227 19, construction. Soit 2ax—aa=ZZ, qui eft une équation à la Parabole, qui étant construite fuivant les régles de l'Art. aura pour fommet le point C, & pour axe la ligne CD. Ayant mené d'un point quelconque P pris fur CD, une ligne PK parallele à BH, qui rencontrera la Parabole en K, foit prife PM quatriême proportionnelle à BP, PA, & PK, & le point M fera à la courbe cherchée. DE'MONSTRATION. ELLE eft claire par l'équation précedente. Cette construction, & l'équation à la courbe, font voir que les deux parties de la courbe qui font dans les angles HBD, IBD ne rencontrent point la Parabole CK: car lorfque le point P fe trouve au-delà de B par raport à A, BP est toujours moindre que PA; & par conféquent PK moindre que PM. On voit la même chofe par l'équation: car fi l'on fait l'appliquée PK de la Parabole égale à l'appliquée PM de la courbe, c'est-à-dire Vzax-aa—y, en mettant cette valeur de y dans l'équation à la courbe, l'on en tirera x= a, qui marque que ces deux appliquées ne peuvent être égales qu'en un feul point C, ou elles font nulles, ouo, & que par confequent la courbe ne rencontre la Parabole qu'au feul point C. On voit auffi de ce que PB PA:: PK. PM que plus le point Ps'éloigne de B, allant vers D, plus les points K & M s'approchent l'un de l'autre, de forte que fi l'on fuppofe le point infiniment éloigné de B, PB fera pour ainfi dire égale à PA; & partant auffi PK=PM, d'où il fuit que la Parabole CK, & la courbe CMM, sont asym ptotes l'une à l'autre. EXEMPLE V. Problême Indéterminé. 11.DÉCRIRE la Courbe dont la nature eft exprimée par l'équation fuivante, qui eft du quatrième degré, & où les deux inconnues x&y, font élevées au-dessus du fecond x+-ayxx-byyx-cy' =0. En affignant à y une valeur arbitraire, on regardera cette équation comme une équation déterminée du quatriême degré, & formant, felon les regles de la Section précedente, une équation à la Parabole, par exemple az=xx; & mettant dans l'équation précedente pour xx fa valeur az, l'on aura aazz —aayz +byyx+cy3 ~+bygx.—cy3 =0, ou. ༢༢.,-༡༢ o, qui eft une autre équation à la Parabole ;'on combinera ces deux équations à la Parabole pour avoir une équation au cercle, on conftituera cette équation au cercle avec la premiere équation à la Parabole, qui eft la plus fimple, & les points d'interfection détermineront les valeurs de x correfpondantes à celles que l'on aura affignées ày, que l'on prend pour l'axe de la courbe qu'on veut décrire, & ayant appliqué ces valeurs de x, à l'endroit de l'axe où fe termine la valeur assignée à y, l'on aura autant de points de la courbe cherchée que l'on aura trouvé de valeurs pour x. pofitives & négatives;& de cette maniere, en affignant fucceffivement differentes valeurs à ý, l'on aura differens points de la même courbe. Où l'on remarquera que l'é quation à la Parabole az―xx, ne renfermant point l'indéterminée y, la même Parabole fervira toujours dans tous les changemens de valeurs que l'on affignera à y. Il n'y aura donc que le cercle dont la grandeur variera seque l'on augmentera, ou que l'on diminuera la valeur de y. lon دیو que L'on s'est déterminé à prendre y pour donnée, quoifes dimenfions foient moindres que celles de x, parceque y a un fecond terme dans l'équation, & x n'en a point, outre que la conftruction eft la même, foit que l'inconnue ait quatre dimenfions, ou qu'elle n'en ait que trois. Si les deux inconnues x & y avoient eu chacune un fecond terme, l'on auroit pris indifferemment l'une ou l'autre pour constante, & l'on auroit fait évanouir le second terme de celle que l'on auroit prise pour inconnue, afin de faire toujours fervir le cercle dans la construction. Si l'une des deux inconnues étoit élevée au-deffus du quatrième degré, on décriroit encore la courbe par le moyen de la Parabole & du cercle, fi l'autre inconnue étoit du troifiême ou du quatriême : mais on la décriroit par le moyen du cercle feul, felon les regles