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exemple en celle de CP , que la circonference enciere ABĀ sera à la partie ABP: comme CA ou CP: à CM, ou ( ayant nommé CA, a; ABA , C; ABP, X; CM,y;) 6.x::a.y,

d'où l'on tire ax=cy. Si l'on suppose que le rayon CA falle encore un, ou plusieurs cours , le point décrivant parcourera pendant chaque cour , sur CĂ prolongée, des parties comme A E égales à CA,& la courbe fera autant de tours autour d'elle-même , que CA en aura fait ; & comme on peut supposer que

le rayon C A falle une infinité de cours ; il fuit que la Courbe

peut

le rencontrer en une infinité de points ; & que par conséquent elle eft méchanique , ou transcendente.

Archimede Auteur de cette Courbe l’a nommée Spirale

Pour la décrire , ayant divisé la circonférence ABA, & le demi diametre CA en un nombre égal de parties égales , & mené CP à quelqu'une des divilions, on portera de c en M autant de parties de CA, que" ABP en contient, ou de P en M, autant de parties de CA que AFP en contient ; & de l'une ou de l'autre maniere le point M sera à la Courbe CDM : car l'on aura toujours ABA. ABP :: CA.CM, ou ABA. AFP :: CA. PM.

On décrira de même le 2e tour, en portant sur le prolongement de CP autant de parties de CA que ABP en contient , & ainsi des autres, en décrivant pour chaque cour un cercle dont le rayon soit double , triple, &-c. du

rayon CA.

Si l'on suppose que le rayon CA, & le point décrivant, se meuvent avec des vitesses qui soient en telle raison qu'on voudra , c'est-à-dire, que ces vitesses soient telles que

l'on ait toujours ABA". ABP^ ::CA".CP" , ouc". x" :: d”.y“, d'où l'on tirera a"x"="y", qui est une équation pour toutes les Spirales à l'infini.

Ce seroit la même chose si le rayon' AC tournoit aucour du point C d'un sens contraire, de A par F vers P, pendant que le point-mobile descendroit de A vers C, en supposant les vitesses telles qu'on les vient de supposer :

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=

car nommant AFP, *; & PM,y;

l'on auroit encore ". "::a”.g", ou a" *" = c"y", qui est l'équation précédente.

Si m & n signifient des nombres positifs , les spirales seront nommées paraboliques ; & fi l'une des deux signifie un nombre négatif, elles seront nommệes hyperboliques ; parceque li c & x. exprimoient des lignes droires austi-bien que a & y, ces équations appartiendroient à la Parabole dans le premier cas, à l'Hyperbole dans le second. Par exemple, si m=1, &n=2, l'on aura aax.= cyy. Sim =1,&n=-1, l'on aura xy = ac. Sim=2, &n=

1, l'on aura xxy=acc, &c. L'on décrira ces Courbes comme si elles étoient geométriques, en supposant la quadrature du cercle.

PROPOSITION II. FIG. 114. 2. Soit un quart du cercle ADB , dont le centre est

C, & les rayons CA & CB. Si l'on conçoit que le rayon CA se mouve uniformement autour du centre C, jusqu'à ce qu'il arrive en CB , & que pendant ce temps-là une perpendiculaire PM au rayon CA , partant du point A, parcourre aussi uniformement le rayon AC, en demeurant parallele à CB ; l'interfe&tion M du rayon CA qui devient CD, & de la perpendiculaire PM , décrira une courbe AME, qui sera telle que ADB. AD:: AC. AP. Dioclés , son Auteur, l'a nommée Quadratrice.

3. Si le rayon AC au lieu de se mouvoir autour du centre C, le mouvoir parallele à lui-même , de sorte qu'étant parvenu dans une situation quelconque DF, l'on ait toujours ADB: AD:: AC. ÁP ; l'intersection M de la parallele DF avec la perpendiculaire PM, décriroit la Courbe AMB, que Monsieur T chirnhausen a aussi nommée Quadratrice.

Si l'on nomme AC, a; ADB, C; AD, * ; AP, y; l'on 115. aura c.x::a.y; donc ax=cy, pour l'équation commune à ces deux courbes.

PROPOSITION

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FIG. 114.

1

PROPOSITION III. 4. Soient deux cercles AFB, ALI égaux ou inégaux, Fig. 116. qui se touchent en A, dont les centres soient C & H, & les rayons CA, ou CB & HA: soit de plus un point fixe D, pris sur le rayon CB prolongé, ou non prolongé.

Si l'on fuppose présentement que le cercle AFB roule sur le cercle ALI, jusqu'à ce que le point B soit parvenu en T, le point D décrira par ce mouvement une portion de Courbe DMS, que l'on appelle demi Epicycloïde , ou demi Roulette.

