MQ(x)· QH donc à cause de l'angle droit CIS, ff (CS2 ) = 33 + b*zzxx zbbzz (CI + IS1) ; donċ zz+ + b+zz 2bbzz xxyy donnera zzyy bb bbz (# — y ) :: C1 (3), 15 ==== CI IS y. xy A. b*x* = a*b*. 2abbyy + ay". 103 i! Pour abreger encore il faut divifer cette équation par , qu'il faut égaler à o, & l'on aura B. a*b* — za‘bbyy + a*y* — b*x* — 0. Laquelle étant divifée par aabb+bbxx-aayy, il viendra au quotient aabb-bbxx aayyo, qui fe réduit à cette équation aa — xx = qui eft une équation à une Ellipfe dont les axes font (Prop. 1. ) AB = 2a, & DE: = 2b, & qui prouve au moins que cette Ellipfe paffe par les points M, & V; puifque (Hyp.) Cм=CV. Or (Const.) CM (d). CS (f) :: CS (ƒ). MK = " aaffix ffxx par la proprieté du cercle (HMx MT ff mais ZZX atyy 1119 ; cette équation délivrée de fractions i aayy bb 22 X b'zz C CM x MK = Const. CS')=ff, d'où l'on tire zg= aa-xx; c'est pourquoi ( n°. 18.) l'Ellipfe paffe auffi par les points S. & F. C. Q. F. D. ་་ REMARQUE. T 6218 bbxx, tirez POUR trouver le diviseur aabb aayy - bbxx, la racine quarrée de l'équation marquée (A) vous aurez aabb = aayy +bbxx, laquelle étant réduite à o, donnera aabb bbxxo, qui fera le diviseur cherché. aayy Si vous voulez une maniere plus générale pour trouver ce divifeur, ordonnez l'équation A en cette forte, ayy ༢༢.ཡ C. a'y zabbyy — b*x* — a*b*. 4 Divifez-la par a*, & vous aurez b+20+ D.. y2bbyy= b*. -Ajoutez de part & d'autre le quarré ¿ de la moitié bb du coefficient 266 du fecond terme 2bbyy, & vous aurez b+20+ E. y* — 2bbyy + b* Tirez la racine quarrée de part & d'autre, & vous aurez F. yy •bb = + bbxx 44 aabb Multipliez tout par aa, & vous aurez aayy =+bbxx. Faifant paffer tout d'un côté, vous aurez les deux équations aayyaabb + bbxx=0, & aayy― aabb bbxx o, à caufe qu'un quarré pofitif a toujours deux racines, l'une pofitive & l'autre négative. Enfin changeant les fignes de la premiere de ces deux dernieres équations, vous aurez aabb aayy bbxx — o, qui eft le diviseur = cherché. COROLLAIRE. • = 36. SI MV=FS, CM fera-MK; car par la conftruction MK a été faite égale à la troifiême proportion nelle, à CM & CS. Donc fi MV FS, par conféquent CM-CS. Donc CM=MK; & partant les points O & G fe confondront avec le point M, qui fera le centre du cercle qui étant décrit par C déterminera la position des axes par fa rencontre avec HT en H & en T, qu'on déterminera comme on vient de faire. } PROPOSITION XIV. XX = UNE équation à l'Ellipse ab étant donnée, décrire l'Ellipfe, lorsque les coordonnées font un angle oblique. On déterminera la grandeur des diametres conjuguez = par la Prop. 6, on trouvera les axes par la Propofition précedente; on déterminera les foyers par la troifiême, & on décrira l'Ellipfe par la premiere. SECTION VIL Où l'on démontre les principales proprietez de l'Hyperbole décrite par des points trouvez fur un Plan. PROPOSITION I Theorême. XIV. UN N angle quelconque HCK, & un point quel FIG. 67: conque D dans cet angle, étant donnez de pofition fur un Plan; fi l'on mene librement par le point. D une ligne IDK qui rencontre CH, & CK en I& en K, &qu'on prenne fur IDK la partie KO=ID. Je dis que les points O&D, & tous ceux que l'on trouvera comme on vient de faire le point O, en menant d'autres lignes par le point D, feront à une Hyperbole, dont CH & ČK font les afymptotes. DEMONSTRATION. AYANT mené par les points D & O, les lignes DZ, OG paralleles à CK, & DN, OF paralleles à CH, & nommé les données DL, ou CN, ou (Conft.) FK, c; car K NOG, puifque le triangle KDN a fes côtez égaux aux côtez du triangle OGI, chacun à chacun. 10. Le côté KD=01; car (par construction) KO=DI. Donc ajoutant OD, on aura KD=01. 2°. L'angle adjacent NKD eft égal à l'angle adjacent GOI, puifqu'ils font externe & interne du même côté. 3°. L'autre angle adjacent NDO eft auffi égal à l'autre angle adjacent GIO = = par la même raison. Donc le triangle NKD est égal au triangle GOI. Donc leurs côtez font égaux chacun à chacun. Donc KN OG. Mais OG FC, étant paralleles entre-elles, & comprises entre les mêmes paralleles OF, GC, par conftruction. Donc KN=FG. Donc ôtant FN de part & d'autre, il reftera FK CN=DL. 1 Reprenons. Ayant donc nommé DL, ou CN où FK, c; DN, ou LC, d; & les indéterminées CF, ou GO,f; FO, ou CG óu NR, z; NF ou RO fera f-c, & DR, d-z; les triangles femblables DRO, OFK donneront d — z ༢. (DR).—c (RO) :: z(OF), c (FK); donc cd- cz = Szcz, ou cd=f. Et comme cette équation eft la même que celle qu'on a trouvée (art. 9. no. 16.), il fuit que la courbe décrite comme on vient de dire, cft une Hyperbole. Et parceque fcroiffant, diminue, ou au contraire, & qu'on peut augmenter à l'infini, diminue༢. ra aussi à l'infini; c'eft pourquoi les lignes CH, & CK font les afymptotes, parcequ'elles ne peuvent jamais rencontrer l'Hyperbole. C. Q. F. D. ༢ = = c & L'équation cd=fz peut auffi se réfoudre par le cercle. FIG. 68. Car faifant un cercle ABC, dont le rayon CA fera pris à volonté, fi on mene la corde AB, dont AD DB=d, & que par le point D qui fépare les deux lignes données, on tire à volonté une autre corde EG, la ligne ED fera égale à z, & DG égalera f. Mais comme on peut prendre le rayon du cercle auffi grand que l'on voudra, il eft manifefte que & augmenteront à l'infini. COROLLAIRE I. FIG. 67. I. IL eft clair que tous les rectangles femblables à CF × FO font égaux entr'eux, puifqu'ils font toujours égaux au même rectangle CL x LD; & que l'on a toujours sz cd. COROLLAIRE I I. 2. SI l'on prend fur l'Hyperbole un point quelconque B, & que l'on mene par Bune ligne quelconque TBVS qui rencontre l'Hyperbole en un autre point, & les z. COROLLAIRE III. 3. IL eft clair que les parallelogrammes CD, CB, CO, COROLLAIRE IV. 4.SI l'on avoit nommé NF, ou RO,, l'on auroit eu COROLLLAIRE V. 5.IL Left évident que lorsqu'on décrit une Hyperbole par un point fixe, comme D, les points O que l'on trouve en faisant KO DI peuvent fervir à en trouver d'autres comme B, &B à en trouver d'autres comme V, &c. PROPOSITION II. Theorême. 6. EN fuppofant les mêmes chofes que dans la premiere F16.67. que a |