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dans l'équa

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Ayant nommé les données CL, d; CN, C; CM, a, & les indéterminées CF, ou GO,/; CG,ou F0,2; CP, u. Il faut prouver que ac =

D E M O N S T R A TI O N. A Cause des triangles semblables CLM, CGP, l'on a CL. CA :: CG. CP, ou en termes algebriques d. a :: 2. u ; donc du = az: mais ( Prop. 1.)(=d, d'où l'on tire =*; mettant donc cette valeur de tion précédente , l'on aura su=ac. C. Q. F. D. · On peut encore démontrer cette Proposition en cette sorte. À cause des paralleles DM,OP, l'on a CL. CG:: CM.CP; c'est pourquoi en mettant dans l'équation de la Proposition précédente (z=cd, en la place de d ( CL) & de 2 (CG) leurs proportionnelles a (CM) & #(CP), l'on aura su = ac. PROPOSITION III.

Problême. UNE Hyperbole MBm, dont les asymptotes font CT, & CH, étant donnée , il faut d'un point quelconque B , donné sur l’Hyperbole , mener une tangente HBT.

Ayant mené par B les droites B G & B / paralleles aux asymptotes, soit prise IT =CI. Je dis que la ligne TBH menée du point 7 par B touchera l'Hyperbole en B, & ne la rencontrera en aucun autre point.

DEMONSTRATION. PAR R l’Hypothese TBH rencontre l’Hyperbole en B ; & parceque CI=IT, TB sera aussi = BH; d'où il suit que BT H ne rencontre l'Hyperbole qu'en un seul point B: car si elle la rencontroit en un autre point 0; HO ( no. 1.) =BT seroit= BH.ce qui est imposible. C'est pourquoi TBH touche l'Hyperbole en B. c. Q. F. D.

Fig. 69.7;

I.

COROLLAIRE 8. Il est clair que toutes les tangentes, comme TBH terminées

par les asymptotes en T & H, sont divisées en deux également par le point touchant B.

COROLL AIRE II.. 9. Il suit aussi que si la position de la tangente TBH, est celle que la ligne menée de l'angle C des asymptotes au point touchant B, divise cet angle en deux également, les angles CBH, CBT seront droits, & au contraire : car puisque les angles BCG, BCI sont égaux, le parallelogramme GI sera un rhombe ; & partant CI=CG; donc CT (no. 6.) double de CI = CH double de CG; c'est pourquoi les angles CBH, CBT sont droits.

CO'ROLL AIRE III. 10. IL suit excore que si l'angle des afymptotes HCT est droit dans toutes les Positions de la tangente TBH, la ligne CB menée de l'angle des asymptotes au point tou. chant B sera= BH=BT ; fi cet angle est aigu, CB surpassera BH, ou BT ; s'il est obtus CB sera moindre que BH, ou BT : car si du centre B milieu de HT l'on décrit un demi cercle sur le diametre HT , le point C sera sur la circonférence si l'angle HCT est droit ; hors du demi cercle, s'il est aigu ; & dans le demi cercle , s'il est obtus; donc au premier cas CB=BH ou BT ; au second, CB , surpasse BH, ou BT ; & au troisiéme , elle est moindre.

COROLLA IR E IV. 1. Il est encore manifeste que les lignes I K , Mm paralleles à la tangente HBT sont coupées par le milieu en P

par la droite C B prolongée, car puisque BH = BT, P L fera = PK: mais (no. 2.) ML=mK; donc PME Pm.

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PROPOSITION IV.

Problême.
12. Une équation à l'Hyperbole xy = aa étant donnée,
décrire l'Hyperbole

.
On voit par l'équation, qui n'a que

deux termes, que l'origine des indéterminées x, & y est au sommet de l'angle des asymptotes.

Soit c l'origine des indéterminées x, qui va vers T; &y qui va vers H, & ayant pris CI & CG chacune =a, on achevera le parallelogramme CGBI: & l'on décrira ( Prop. 1, ) l'Hyperbole MBM, entre les asymptotes CT, & CH.

DE'MONSTRATION.
Elle est évidente par la premiere Proposition.
PROPOSITION V.

