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quation a= x +a*xx, en la place de x' sa valeur aag, elle

deviendra aa=*+xx, qui est une équation au cercle. Fig. 112.

Soit présentement F l'origine des inconnues des deux équations au cercle, & à la Parabole cubique, & qui va vers G , & x qui lui est perpendiculaire , & va en haut. Si du point F pour centre & pour rayon AB=a , l'on dé. crit un cercle ; & sur la même FG pour axe , dont le sommer est F, & le parametre a, la Parabole cubique KFN; elle coupera le cercle en deux points K & N , & la perpendiculaire ne sera la valeur positive de x, & Ki sa

valeur négative qui sera égale à la positive , de sorte F1g. 111. qu'ayant fait AP=NQ, le point P sera un des point 112. cherchez.

D E M O N S T R A TI O N. Par la proprieté de la Parabole cubique (Art. 9.no.18.) FQxaa =ON', ou en termes algebriques aaz qui montre que cette Parabole , n'est pas semblable à la Parabole ordinaire , & que ses deux parties vont l'une d'un côté , & l'autre de l'autre de l'axe FG d'un sens contraire : car l'on cire de son équation x= = Vaaz, qui fait voir que x, n'a qu'une seule valeur qui est positive : mais li l'on fait négative , l'on aura x'=-aak, où x n'a qu'une seule valeur qui est négative. Maintenant par la proprieté du cercle , lon a FI'— Fl'=QN', ou en termes algebriques 'aa -2=xx, ou ao — x=a*xx, qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D.

Mais pour résoudre entierement le Problême , il faut encore déterminer la grandeur de PM=y; c'est pourquoi reprenant l'équation à l'Hyperbole xy =aa , qui est la plus simple des deux premieres qu'on a trouvées, l'on en cirera y=- qui est une équation déterminée du premier degré à cause de x dont la valeur vient d'ê. tre trouvée ; c'est pourquoi fi l'on prend PM troisième proportionnelle à AP & à AB, le point M sera celui que l'on cherche.

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ayant fait

fait af.=

On pourra aussi construire cette équation a'=x'+a*xx par le moyen

du cercle & de la Parabole ordinaire : car

=xx , l'équation déterminée deviendra à' ES' + aas, en mettant pour xx sa valeur as, qui est une équation du troisiême degré, que l'on construira par

les régles de la Section neuviême ; & après avoir trouvé par ce moyen la valeur de , l'on aura celle de x= AP qui est une moyenne proportionnelle entre a &f: cela fait , il faudra encore déterminer la grandeur de PM =y comme on vient de faire.

Pour construire présentenient le Problême avec les deux premieres équations xy=aa , & aayy=x*+xxyy ; l'origine des inconnues * &y, dans l'une & dans l'autre , étant au point A , x allant vers B , & y parallele à BH; Fig. III. ayant fait BH=AB=a , & mené AS parallele à BH, l'on décrira par H entre les asymptotes AB, AS l'Hyperbole .

L'énoncé du Problême donne une description trèssimple de la courbe AM dont l'équation aayy=+*+xxyy exprime la nature , & cette courbe coupera l'Hyperbole HM au point cherché M. La Démonstration en est clai. re, & l'on voit que cette construction résout pleinement, naturellement , & très-élegamment le Problême.

On pourroit regarder ce Problême, comme un Probleme solide , puisqu'on l'a construit avec le cercle, & la Pam rabole ordinaire : mais on a jugé à propos de le faire servir d'exemple pour la construction des Problèmes dont les équations excédent le quatriême degré.

Si on examine la nature de la courbe AM par le moyen de son équation, l'on en tirera une description assez simple; & l'on trouvera qu'elle touche son axe AB au point A , & qu'elle a pour asymptote la droite BH , &c. R E MARQUES

GENER A LES Sur la constručtion des Problèmes déterminez & indéterminez. 15. Les Problemes déterminez tels qu'ils puissent être, ont toujours autant de solutions que les deux lignes,

droi

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ху

tes ou courbes , qui servent à les résoudre, ont de points communs ou d'intersections; & fi ces deux lignes ne se rencontrent point , le Probleme sera impofsible.

On pourroit aussi se servir de l'équation à l'Hyperbole aa , au lieu de l'équation à la Parabole ay=xx, pour tirer des équations indéterminées des équations déterminées , du troisiême & du quatriême degré, & de l'é. quation à l'Hyperbole cubique xxy =a', au lieu de l'équation à la Parabole cubique aay=x', pour construire les Problêmes déterminez dont les équations excédent le quatriême degré. Enfin les Problêmes déterminez construits de la maniere que nous avons proposée, seront toujours construits avec les courbes les plus simples qu'ils le puissent être.

