{ Ayant nommé les données CL, d; CN, c; CM, a, & les indéterminées CF, ou GO,f; CG, ou FO, z; CP, u. Il faut prouver que ac = us. DEMONSTRATION. donc du A Caufe des triangles semblables CL M, CGP l'on a CL. CM :: CG. CP, ou en termes algebriques d. a:: =az: mais ( Prop. 1. ) sz = cd, d'où l'on tire = 4; mettant donc cette valeur de ༢. dans l'équation précédente, l'on aura fu= ac. C. Q. F. D. ༢. ༧; On peut encore démontrer cette Propofition en cette forte. A cause des paralleles DM, OP, l'on a CL. CG:: CM. CP; c'eft pourquoi en mettant dans l'équation de la Propofition précédente = cd, en la place de d (CL) & dez (CG) leurs proportionnelles a ( CM ) & u (CP), l'on aura fuac. PROPOSITION III. Problême. FIG. 69.7. UNE Hyperbole MBm, dont les afymptotes font CT, &CH, étant donnée, il faut d'un point quelconque B, donné fur l'Hyperbole, mener une tangente HBT. Ayant mené par B les droites BG & BI paralleles aux afymptotes, foit prife ITCI. Je dis que la ligne TBH menée du point 7 par B touchera l'Hyperbole en B, & ne la rencontrera en aucun autre point, T DE'MONSTRATION. PAR 8. IL eft clair que toutes les tangentes, comme TBH terminées par les afymptotes en T & H, font divifées en deux également par le point touchant B. 9. COROLLAIRE II.. que . IL fuit auffi fi la position de la tangente TBH, eft telle que la ligne menée de l'angle C des afymptotes au point touchant B, divife cet angle en deux également, les angles CBH, CBT feront droits, & au contraire : car puifque les angles BCG, BCI font égaux, le parallelogramme GI fera un rhombe; & partant CI=CG; donc CT (no. 6.) double de CI = CH double de CG; c'est pourquoi les angles CBH, CBT font droits. COROLLAIRE = III. 10.IL fuit encore que fi l'angle des asymptotes HCT est droit dans toutes les Pofitions de la tangente TBH, la ligne CB menée de l'angle des afymptotes au point touchant B fera BH-BT; fi cet angle eft aigu, CB furpaffera BH, ou BT; s'il eft obtus CB fera moindre que BH, ou BT: car fi du centre B milieu de HT l'on décrit un demi cercle fur le diametre HT, le point C fera fur la circonférence fi l'angle HCT eft droit, hors du demi cercle, s'il eft aigu; & dans le demi cercle, s'il eft obtus; donc au premier cas CB=BH ou BT; au second, CB, furpaffe BH, ou BT; & au troisième, elle est moindre. COROLLAIRE I V. 11.IL eft encore manifeste que les lignes Z K, Mm paralleles à la tangente HBT font coupées par le milieu en P par la droite CB prolongée, car puisque BH — BT, PL fera PK: mais (no. 2.) ML=mK; donc PMPm. PROPOSITION IV. Problême. 12. UNE équation à l'Hyperbole xy = aa étant donnée, décrire l'Hyperbole. deux termes, que eft au fommet de l'an & y que On voit par l'équation, qui n'a l'origine des indéterminées x,&y gle des afymptotes. Soit C l'origine des indéterminées x, qui va vers T; & y qui va vers H, & ayant pris CI & CG chacunea, on achevera le parallelogramme CGBI: & l'on décrira (Prop. 1, ) l'Hyperbole MBm, entre les afymptotes CT & CH. DEMONSTRATION. ELLE eft évidente par la premiere Proposition, PROPOSITION V. Theorême. par menée FIG. 69.13. SOIT une Hyperbole MBm dont CH & CT font les afymptotes; foit aulli par un point quelconque B (no. 7.) une tangente HBT, & du point C le point touchant B la