de la Section feconde, fi elle n'avoit qu'une ou deux dimenfions, en prenant dans l'un & l'autre cas celle qui excéde le quatriême degré pour constante. Si dans une équation indéterminée, les deux inconnues excédent le quatrième degré, le cercle ne pourra plus fervir pour décrire la courbe, il faudra alors former une équation à la premiere Parabole cubique, par le moyen d'une nouvelle inconnue, & de celle de l'équation dont on veut trouver les valeurs, c'eft-à-dire, de celle que l'on ne prend point pour constante.. Ôn fubftituera dans l'équation propofée, en la place des troisième, fixiême, neuviême, &c. puiffances de l'inconnue que l'on ne prend point pour conftante, leurs valeurs tirées de l'équation à la Parabole cubique; ce qui donnera une équation à une courbe qui fervira avec l'équation à la Parabole cubique, à décrire la courbe dont l'équation propofée exprime la nature, comme on va voir par l'exemple qui fuit. EXEMPLE vi. Problême Indéterminé. 12.DÉCRIRE la courbe dont la nature eft exprimée par l'équation fuivante, qui eft du fixième degré, & où les inconnues && y font toutes deux élevées au-dessus du quatrième. 6 x + ayx* — byyx3 + bcy3x+y' = - =0, En prenant y pour conftante, & la ligne qu'elle exprime pour l'axe de la courbe qu'on veut décrire, l'on fera aaz x3; donc a'zx=x, & fubftituant dans l'équation propofée en la place de x, & de x' leurs valeurs az, & aaz, T'on aura celle qui fuit, 6 a*zz+a3zyx—aabzyy✦ bcy3 x+y=o, qui eft une équation où l'inconnue x, n'a qu'une dimenfion; & que l'on conftruira par conféquent par les régles de la Section feconde, & les interfections avec la Parabole cubique, que l'on décrira auffi par les mêmes régles puifque l'inconnue , n'a auffi qu'une dimenfion, donneront des valeurs de x correfpondantes à celles que l'on aura affignées à y. Il en eft ainfi des autres équations plus compofées. ༢., Mais au refte de quelque genre que puisse être une courbe, il eft rare que l'on ne puiffe pas trouver une maniere de la décrire, plus fimple que celle qu'on tire de fon équation, en fuivant les régles prefcrites no. 2. & 3. ou autre ment. COROLLAIRE. 13. IL eft clair qu'on peut conftruire les équations déterminées où l'inconnue eft élevée au-deffus du quatriême degré comme on vient de dire, en formant une équation à la Parabole cubique avec une nouvelle inconnue, & celle de l'équation: car après les fubftitutions l'on pourra toujours avoir une équation à une courbe où l'inconnue de l'équation propofée n'excédera pas le fecond degré; & la courbe dont cette équation exprime la nature, & la Parabole Parabole cubique étant décrites, leurs interfections détermineront les valeurs ou racines de l'inconnue de l'équation propofée. Il eft pourtant certain qu'un Problême de cette nature fera toujours conftruit plus élégamment, lorfqu'ayant employé deux inconnues pour le réfoudre, on le conftruira avec les deux premieres équations dans lefquelles on fera tombé à la maniere de ceux de la Section neuviême, comme on va voir par l'exemple qui fuit. EXEMPLE De la conftruction des Problèmes dont les équations déterminées 14. UN angle droit ABH, & un point fixe A fur un de FIG. 111. Ayant fuppofé le Problême résolu, & nommé la donnée AB, a; & les inconnues AP, x; PM,y; AM fera √xx+yy; & l'on aura par la premiere condition du Problême xy=aa, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes. A caufe des triangles femblables APM, ABC, l'on a, AP (x). PM (y) :: AB (a). BC= ( Hyp. ) = √xx+yy=AM, ou en quarrant les deux membres, & multipliant par xx, aayy=x+xxyy, qui eft une équation à une courbe du troifiême genre, d'où faifant évanouir y par le moyen de l'équation à l'Hyperbole xy= l'on aura a =x+a* xx, qui est une équation déterminée du fixième degré. aa, 4 Pour la conftruire par le moyen de l'équation déterminée ao=x2+a* xx, foit fait aaz=x', qui est une équation à la premiere Parabole cubique; & mettant dans l'é G g |