Theorême.
F16. 69.13. SOIT une Hyperbole MBm dont CH & CT sont les

asymptotes ; soit aulli par un point quelconque B , menée (no. 7.) une tangente HBT, & du point C par le point touchant B la ligne CBP. Si par quelque point P , l'on mene PM parallele à HT, qui rencontre l'Hyperbole aux points Mem, & les asymptotes en L & K. Je dis que CPCB'. PM::: CB:. BH', ou ce qui revient au meme , ayant prolongė B C en A, & fait CA=CB, que A PR PB, PM;: AB'. TH”,

Ayant mené BI, BG, mQ &mN paralleles aux asymprotes, & nommé les données AC, ou CB, a; BH, ou BT ,b; CI, ou GB, C; CG, OU IB, d; & les indétermi. nées CP, ; PM, ou Pm, y; CQ, ou Nm,S; CN ou em , &; AP sera x+#, & BP,

xa. Il faut prouver que xx — aa.

yy :: aa . bb :: 4aa. 4bb.

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bbcdxx

- cdyy: mais

ad

bbxx

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DEMONSTRATION. LEs triangles semblables CBT, CPK donnent CB (a). BT (6) :: CP (x). PK= bant; donc mK = be 별 mL =

+ y; & à cause des triangles semblables TBI, KmQ, & BHG, MLN, l'on a b(TB).d (BI) :: 6-y (Km). 2 (mQ), & b (BH)..(BG) :: by + y (mL). S (MN), d'où l'on tire ces deux équations bz = bdt dy, &bs= be + cy, & en multipliant le premier membre de l'une par le premier de l'autre, & le second par le second, l'on a bbs<= par la premiere Proposition fx=cd; donc bb yy, en divisant par les quantitez égales [, & cd; d'où l'on cire xx

donc ** - aa.yy :: aa. bb :: 4aa, 4.66. C. Q. F. D,

COROLLA I A E 14. Il est évident (Art. 9. no. 7, 11 & 12), & par cette équation xx — aa = , qui est la même que celle du même Article no. 11, que le point C, est le centre de l'Hyperbole MBM, que A B est l'axe; si l'angle CBH F16.70;' eft droit ; autrement A B est nommée diametre déterminé; que D E parallele & égale à HT est l'axe, ou le diametre conjugué à AB, que MP & MF sont les ordonnées ou appliquées aux diametres conjuguez A B & DE. De sorte que FP est le parallelogramme des coordonnées,

dayy da =

i bb

I.

авуу

bb

aayy donne

bb

COROLL AIRE I I. F16.70. IS. L'ÉQUATION precedente xx — aa =

= + i vbb + yy, qui fait voir que si l'on prolonge M F en N; en sorte que FN=FM , le point N lera à l'Hyperbole ; & si l'on fait y -0, la ligne MN se confondrà avec la ligne AB, le point F avec le point C, & l'on aura x=+a, d'où il suit que le point M se confond avec le point B, & le point N avec A ; de sorte que CA=CB, & que le point A sera à l'Hyperbole.

Si dans la même équation on fait x=0, ayant mené NQ parallele à DE, ou à PM , les points P & Q se confondront avec le point C, & l'on aura y=+vbb. Or parceque les valeurs de y sont imaginaires ; il suit que l'Hyperbole ne rencontre point le diametre DE, ni de côté ni d'autre du point C. Et parceque l'on tire aussi de la même équation y=+Vxx – - aa ; il suit que l'Hyperbole rencontre les paralleles MPM, Non des deux côtez de AB, tant que x ( CP , ou CQ) surpasse a ( CB ou CA); qu'elle coupe AB en B & À, lorsque CP= CB, ou x= a: car xx — aa devient au aa=0;& par conséquent y=+Vxx aa=0; & que lorsque les points P & Q tombent entre A & B , c'est-à dire, lorf. que a surpasse x, l'Hyperbole ne rencontre point les paralleles à De menées entre A & B : car la quantité xx — aa devient negative , & par conséquent les valeurs de

+ V xx - aa deviennent imaginaires. Enfin l'équation xx — aa= fait voir que x (CP, ou CQ) croissant, y(PM, ou ON ) croît aussi ; c'est pourquoi l'Hyperbole s'éloigne de plus en plus à l'infini du diametre AB prolongé de part & d'autre à l'infini : car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini, d'où l'on voit que l'Hyperbole a deux parties MBM

у

aayy bb

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