ligne CBP. Si par quelque point P, l'on mene PM parallele à HT, qui rencontre l'Hyperbole aux points M&m, & les afymptotes en L & K. Je dis que CP2 CB1. PM3 :: CB1. BH2, ou ce qui revient au même, ayant prolonge BC en A, & fait CA — CB, que AP x PB. PM: AB'. TH', ou Ayant mené BI, BG, mQ & mN paralleles aux afym& nommé les données AC, ou CB, a ; BH, protes, BT, b ; CI, ou GB, c; CG, ou IB, d; & les indéterminées CP, x; P M, ou Pm, y; CQ, ou Nm, S; CN ou Qm, z; AP fera x+a, & BP, x — a. Il faut prouver que xx-aa. yy :: aa. bb :: 4aa. 4bb. DE'MONSTRATIO N. LES s triangles semblables CBT, CPK donnent CB (a). BT (b) :: CP (x). PK = b; donc mK = bx — y, ml = bx+y; & à cause des triangles semblables TBI, KmQ, & BHG, mL N, l'on a b (TB). d (BI) :: bx —y (Km). z(mQ), & b (BH). c (BG) :: bx +y (mL). S (mN), d'où l'on tire ces deux équations by bdx dy, & bf = bcx + cy, & en multipliant = le premier membre de l'une par le premier de l'autre, & le second par le second, l'on a bbfz= bbcdxx аа par la premiere Propofition fcd; donc bb cdyy: mais yy, en divifant par les quantitez égales fz, & cd; d'où 14.IL est évident (Art. 9. n°. 7, 11 & 12), & par cette équation xx― aa — qui eft la même aayy que celle du même Article no. 11, que le point C, eft le centre de l'Hyperbole MBm, que AB est l'axe; fi l'angle CBH FIG.70, eft droit; autrement AB eft nommée diametre détermi né; que D E parallele & égale à HT eft l'axe, ou le diametre conjugué à AB, que MP & MF font les ordonnées ou appliquées aux diametres conjuguez AB & DE. De forte que F P eft le parallelogramme des coordonnées. COROLLAIRE II. ay donne bb FIG. 70. 15. L'ÉQUATION précedente xx — aa — x = + q √bb + yy, qui fait voir que fi l'on prolonge MF en N, en forte que FNF M, le point N fera à l'Hyperbole ; & fi l'on fait y = 0 =o, la ligne M N fe confondra avec la ligne AB, le point F avec le point C, & l'on aura x =+a, d'où il fuit que le point M fe confond avec le point B, & le point N avec A; de forte que CA CB, & que le point A fera à l'Hyperbole. = = Si dans la même équation on fait xo, ayant mené NO parallele à DE, ou à PM, les points P & Q fe confondront avec le point C, & l'on aura y√bb. Or parceque les valeurs de y font imaginaires; il fuit que I'Hyperbole ne rencontre point le diametre DE, ni de côté ni d'autre du point C. Et parceque l'on tire auffi de la même équation y + √xx — aa; il fuit que l'Hyperbole rencontre les paralleles MPm, NQn des deux côtez de AB, tant que x ( CP, ou CQ) furpaffe a (CB ou CA); qu'elle coupe AB en B & A, lorfque CP = CB, ou x = a : car xx — aa devient aa aa = 0; & par conféquent y = +/- √xx que lorfque les points P&Q tombent entre A & B, c'eft-à-dire, lorf que a furpaffex, l'Hyperbole ne rencontre point les paralleles à DE menées entre A & B : car la quantité xxaa devient negative, & par conféquent les valeurs de = √xx · ± 1/2 √ xx — aa deviennent imaginaires. Enfin l'éfait voir que x (CP, ou CQ) quation xx-aa= aayy bb ز & y croiffant, y (PM, ou QN) croît auffi; c'eft pourquoi l'Hyperbole s'éloigne de plus en plus à l'infini du diametre AB prolongé de part & d'autre à l'infini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini, d'où l'on voit que l'Hyperbole a deux parties MBm |