bb

MQ(x)· QH ( + − y) :: C1 ( 3 ) . IS =

y.

donc à cause de l'angle droit CIS, ff (CS')

b*zzxx

= ༢༢.

a*yy..

; cette équation délivrée de fractions

a*b* 2abbyy + ay

Pour abreger encore il faut divifer cette équation par , qu'il faut égaler à o, & l'on aura

za'bbyya'y b*x* = b.

Laquelle étant divisée par aabb+bbxx-aayy, il vien dra au quotient aabb bbxx

DE: =

une Ellipfe dont les axes font (Prop. 1.) AB=2a, & 26, & qui prouve au moins que cette Ellipse passe par les points M, & V; puifque (Hyp.) CM CV. Or (Conft.) CM (d). CS (f) :: CS (ƒ). MK ⇒

=CM × MK = Const. CS') =ff, d'où l'on tire z= aa-xx, c'est pourquoi ( no. 18.) l'Ellipse paffe auffi par les points S & F. C. Q. F. D.

bbxx, tirez la racine quarrée de l'équation marquée (A) vous aurez aayy = ±bbxx, +bbxx, laquelle étant réduite à o, =o, qui fera le diviseur

Si vous voulez une maniere plus générale pour trouver ce diviseur, ordonnez l'équation A en cette forte,

-Ajoutez de part & d'autre le quarré 6 de la moitié bb du coefficient 266 du fecond terme 2bbyy, & vous aurez

Tirez la racine quarrée de part & d'autre, & vous aurez

aa

Multipliez tout par aa, & vous aurez aayy aabb =+bbxx. Faisant paffer tout d'un côté, vous aurez les deux équations aayyaabb + bbxx aabb + bbxx=0, & aayy

aabb

Xbbxx =o, à cause qu'un quarré pofitif a toujours deux racines, l'une pofitive & l'autre négative. Enfin changeant les fignes de la premiere de ces deux dernieres équations, vous aurez aabb aayy bbxxo, qui eft le divifeur

cherché.

COROLLAIRE.

=

36. SI MV — FS, CM fera=MK; car par la conftruction MK a été faite égale à la troifiême proportion nelle, à CM & CS. Donc fi MV FS, par conféquent CM-CS. Donc CM MK; & partant les points O & G fe confondront avec le point M, qui fera le centre du cercle qui étant décrit par C déterminera la position des axes par fa rencontre avec HT en H & en T, qu'on déterminera comme on vient de faire.

PROPOSITION XIV.

Problême.

XX=

UNE équation à l'Ellipse ab -xx étant donnée, décrire Ellipfe, lorsque les coordonnées font un angle oblique. On déterminera la grandeur des diametres conjuguez..

par la Prop. 6, on trouvera les axes par la Propofition précedente; on déterminera les foyers par la troifiême, & on décrira l'Ellipfe par la premiere.

Où l'on démontre les principales proprietez de l'Hyperbole décrite par des points trouvez fur un Plan.

XIV.

PROPOSITION I.

UN

Theorême.

N angle quelconque HCK, & un point quel FIG. 67, conque D dans cet angle, étant donnez de pofition fur un Plan; fi l'on mene librement par le point D une ligne IDK qui rencontre CH, & CK en I& en K, & qu'on prenne fur IDK la partie KO=ID. Je dis que les points O&D, & tous ceux que l'on trouvera comme on vient de faire le point O, en menant d'autres lignes par le point D, feront à une Hyperbole, dont CH & CK font les afymptotes.

=

DEMONSTRATIO N.

