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XV zax -an

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y =
&

fournissent cette construction. Soit zax-aa=22, qui est une équation à la Parabole , qui étant construite suivant les régles de l'Art. 19, aura pour sommer le point C, & pour axe la ligne CD. Ayant mené d'un point quelconque P pris sur CD, une ligne PK parallele à BH, qui rencontrera la Parabole en K, soit prise PM quatrième proportionnelle à BP, PA, & PK, & le point M sera à la courbe cherchée.

:: . D e M ON STRATION. Elle eft claire par l'équation precedente.

Cette construction, & s'équation à la courbe, font voir que les deux parties de la courbe qui sont dans les angles HBD, IBD ne rencontrent point la Parabole CK : car lorsque le point P se trouve au-delà de B par raport à A, BP est toujours moindre que PA; & par conséquent PK moindre que PM. On voit la même chose par l'équation: car si l'on fait l'appliquée PK de la Parabole égale à l'appliquée PM de la courbe, c'est-à-dire V2ax—aa Fy, en mettant cette valeur de y dans l'équation à la courbe, l'on en cirera x= į a, qui marque que ces deux appliquées ne peuvent être égales qu'en un seul point 'C, ou elles sont nulles , ou =0, & que par consequent la courbe ne rencontre la Parabole qu'au seul point C.

On voit aussi de ce que PB.PA:: PK. PM que plus le point P s'éloigne de B, allant vers D, plus les points K & M s'approchent l'un de l'autre; de sorte que si l'on suppose le point P infiniment éloigné de B, PB sera pour ainsi dire égale à PA; & partant aussi PK=PM, d'où il suit

que

la Parabole CK, & la courbe CMM, sont asymptotes l'une à l'autre.

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ad

Problême Indéterminé. u DÉCRIRE la Courbe dont la nature eft exprimée par l'équation suivante , qui eft du quatrième degré, & ou les deux inconnues xy, font élevées' au-dessus du second xi - -ayxx+byyx+- cy:=o.

En afsignant à y une valeur arbitraire , on 'regarderà cette équation comme une équation déterminée du quatriême degré , & formant , selon les regles de la Section précedente, une équation à la Parabole , par exemple az= xx ; & mettant dans l'équation precedente pour xx la valeur

4༢) l'on aura aazz aayz + byyx + cy!

+byyx+ry =ó, ou 2242

= 0, qui est une autre équation à la Parabole ;'on combinera ces deux équations à la Parabole pour avoir une équation au cercle, on constituéra cette équation au cercle avec la premiere équarion à la Parabole , qui est la plus simple, & les points d'intersection détermineront les valeurs de x correlpon. dances à celles que l'on aura affignées ày, que l'on prend pour l'axe de la courbe qu'on veut décrire, & ayant appliqué ces valeurs de x ; à l'endroit de l'axe où se termine la valeur assignée à y, l'on aura autant de points de la courbe cherchée que l'on aura trouvé de valeurs pour x. positives & négatives; & de cette maniere, en afsignant successivement differentes valeurs à y, l'on aura differens points de la même courbe. Où l'on remarquera que l'é. quation à la Parabole az=xú, ne renfermant point l'indéterminée y, la même Parabole servira toujours dans tous les changemens de valeurs que l'on allignera à y. Il n'y aura donc que le cercle dont la grandeur variera se

l'on
augmentera , ou que

ou que l'on diminuera la va

lon que leur de y.

que l'in

L'on s'est déterminé à prendre y pour donnée , quoi. que ses dimensions soient moindres que celles de x , parceque y a un second terme dans l'équation , & x n'en a point, outre que la construction est la même; soit connue ait quatre dimensions, ou qu'elle n'en ait que

trois. Si les deux inconnues x & y avoient eu chacune un second terme, l'on auroit pris indifferemment l'une ou l'autre pour constante, & l'on auroit fait évanouir le second terme de celle que l'on auroit prise pour inconnue , afin de faire toujours servir le cercle dans la construction.

Si l'une des deux inconnues étoit élevée au-dessus du quatriệme degré , on décriroit encore la courbe

par

le moyen de la Parabole & du cercle, si l'autre inconnue étoit du troisiême ou du quatrième : mais on la décriroit par le moyen du cercle seul, selon les regles de la Section seconde , si elle n'avoit qu'une ou deux dimensions , en prenant dans l'un & l'autre cas celle qui excéde le qua. triệme degré pour constante.