Pour trouver une équation qui renferme quelque proprieté de cette courbe , supposons que le demi cercle mobile AFB, soit parvenu en roulant dans la situation KLP dont le centre soit 0, le point D sera alors en M , qui est un des points de la courbe , & le point B sera en P. Ayant décrit du centre C par D le demi cercle DGE, du centre H par M l'arc MG , qui rencontrera la demi circonférence DGE en G, l'on menera du centre H du cercle immobile ALI, les droites HM, qui coupera en I le cercle ALI , HLO qui passera par le point touchant 1, & HG qui coupera l'arc ALI en R, & du centre C du demi cercle mobile AFB, la droite CG qui coupera

Il est clair que les triangles HCG, HOM sont égaux, & équiangles : car HC=HO, HG=HM, & CG= OM :c'est pourquoi les angles CHG,OHM seront égaux, & partant l'arc RI=l'arc AL=(Hyp. ) l'arc LK=(à cause de l'angle HOM=HCG ) l'arc FB.

Nommant donc les données CB , ou CF , ou 20,&c. a; BD, ou MP, ou AE,6; HA , ou HI,&c,; l'arc DG , * ; l'arc MG,y; & l'appliquée HM,2; CD sera , a+b; & les secteurs semblables CDG, CBF,

donneront CD (a+b).CB (a):: DG (*). BF

= RI; & à cause des secteurs semblables H , HIR, l'on a

Hh

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AFB en F.

ax

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n-b

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a X

x(HM ).:(HI) ::y( HG). (IR), d'où l'on tire

atb cy=

ou acy + bcy= axz. a+b

axz

s.IL

COROLLAIRE I. L est clair que lorsque le point B, ou P touchera le cercle ALI en un point T , larc ALT sera égal à la demi circonférence AFB, & le point décrivant D ou M sera sur le rayon HT en S, de sorte que ST=BD.

COROLLAIRE I I. 6. Si le point décrivant D. étoit entre C & B , le cercle DGE seroic intérieur au cercle AFB , & lorsque le point B, ou P seroit parvenu en T, le poinç décrivant D, ou M , ou, ce qui est la même chose, le point $ de la Courbe seroit sur le rayon HT prolongé au-delà de T de la longueur de BD, & l'équation précedente deviendroit acy - bey =

=axz : car BD=b deviendroit négative de positive qu'on l'a suppoiée.

COROLLAIRE III. 7. 7. Si le point Détoit en B, ou ce qui est la même chose , fi B devenoit le point décrivant , le cercle DG E se confondroit avec le cercle AFB, & le point S de la Cour. be tomberoit en T , ou le point B toucheroit le cercle ALI ; & en ce cas DB=b devenant nulle, ou = 0, l'équation deviendroic cy=xh

COROLLA I R E. I V. 8. Si l'on suppose que le point H s'éloigne infiniment de A dans la ligne AB, le cercle ALI deviendra une ligne droite perpendiculaire sur AB au point A ; l'arc GM, une autre droitę parallele à ALI ; & les rayons AH & MH, deviendront infinis , & par conséquent paralleles

c'est pourquoi c sera égale à , & l'équation

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precedente (no.4.) se changera en celle-ci ay + by=ax, en la divisant

par les quantitez égales c & , & faisant de nouveau les mêmes raisonnemens que l'on vient de faire dans les trois premiers Corollaires, l'équation du second deviendra ay — by=ax;

ay-by=ax; celle du troisième deLa Courbe DMS, est en ce cas nommée , demi Cycloïde ou demi Roulette à Base droite.

viendra y

X.

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10.

COROLLA IRE V, 9. Si le cercle AF B au lieu de rouler , glissoit sur la ligne AL droite , ou circulaire , en sorte que le point touchant A parcourût d'un mouvement uniforme la ligne ALT = AFB, pendant que le point décrivant D parcoureroit aussi d'un mouvement uniforme la demi circonférence DGE>

<, ou=AFB, & en lui demeurant concentrique ; il est clair que la demi roulette décrite par ces mouvemens, seroit la même que si le cercle AF rouloit sur la ligne ALT.

COROLLAIRE V I. . Mais

si le point décrivant D employe plus de temps à parcourir uniformement la demi circonférence DGE, que le point touchant A n'en employe à parcourir aussi uniformement ALT = AFB, la demi roulette fera nommée Alongée.

Si au contraire le point D employe moins de temps à parcourir DGE, que le point A n'en employe à parcourir ALT= AFB; la demi roulette sera nommée Accourcie.

COROLLAIRE VI I. 11. Si le point touchant A , & le point décrivant D fe mouvoient avec des vitesses qui fussent celles que les puisfances m des parties parcourues par le point A sur AL, & les puissances n des parties parcourues dans des temps égaux par le point D sur la demi circonférence DEG>,

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