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C, l'on aura en nommant les lignes comme on les a nom. mées no. 6.262—2x=yy, d'où l'on tirez=b+Vbb-yy: & mectant cette valeur de z dans les deux équations générales, l'on en aura deux autres, dont l'on tirera les deux qui suivent.

a- y X vbb - yy E.*=+

&

у

It

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a ty X V bb — yy F.x=

qui sont du quatrième degré ; &

par conséquent les courbes IM , KF, dont elles expriment la nature , sont du troisième

genre. Čes deux équations présentent une construction assez simple pour décrire par des points les deux courbes IM, & KF:

mais les intersections M & F du cercle FAM avec la régle mobile DMF, en donnent une encore plus simple : car ayant mené du point D une ligne quelconque DC, qui coupe GH en C, si l'on fait CM & CF chacune égale à la donnée b; les points M & F seront aux deux courbes IM & KF.

De' M O N S T R A TI O N. AYANT mené des points M& F les droites MP, MQ, FO & FR paralleles à DE & à GH, les triangles semblables, MPC, DQM , & FOC, DRF donnent, y (MP ).Vbb -- yy ( PC)::a-y(DQ).*(QM), &

y (FO).Vbb-yy (OC)::a+y(DR).*(RF), d'où l'on tire les équations E & F. C. & F. D.

Les deux équations E & F font voir que les courbes IM & KF passent de l'autre côté de leur axe DE

par port à C, & que leurs parties qui sont des deux côtez de DE, sont égales & semblables.

Si l'on fait y=0, l'on aura x = voit que GH prolongée de part & d'autre à l'infini, est asymptote aux deux courbes IM & KF.

ra

+%, d'où l'on

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Si l'on fait x=0, l'équation E se changera en ces deux suivantes yy — 2 ay+aa=0,& bb-yy=0,

d'où l'on tire y=a,&y=+b; il suit de la seconde y=+b, que les deux courbes IM & KF coupent l'axe De en deux points 1 & K , qui sont éloignez du point E de la grandeur du demi diametre CM. Il suit de la premiere y=a, que la courbe IM peut passer par le point fixe D, ce qui arrive lorsque b=a, & lorsque b surpasse a avec cette difference , que lorsque b=a, elle coupe l'axe DE au seul point D ; & lorsque b surpasse a , elle le coupe au point D, & en un autre point plus éloigné de E que le point D, de sorte qu'elle fait en ce cas une espece de.næud, & est semblable à la courbe du Problême précédent. L'on auroit connu la même chose

par

le quation F.

Nicomede auteur de cette courbe l'a nommée Concoäde , & le point D, le pole de la Concoïde.

moyen de l'é

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Problême Indéterminé. 10. UN angle droit ABH, E un point fixe A , sur un de ses Fig. 110. côtez AB étant donnez, il faut trouver dans cet angle le point M, en sorte qu'ayant mené du point A par M , la ligne AMG qui rencontre l'autre côté BH en G , & du même point M, la ligne MP parallele à BH, MG foit égale à AP.

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la don. née AB, a; & les inconnues AP, ou ( Hyp.) MG, *; PM,); B P sera , a - *; AM Vxx+yy; & l'on aura à cause des paralleles BG , PM ,*(AP).Vxx+yy ( AM):: a - * (PB). *( MG), d'où l'on tire après les réductions ordinaires, y=+

qui est une équation du quatrième degré ; & par conséquent la cour

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xV2ax.

-aa

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l'on aura y

be dont elle exprime la nature, est du troisiême genre.

On voit par cette équation que la courbe a deux parcies égales & semblables, l'une d'un côté de son axe AB, & l'autre de l'autre.

Si l'on fait y=0, l'on aura x=a , d'où il suit que la courbe coupe AB par le milieu en C, & qu'elle ne la rencontre en aucun autre point; puisqu'on ne trouve qu'une seule valeur pour x. Si l'on fait x = 0

i qui pourroit faire penser que la courbe passe aussi au point A , puisque y y devient nulle : mais on en est desabusé, lorsqu'on fait x moindre qu'un į a, ou négative : car alors les valeurs de y deviennent imaginaires ; c'est pourquoi la courbe ne rencontre AB qu'au seul point C.

Si l'on fait x = a l'on aura y =+, ce qui fait voir que la ligne BH prolongée de part & d'autre à l'infini , est asymptote à la courbe.

Si l'on suppose que x surpasse a , ce qui est possible; le dénominateur à — % du membre fractionnaire de l'équation, deviendra une quantité négative ; c'est pourquoi les valeurs positives de y deviendront négatives , & les négatives deviendront positives ; mais pour les laisser dans l'état où elles sont, il n'y a qu'à changer les signes du dénominateur a - *, & l'on aura y=+

, d'où l'on voit

que la courbe a encore deux parties qui sont au-delà de l'asymptote BH, dans les deux angles HBD, IBD faits par le prolongement BD de l'axe AB, & par la ligne HBI; que ces deux parties ont encore pour asymprote la ligne H BI: car si l'on fait dans la derniere équation x=a,

aura y=+6, & que ces deux mêmes parties ne rencontrent point la ligne BD prolongée : car rien n'empêche d'augmenter x à l'infini, sans que les raci. nes de y deviennent nulles où imaginaires, ce qu'on a déja remarqué en faisant y=o. Les deux équations préceden

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-ad

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l'on

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