AYANT mené par les points D & O, les lignes DZ, OG paralleles à CK, & DN, OF paralleles à CH, & nommé les données DL, ou CN, ou (Conft.) FK, c; car KN OG, puifque le triangle KDN a fes côtez égaux aux côtez du triangle OGI, chacun à chacun. 10. Le côté KD-01; car (par construction) KO=DI. Donc ajoutant OD, on aura KD=OI. 2°. L'angle adjacent NKD eft égal à l'angle adjacent GOI, puifqu'ils font externe & interne du même côté. 3°. L'autre angle adjacent NDO eft auffi égal à l'autre angle adjacent GIO

=

par la même raifon. Donc le triangle NKD eft égal au
triangle GOI. Donc leurs côtez font égaux chacun à
chacun. Donc KN OG. Mais OG FC, étant paral
leles entre-elles, & comprises entre les mêmes paralleles
OF, GC, par conftruction. Donc KN FG. Donc
ôtant FN de part & d'autre, il reftera FK-CN=DL.
Reprenons. Ayant donc nommé DL, ou CN ou FK, c;
DN, ou LC, d; & les indéterminées CF, ou GO, ; FO,
ou CG ou NR, ; NF ou RO fera f-c, & DR, d—z;
d.
༢;
les triangles femblables DRO, OFK donneront d — z ༢.
(DR).—c (RO) :: z(OF). c (FK); donc cd-cz =
༢=
Szcz, ou cd=f. Et comme cette équation eft la mê-
me que celle qu'on a trouvée (art. 9. no. 16.), il fuit
que
la courbe décrite comme on vient de dire, est une Hy-
perbole. Et parceque fcroiffant, diminue, ou au con-
traire, & qu'on peut augmenterƒà l'infini, z ༢. diminue-
ra auffi à l'infini; c'eft pourquoi les lignes CH, & CK
font les afymptotes, parcequ'elles ne peuvent jamais ren-
contrer l'Hyperbole. C. Q. F. D.

༨

L'équation cd=fz peut auffi se réfoudre par le cercle. FIG. 68. Car faifant un cercle ABC, dont le rayon CA fera pris à volonté, fi on mene la corde AB, dont AD = c & DB=d, & que par le point D qui fépare les deux lignes données, on tire à volonté une autre corde EG, la ligne ED fera égale à z, & DG égalera f. Mais comme on peut prendre le rayon du cercle auffi grand que l'on voudra, il est manifeste que & augmenteront à l'infini.

FIG. 67. I.

COROLLAIRE I.

IL eft clair que tous les rectangles femblables à CF × FO font égaux entr'eux, puifqu'ils font toujours égaux au même rectangle CL x LD; & que l'on a toujours sz cd.

2.

SI l'on prend fur l'Hyperbole un point quelconque B, & que l'on mene par B une ligne quelconque TBVS

=

qui rencontre l'Hyperbole en un autre point, & les
afymptotes en 7 & en S, TB fera toujours égale à v ́S:
car ayant mené BX & VQ, paralleles aux afymptotes,
l'on aura (Corol. 1.) CX x XB CQxQV, ou (en
nommant CX, d; XB, c; CQ, S ; QV, 2 ; ) √2 = cd,
ou sz— cz= cd cz, qui étant changée en analogie,
z. f — c :: z. c d'où il fuit par la Démon-
/—
stration de cette Propofition que XB=QS; donc TB

donne d

=VS.

3.

COROLLAIRE III.

IL eft clair que les parallelogrammes CD, CB, CO; CV font égaux entr'eux.

4.

COROLLAIRE IV.

SI l'on avoit nommé NF, ou RO,, l'on auroit eu fz = cd - cz, qui montre que lorfqu'une équation à l'Hyperbole renferme plus de deux termes, les indéterminées n'ont point leur origine au fommet de l'angle des afymptotes.

COROLLLAIRE

V.

5.IL eft évident que lorsqu'on décrit une Hyperbole par un point fixe, comme D, les points O que l'on trouve en faisant KO = DI peuvent fervir à en trouver d'autres comme B, &B à en trouver d'autres comme V, &c.

PROPOSITION II.

Theorême.

6. EN fuppofant les mêmes chofes que dans la premiere F10.677 Propofition, fi l'on mene par le fommet C de l'angle des afymptotes une ligne quelconque CM qui rencontre ỔG & DL, prolongées ou non prolongées en Pen M. Je dis que le rectangle CM × CN, ou CM × LD eft égal au rectangle CP x CF, ou CP x GO.