16 Pour décrire les courbes. du premier genre , on a réduit leurs équations à un certain état : on n'a point fait la même chose pour décrire celles des genres plus composez , parcequ'il y en a une trop grande quantité dans chaque genre. Il peut neanmoins arriver qu'en changeant l'origine , ou la position de leurs axes ou ce qui revient au même , de leurs coordonnées, les équations en deviendront plus simples ; & par conséquent aussi leur construction. Or ces changemens se font de la même maniere que ceux qui se font par les réductions, comme on a vû dans toute l'étendue de la Section huitième , en égalant une de leurs inconnues + ou - une quantité connue à une nouvelle inconnue , & substituant dans l'équation la valeur de l'inconnue que l'on en veut faire évanouir , ce qui donnera une équation dont la forme sera differente de la premiere. On peut faire la même chose fur l'autre inconnue.

On peut encore non-seulement changer l'origine des coordonnées : mais on peut aussi changer l'angle qu'elles font entr'elles, & leur faire faire tel angle qu'on voudra, comme l'on a fait en plusieurs endroits de la même Section huitiême.

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leur moyen.

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SECTION XII. Des Courbes méchaniques , ou transcendentes, de leur description, des Problémes qu'on peut

construire par XXVI. Outes les Courbes geométriques ren

trent en elles mêmes, ou s'érendent à l'infini ; de maniere que leurs axes, ou leurs coordonnées les rencontrent en un nombre déterminé de points, ce qui fait que les lettres indéterminées des équations qui en expriment la nature', ou, ce qui est la même chose, qui expriment la relation que leurs coordonnées ont en . tr'elles, ont un nombre déterminé de dimensions , & qu'on peut par conséquent trouver tous les points de ces Courbes geométriquement, c'est-à-dire , par l'interfe&ion de deux lignes geométriques droitės, ou courbes.

Toutes les Courbes méchaniques rentrent aussi en ellesmêmes, ou s'écendent à l'infini : mais on ne peut point trouver d'équations qui expriment geométriquement la relation de leurs coordonnées : car il y a des Courbes méchaniques dont une des coordonnées est une ligne droite , & l'autre une ligne courbe dont - la rectification est geométriquement impossible. Il y en a d'autres dont les coordonnées sont deux lignes courbes; d'autres dont les appliquées partent toutes d'un mêine point, & d'autres qui sont figurées de maniere que leurs axes les rencontrent en une infinité de points"; d'où il suit qu'afin qu’une équation en pût exprimer la nature ; il faudroit qu'au moins une de ses inconnues eût une infinité de dimentions, ce qui est impossible ; & c'est pour cela que. ces Courbes sont aulli nommées transcendentes.

Il suit de tout ceci que l'on ne peut geométriquement trouver tous les points des Courbes méchaniques , puisque leurs équations n'en expriment que méchaniquement

Gg iij

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la nature.

formé par

Il y a même des Courbes méchaniques dont on ne connoît que certaines proprietez , d'où l'on ne peut tirer d'équations en termes finis. Il faut alors avoir recours à l'infini , en regardant les Courbes comme des Polygones d'une infinité de côtez ; & en comparant les côtez d'un triangle infiniment petit , formé par une petite portion de la Courbe comprise entre deux appliquées infiniment proches , par la difference de ces deux appliquées ; & par la distance de l'une à l'autre, & que l'on regarde comme un triangle rectiligne , aux côtez d'un grand triangle la tangente,

ou la perpendiculaire , par l'appliquée , & par la soûtangente , ou par la foûperpendiculaire , & les équations que l'on cire de la comparaison des côtez de ces deux triangles , sont nommées équations différentielles ; parce que les côtez du petit triangle sont les différences de la Courbe , des deux appliquées infiniment proches , & des deux abfcifles qui correfpondent à ces deux appliquées."

On n'entreprend point ici de donner une Theorie complece des Courbes méchaniques ; mais plutôt une simple explication de celles qui se rencontrent le plus ordinairement dans les Ouvrages des Geometres , & particulierement dans l'excellent Livre de l'Analyse des Infiniment Petits de feu Monheur le Marquis de l'Hôpital , où il fuppose que son Lecteur connoisse toutes les courbes dont il explique les plus belles proprietez.

P R O P O S I Í I ON I.. FIG. 113. 1.

Soit un

Tun cercle ABP, dont le centré est C,& un rayon C A. Si l'on conçoit que le rayon CA fasse un tour entier autour de son extrêmité, immobile C, de maniere que le point A se meuve uniforniement sur la circonfé. rence de A par B en A , pendant qu'un point mobile parcourera auffi d'un mouvement uniforme, le rayon CA allant de Cen A; ce point décrira par la composition de ces deux mouvemens, une Courbe CDMA, qui aura cette proprieté dans toutes les situations de Ac , par.

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