Si dans une équation indéterminée, les deux inconnues excédent le quatriéme degré, lecercle ne pourra plus servir

pour décrire la courbe; il faudra alors former une équation à la premiere Parabole cubique , par le moyen d'une nouvelle inconnue , & de celle de l'équation dont on veut trouver les valeurs, c'est-à-dire , de celle

que

l'on ne prend point pour constante..

On substituera dans l'équation proposée , en la place des troisième , sixiême, neuviême, &c. puissances de l'in

l'on ne prend point pour constante, leurs valeurs tirées de l'équation à la Parabole cubique ; ce qui donnera une équation à une courbe qui servira avec Péquation à la Parabole cubique , à décrire la courbe dont l'équation proposée exprime la nature, comme on va voir par l'exemple qui suit.

connue que

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+

12.DÉCRIRE la courbe dont la nature est exprimée par l'équation suivante , qui est du sixième degré, & les inconnues x & y sont toutes deux élevées au-dessus du quatrième.

x + ayx* — byyx' + bcy'x + y'=0,

En prenant y pour constante, & la ligne qu'elle exprime pour l'axe de la courbe qu'on veut décrire, l'on fera

aan x?; donc a*zk=x*, & substituant dans l'équation proposée en la place de x“, & de x' leurs valeurs aʻzā, & aaz, I'on aura celle qui suit, a+z2+a'zyx aabz yy + bcy' x+y=o, qui est une équation où l'inconnue x', n'a qu'une dimension ; & que l'on construira par conséquent par les régles de la Sedion seconde , & les intersections avec la Parabole cubique , que l'on décrira aussi par les mêmes régles puisque l'inconnue 2, n'a aussi qu'une dimension, donneront des valeurs de x correspondantes à celles que l'on aura assignées à y. Il en .est ainsi des autres équations plus composées.

Mais au reste de quelque genre que puisse être une courbe, il est rare que l'on ne puisse pas trouver une maniere de la décrire , plus simple que celle qu'on tire de son équation, en suivant les régles prescrites no. 2. & 3. ou autre

COROLLA I R E. 13. Il est clair qu'on peut construire les équations déterminées où l'inconnue est élevée au-dessus du quatrième degré comme on vient de dire , en formant une équation à la Parabole cubique avec une nouvelle inconnue , & celle de l'équation : car après les substitutions l'on pourra toujours avoir une équation à une courbe où l'inconnue de l’équation proposée n'excédera pas le second degré ; & la courbe dont cette équation exprime la nature , & la

Parabole

ment,

Parabole cubique étant décrites, leurs intersections dé-
termineront les valeurs ou racines de l'inconnue de l'é-
quation proposée. Il est pourtant certain qu'un Probleme
de cette nature sera toujours construit plus élégamment,
lorsqu'ayant employé deux inconnues pour le résoudre,
on le construira avec les deux premieres équations dans
lesquelles on sera tombé à la maniere de ceux de la Section
neuviême , comme on va voir par l'exemple qui suit.

E x E M P L E
De la construction des Problèmes dont les équations déterminées

excédent le quatrième degré.

Problême. 14

Un angle droit ABH , & un point fixe A sur un de F16. 111. ses côtez, étant donnez ; il faut trouver au-dedans un point M, d'où ayant abbaissé sur AB la perpendiculaire MP, le rečtangle ÁP PM , soit égal à AB ; & qu'ayant mené du

A
par

le même point M la droite AMC qui rencontre BH on C, AM foit égale à BC.

Ayant supposé le Problême résolu , & nommé la donnée AB, a ; & les inconnues AP , *;PM,y; AM sera Vxx+yy; & l'on aura par la premiere condition du Problême xy=aa , qui est une équation à l'Hyperbole par raport à ses asymptotęs.

A cause des triangles semblables APM , ABC, l'on a, AP.(x). PM (y) :: AB (a). BC== ( Hyp. )

AM , ou en quarrant les deux membres , & multipliant par xx, aayy=x* + xxyy , qui est une équation à une courbe du troisiême genre, d'où faisant évanouir

le
y par moyen

de l'équation à l'Hyperbole xy = aa , l'on aura a'=x'+a*xx , qui est une équation décerminée du sixiéme degré.

Pour la construire par le moyen de l'équation déterminée a'=x+a*xx, soit fait aan=x', qui est une équation à la premiere Parabole cubique ; & mettant dans l'é

Gg

Vxx + yy

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