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MQ(x)· QH

donc à cause de l'angle droit CIS, ff (CS2 ) = 33 +

b*zzxx

zbbzz

(CI + IS1) ; donċ zz+
༢༢ ས

+

b+zz 2bbzz

xxyy donnera

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zzyy

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bb

bbz

(# — y ) :: C1 (3), 15 ====

CI

IS

y.

xy

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A. b*x* = a*b*.

2abbyy + ay".

103 i!

Pour abreger encore il faut divifer cette équation par , qu'il faut égaler à o, & l'on aura B. a*b* — za‘bbyy + a*y* — b*x* — 0. Laquelle étant divifée par aabb+bbxx-aayy, il viendra au quotient aabb-bbxx aayyo, qui fe réduit

à cette équation aa — xx =

qui eft une équation à

une Ellipfe dont les axes font (Prop. 1. ) AB = 2a, & DE: = 2b, & qui prouve au moins que cette Ellipfe paffe par les points M, & V; puifque (Hyp.) Cм=CV. Or (Const.) CM (d). CS (f) :: CS (ƒ). MK = " aaffix ffxx par la proprieté du cercle (HMx MT

ff

mais

ZZX

atyy 1119

; cette équation délivrée de fractions

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i

aayy

bb

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22

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X

b'zz

C

CM x MK = Const. CS')=ff, d'où l'on tire zg= aa-xx; c'est pourquoi ( n°. 18.) l'Ellipfe paffe auffi par les points S. & F. C. Q. F. D.

་་

REMARQUE.

T 6218

bbxx, tirez

POUR trouver le diviseur aabb aayy - bbxx, la racine quarrée de l'équation marquée (A) vous aurez aabb = aayy +bbxx, laquelle étant réduite à o, donnera aabb bbxxo, qui fera le diviseur cherché.

aayy

Si vous voulez une maniere plus générale pour trouver ce divifeur, ordonnez l'équation A en cette forte,

ayy

༢༢.ཡ

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C. a'y zabbyy — b*x* — a*b*.

4

Divifez-la par a*, & vous aurez

b+20+

D.. y2bbyy=

b*.

-Ajoutez de part & d'autre le quarré ¿ de la moitié bb du coefficient 266 du fecond terme 2bbyy, & vous aurez

b+20+

E. y* — 2bbyy + b*

Tirez la racine quarrée de part & d'autre, & vous aurez F. yy •bb = +

bbxx

44

aabb Multipliez tout par aa, & vous aurez aayy =+bbxx. Faifant paffer tout d'un côté, vous aurez les deux équations aayyaabb + bbxx=0, & aayy― aabb bbxx o, à caufe qu'un quarré pofitif a toujours deux racines, l'une pofitive & l'autre négative. Enfin changeant les fignes de la premiere de ces deux dernieres équations, vous aurez aabb aayy bbxx — o, qui eft le diviseur

=

cherché.

COROLLAIRE.

=

36. SI MV=FS, CM fera-MK; car par la conftruction MK a été faite égale à la troifiême proportion nelle, à CM & CS. Donc fi MV FS, par conféquent CM-CS. Donc CM=MK; & partant les points O & G fe confondront avec le point M, qui fera le centre du cercle qui étant décrit par C déterminera la position des axes par fa rencontre avec HT en H & en T, qu'on déterminera comme on vient de faire.

}

PROPOSITION XIV.
Problême.

XX =

UNE équation à l'Ellipse ab étant donnée, décrire l'Ellipfe, lorsque les coordonnées font un angle oblique.

On déterminera la grandeur des diametres conjuguez

=

par la Prop. 6, on trouvera les axes par la Propofition précedente; on déterminera les foyers par la troifiême, & on décrira l'Ellipfe par la premiere.

SECTION

VIL

Où l'on démontre les principales proprietez de l'Hyperbole décrite par des points trouvez fur un Plan.

PROPOSITION I

Theorême.

XIV.

UN

N angle quelconque HCK, & un point quel FIG. 67: conque D dans cet angle, étant donnez de pofition fur un Plan; fi l'on mene librement par le point. D une ligne IDK qui rencontre CH, & CK en I& en K, &qu'on prenne fur IDK la partie KO=ID. Je dis que les points O&D, & tous ceux que l'on trouvera comme on vient de faire le point O, en menant d'autres lignes par le point D, feront à une Hyperbole, dont CH & ČK font les afymptotes.

DEMONSTRATION.

