PROBLEME INDÉTERMINÉ. FIG. 78. 2. UN angle GAH étant donné, il faut trouver dans ces angle un point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, AP &PM foient enfemble égales à une ligne donnée KL. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée KL, a; & les inconnues AP,x & PM,y i l'on aura par les qualitez du Problême x+y=a, ou y = a — x, qui eft une équation à la ligne droite : mais parcequ'elle contient trois termes, je fais a-xz: ce qui réduit l'équation à celle-ci yz, qui n'en a que deux, & qui donne cette Construction. Ayant pris fur AH & fur AG les lignes AB & AC égales à KL, & mené la ligne BC. Je dis que tous les points comme M de la ligne BC fatisfont au Problême. mée a, DE'MONSTRATION. A Caufe de la réduction a — x=2, AB étant nom- = PROBLEME INDÉTERMINÉ. F16. 79. 3. DEUX lignes parallels AH, BK terminées en A & B par une autre ligne AG qui fait avec elles un angle quelconque GAH, étant données de pofition. Il faut trouver dans l'angle GBK le point M, d'où ayant mené MP parallele à GA, qui rencontre BK en E; ME foit à AP, ou à BE dans la raison donnée de mà n. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé la donnée AB, où PE, a; & les inconnues AP, ou BE,x, na; & PM, y; EM fera y a ; & l'on aura par les conditions DE'MONSTRATION. AYANT mené par un point quelconque N pris fur BI, la droite NQR parallele à AG, ou à CD, les triangles femblables BCD, BQN donneront BC. CD:: BQ. QN, ou en termes Algebriques n. m :: x. z; donc mx=nz ou mx ny―na, en mettant pour la valeur y-a, qui eft l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D. = CONSTRUCTION fa Des Equations ou des lieux au cercle. XVIII.UNE ligne AB étant donnée de grandeur & de FIG. 8o. Ayant fuppofé le Problême réfolu, on abbaiffera da point M fur AB la perpendiculaire MP, & ayant nommé la donnée AB, a ; & les indéterminées AP, x; & PM, y; PB sera a x; MA2, xx + yy, & MB2, aa— 2ax + xx + yy, & l'on aura par les qualitez du Problême xxyyaa 2ax + xx + yy :: m. n; donc nxx+ nyy = máa — 2max +mxx + myy, ou en fuppofant que m furpaffen, mxxnxx — 2max + maa + myy — yy o, ou xx 2max m-n maa + +yy = 0, en divifant par m-n; & comme on ne peut point trouver d'autre équation pour faire évanouir une des inconnues, il fuir que le Problême eft indéterminé ; & parceque dans l'équation il y a deux quarrez inconnus délivrez de toute quantité connue qui ont mêmes fignes dans le même membre de l'équation, & que les inconnues AP & PM exprimée par & y font un angle droit ; il fuit il fuit que l'équation appartient au cercle, ou ce qui eft la même chofe que tous les points qui fatisfont au Problême font à la circonference d'un cercle; il ne s'agit donc plus que de le déterminer par le moyen de l'équation que l'on vient de trouver mais comme il y a un fecond terme dans l'équation, il eft clair (Art. 12. no. 14.) que le point A qui eft l'origine des inconnues x & y n'eft point le centre de ce cercle; pour le trouver il faut faire évanouir le fecond. terme; pour ce fujet, je fais x l'équation à celle-ci yy = ma mm- ·2mnnn fubftitué z+ valeur de x & fon quarré dans l'équation m-n en même dénomination, il reftera ༢༢.— = ༡༡ + ༢༢ .༤ + ༢༢.= connues y & ont leur origine au centre. Or pour trouver le centre du cercle, ou l'origine des inconnues y & z; il faut conftruire la réduction x fait en cette forte. ༢. ma ༢. Ce qui fe m-n A étant l'origine des inconnues x qui va vers B, & y ma m -n le qui lui eft perpendiculaire, foit prife AC= point C fera (Art. 16. no. 2.) l'origine des inconnues y & z ༢. & par confequent le centre du cercle qu'il faut décrire: mais le terme connu de l'équation réduite eft le quarré du demi diametre du même cercle; c'est pourquoi fi du centre C & du rayon gg. √mnaa au lieu de me, on peut fubftituer de Vmnaa, on aura Vaaggag. Par confequent Vmnaa ag CD=CE.) Si, dis-je, du centre C & du rayon m-n CD ou CE l'on décrit le cercle DME, tous les points M de fa circonférence fatisferont au Problême. DEMONSTRATIO N. AYANT ANT abbaiffé d'un point quelconque M pris fur la circonference du cercle la perpendiculaire MP, par la proprieté du cercle CD', où CE2 — CP2 — ou CP2= PM2, ce qui eft en termes Algebriques mnaa mm2mnnn ༢༨. = yy ; car 2 m-n Or PM=y. Donc PM=yy: mais zx = xx— mnaa mm -2mnnn 2max m-n & l'équation precedente, on aura après les réductions, nxx PROBLEME INDÉTERMINÉ. FIG. 80. I. LES ES mèmes chofes étant fuppofees que dans le Problème précedent; il faut trouver le point M, en forte que MA foit à MB dans la raifon donnée de mà n. En donnant aux lignes les mêmes noms que dans le Problême précédent, on aura par la qualité du Problême Vxx+yy Vaa 2ax + xx +yy :: m. n 5 donc n x √xx+yy=m × √aa—2ax + xx+yy, ou nnxx → nnyy = mmaa — rmmax+mmxx+mmyy, ou en fuppofant que m furpaffe n, & divifant par mm-nn, l'on aura xx 2mmax mmaa ✦yy➡0, qui est une équation au cercle dont l'origine des inconnues x & y n'eft point le centre à <, pour faire évanouir le second terme, l'équation se |