ce diviseur, ordonnez l'équation A en cette force,

[ocr errors]

aayy — bbxx

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

at

bbxx

[ocr errors]

bbxx=0,

C. a*y* — 2a*bbyy = 6*x* - a*b*.

Divisez-la par a*, & vous aurez D... y* 2bbyy =

61. - Ajoutez de part & d'autre le quarré 6* de la moitié bb du coefficient 2bb du second terme abbyy, & vous aurez

6*x* E. y* - 2bbyy + 6*

Tirez la racine quarréede parr & d'autre, & vous aurez F. yy - bb=+ Multipliez tour par aa, & vous aurez aayy aabb

bbxx. Faisant passer tout d'un côté, vous aurez les deux équations aayy aabb + bbxx=0, & aayy

dabb à cause qu'un quarré positif a toujours deux racines, l'une positive & l'autre négative. Enfin changeanc les signes de la premiere de ces deux dernieres équations, vous aurez aabb aayy - bbxx 0, qui est le diviseur cherché.

COR O L LA 1 À E. 36. SIMv= FS; CM sera=MK; car par la conftru. &tion MK a été faite égale à la troisième proportion. nelle , à CM & Cs. Donc si MV= FS, par conséquent CM=CS. Donc CM = MK; & partant les points o & G se confondront avec le point M, qui sera le centre du cercle qui étant décrit par c déterminera la position des axes par sa rencontre avec HT en H. & en T, qu'on déterminera comme on vient de faire. PROPOSITION XIV.

Problême. Une équation à l'Ellipse ab — xx= a étant donnée, décrire l'Ellipfe, lorsque les coordonnées font un angle oblique.

On déterminera la grandeur des diametres conjuguez

par la Prop. 6. on trouvera les axes par la Proposition précedente; on déterminera les foyers par la troisiême, & on décrira l’Ellipse par la premiere.

SECTION VIL l'on démontre les principales proprietez de l' Hyperbole décrite par des points trouvez

für un Plan,

PROPOSITION I.

Theorême.

U

le

XIV. N angle quelconque HCK, e un point quel- FIG. 67

conque D dans cet angle , étant donnez de position sur un Plan ; si l'on mene librement par le point D une ligne ID K qui rencontre CHO CK en Ideen K, e qu'on prenne sur ID K la partie KO=ID. Je dis que les points o&D, tous ceux que l'on trouvera comme on vient de faire le point 0, en menant d'autres lignes par point D, seront à une Hyperbole , dont CH & ČK font les asymptotes.

D E' MONSTRATION. Ayant mené par les points D & 0, les lignes DL, OG paralleles à CK, & ÔN, F paralleles à CH, & nommé les données DL, ou CN, ou (Const.) FK,(; car KN=OG, puisque le triangle KDN a ses côtez égaux aux côtez du triangle ogl, chacun à chacun. 10. Le côté KD=01; car ( par construction ) KO=DI. Donc ajoutant OD, on aura KD=01. 2o. L'angle adjacent NKD est égal à l'angle adjacent GOI, puisqu'ils font externe & interne du même côté. 3o. L'autre angle adjacent NDO est ausli égal à l'autre angle adjacent GIO

OF,

par la même raison. Donc le triangle NKD est égal au triangle G01. Donc leurs côtez lont égaux chacun à chacun. Donc KN=OG. Mais OG = FC, étant paralleles entre elles, & comprises entre les mêmes paralleles

GC, par construction. Donc KN = FG. Donc ôrant FN de part & d'autre, il reftera FK=CN=DL.

Reprenons. Ayant donc nommé DL, OU CN ou FK, ; DN, ou LC, d; & les indéterminées CF, ou GO,/;FO, ou CG ou NR;R; NF ou RO sera /-1,& DR, dai les triangles semblables DRO, OFK donneront d Z 일 (DR). S-C (RO) :: 4(OF). c (FK); donc cd = (2-67, ou cd=s. Et comme cette équation est la mê. me que celle qu'on a trouvée ( art. 9. no. 16.), il suit que la courbe décrite comme on vient de dire, est une Hyperbole. Et parceque f croissant, & diminue, ou au contraire , & qu'on peut augmenter / à l'infini , z diminuera aussi à l'infini ; c'est pourquoi les lignes CH, & CK sont les asymptotes, parcequ'elles ne peuvent jamais rencontrer l'Hyperbole. c. l. F. D.

L'équation cd=sz peut aussi se résoudre par le cercle. F16.68. Car faisant un cercle ABC, dont le rayon C A sera pris

à volonté, si on mene la corde AB , dont AD=& DB=d, & que par le point D qui sépare les deux lignes données, on tire à volonté une autre corde EG , la ligne ED sera égale à 2, & DG égalera S. Mais comme on peut prendre le rayon du cercle aussi grand que l'on voudra , 'il est manifeste que a & s augmenteront à l'infini.

COROLLAIKE I. Fig. 67. 1. Il est clair que tous les rectangles semblables à CF x

FO sont égaux entr'eux, puisqu'ils font toujours égaux au
même rectangle CL * ID; & que l'on a toujours (z
cd.

COROLLAIRE I I.
Si l'on prend fur l'Hyperbole un point quelconque
B, & que l'on mene par B une ligne quelconque TBVS

qui

qui rencontre l’Hyperbole en un autre point V , & les
asymptotes en T &'en S, TB sera toujours égale à V's:
car ayant mené BX & VQ, paralleles aux alymprotes ,
l'on aura ( Corol. 1.) CX X XB= ce* eV, ou ( en
nommant cx,d; XB, C; Chili QV, 2;)=cd,
ou (2-02=

cd cz, qui étant changée en analogie,
donne d -21-6:: zic d'où il suit par la Démon.
stration de cette Proposition que XB=OS; donc TB
=VS.

COROLLA IR E I I I.
3.
Il est clair

que les parallelogrammes CD,CB,CO,
CV sont égaux entr'eux.

CORO L L AIR E IV.
4. Si l'on avoit nommé NF, ou RO,S, l'on auroit eu.
f2=cd-ck, qui montre que lorsqu'une équation à
l'Hyperbole renferme plus de deux termes, les indéter-
minées n'ont point leur origine au sommet de l'angle des
asymptotes.

COROLİL AIRE V.
s L est évident que lorsqu'on décrit une Hyperbole
par un point fixe, comme D, les points que l'on
trouve en faisant KO = DI peuvent servir à en trouver
d'autres comme B, dB à en trouver d'autres comme
V , &c.
PROPOSITION II.

Theorême.
6. EN supposant les mêmes choses que dans la premiere F 16.67;
Proposition, si l'on mene par le sommet C de l'angle des
asymptotes une ligne quelconque C'M qui rencontre o G &
DL, prolongées ou non prolongées en P & en M. Je dis que
le rectangle CM CN, ou CM ~ LD est égal au rectangle
CP CF, on CP x GO.

s. Il

[ocr errors]

d

« 이전계속 »