AYANT mené par les points D & O, les lignes DZ, OG paralleles à CK, & DN, OF paralleles à CH, & nommé les données DL, ou CN, ou (Conft.) FK, c; car K NOG, puifque le triangle KDN a fes côtez égaux aux côtez du triangle OGI, chacun à chacun. 10. Le côté KD=01; car (par construction) KO=DI. Donc ajoutant OD, on aura KD=01. 2°. L'angle adjacent NKD eft égal à l'angle adjacent GOI, puifqu'ils font externe & interne du même côté. 3°. L'autre angle adjacent NDO eft auffi égal à l'autre angle adjacent GIO

=

=

par la même raison. Donc le triangle NKD est égal au triangle GOI. Donc leurs côtez font égaux chacun à chacun. Donc KN OG. Mais OG FC, étant paralleles entre-elles, & comprises entre les mêmes paralleles OF, GC, par conftruction. Donc KN=FG. Donc ôtant FN de part & d'autre, il reftera FK CN=DL.

1

Reprenons. Ayant donc nommé DL, ou CN où FK, c; DN, ou LC, d; & les indéterminées CF, ou GO,f; FO, ou CG óu NR, z; NF ou RO fera f-c, & DR, d-z; les triangles femblables DRO, OFK donneront d — z ༢. (DR).—c (RO) :: z(OF), c (FK); donc cd- cz = Szcz, ou cd=f. Et comme cette équation eft la même que celle qu'on a trouvée (art. 9. no. 16.), il fuit que la courbe décrite comme on vient de dire, cft une Hyperbole. Et parceque fcroiffant, diminue, ou au contraire, & qu'on peut augmenter à l'infini, diminue༢. ra aussi à l'infini; c'eft pourquoi les lignes CH, & CK font les afymptotes, parcequ'elles ne peuvent jamais rencontrer l'Hyperbole. C. Q. F. D.

= = c &

L'équation cd=fz peut auffi se réfoudre par le cercle. FIG. 68. Car faifant un cercle ABC, dont le rayon CA fera pris à volonté, fi on mene la corde AB, dont AD DB=d, & que par le point D qui fépare les deux lignes données, on tire à volonté une autre corde EG, la ligne ED fera égale à z, & DG égalera f. Mais comme on peut prendre le rayon du cercle auffi grand que l'on voudra, il eft manifefte que & augmenteront à l'infini.

COROLLAIRE I.

FIG. 67. I. IL eft clair que tous les rectangles femblables à CF × FO font égaux entr'eux, puifqu'ils font toujours égaux au même rectangle CL x LD; & que l'on a toujours sz

cd.

COROLLAIRE

I I.

2. SI l'on prend fur l'Hyperbole un point quelconque B, & que l'on mene par Bune ligne quelconque TBVS

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qui rencontre l'Hyperbole en un autre point, & les
afymptotes en T & en S, TB fera toujours égale à VS :
car ayant mené BX & VQ, paralleles aux afymptotes,
l'on aura (Corol. 1.) CX x XB = CQ × QV, ou ( en
nommant CX, d; XB, c; C Q, S ; QV, 2 ; ) s1⁄2 = cd,
ou sz— cz = cd cz, qui étant changée en analogie,
donne d — 2./ — c :: 2. c d'où il fuit par la Démon-
stration de cette Propofition que XB = QS; donc TB
=VS.

z.

COROLLAIRE III.

3. IL eft clair que les parallelogrammes CD, CB, CO,
CV font égaux entr'eux.

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COROLLAIRE IV.

4.SI l'on avoit nommé NF, ou RO,, l'on auroit eu
fz = cd — cz, qui montre que lorfqu'une équation à
l'Hyperbole renferme plus de deux termes, les indéter-
minées n'ont point leur origine au fommet de l'angle des
afymptotes.

COROLLLAIRE

V.

5.IL

Left évident que lorsqu'on décrit une Hyperbole par un point fixe, comme D, les points O que l'on trouve en faisant KO DI peuvent fervir à en trouver d'autres comme B, &B à en trouver d'autres comme V, &c.

PROPOSITION II.

Theorême.

6. EN fuppofant les mêmes chofes que dans la premiere F16.67.
Propofition, fi l'on mene par le fommet C de l'angle des
afymptotes une ligne quelconque CM qui rencontre OG &
DL, prolongées ou non prolongées en P& en M. Je dis
le rectangle CM x CN, ou CM x LD eft égal au rectangle
CP x CF, ou CP x GO.

que

a

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