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PROPOSITION IV.

Theorême. F19.93. 10. En fupposant encore les mêmes choses, si l'on prend AG,

menée par le sommet A parallele aux appliquées PM, pour
l'axe de la parabole , & GM parallele à AP, pour l'appli-
quée, en nommant AG ou PM, X; GM , ou AP, Y; e le
parametre 4AF, 4a. Je dis que 4AF * GM= AG,

D E'MONSTRATION.
L'on a par la premiere Proposition 4ay = xx. C. Q:
F. D.

L'on n'a mis ici' cette Proposition que pour faire voir qu'il est indifferent de prendre celui qu'on voudra des deux axes conjuguez pour l'abcisse , & l'autre pour l'appliquée; ce qui convient à toutes les courbes Ġeometriques,

où les deux indécerminées forment toujours un parallelogrammte que nous avons nommé (art. 3. no. 16. ) le parallelogramme des coordonnées. PROPOSITION V.

Problême. UNE : équation à la parabole , bx = yy, étant donnée , décrire la parabole , lorsque les coordonnées sont perpendiculaires l'une à l'autre.

b, étant ( no:7.) le parametre ; * , l'abcisse ; & y, l'appliquée de la parabole qu'il faut décrire, comme il est démontré dans la premiere Proposition. Soit A le commencement de x , qui va vers P; & de

у qui va vers B, ayant pris AB=6,& prolongé AP du côté de A ; on'fera AF, & AD chacune égale à

ر}

CA

II.

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4

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4

I

ou

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4

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bx +

2

16

I

I bxt

2

16

AB, & l'on décrira une parabole A M par la premiere Proposition qui satisfera au Problême, & dont A sera le sommer, F le foyer, & D le point generateur.

DEMONSTRATION. A Yant mené une ordonnée quelconque PM; AF étant , -6; AP, *;PM, y;FP, bsera x

b 6—-*;& FM=PD (n°, 2.),x+6. Et le triangle rectangle FPM donnera xx + =

bb = XX bb + yy qui se réduit à bx=yy.c. Q. F. D.

R E M A R R U E. 12. Si l'on avoit nommé (Prop. 1.) DP , *; & DF, a; l'on auroit trouvé zax — aa =yy ; & si l'on avoit nommé FP , *; & DF, a; l'on auroit trouvé 2ax +aa=yy. Ce qui fait voir que lorsqu'une équation à la parabole a plus de deux termes, l'origine des inconnues n'est point au sommet de l'axe. PROPOSITION V I.

Problême. X1. Un e parabole AM , dont l'axe eft AP, le sommet A, F16. SS Le foyer F, le point gencrateur D, e la ligne generatrice EDH , étant donnée. On propose de mener d'un point quelconque M, donné sur la parabole, la tangente MT. Ayant mené

par le point donné M la droite MH parallele à l'axe AP , & joint les points F, H; la ligne MOT menée du point M par le point o milieu de FH, sera la tangente cherchée.

DEMONSTRATION. PUISQUE ( Art. 10. no. 2. ) MF=MH, & que FH est coupée par le milieu en 0; la ligne MO eft perpendiculaire à FH ; c'est pourquoi si l'on prend sur MO prolongée ou non prolongée un point quelconque, d'où l'on mene GF, & GH, & GI parallele à AP, le triangle FGH sera isoscele : mais à cause de l'angle droit GIH, GH surpasse GI ; c'est pourquoi GF furpasse aussi GI ; & par consequent le point G est hors de la parabole, &

partant MO ne la rencontre qu'au point M, où elle la tou. che. C. Q. F. D.

On peut ajouter pour confirmer cette Démonstration, que si d'un point quelconque R pris au dedans de la parabole, on mene RF du point R au foyer, & RH pa. rallele à AP qui rencontre la parabole en M , & la generatrice en H , la ligne RH surpassera toujours RF: car ayant mené MF, elle sera ( Art. 10. no. 2.) = MH: mais RM + MF surpassent RF; & partant RH surpasfe RF; c'est pourquoi puisque GF surpasse GI, le point G est hors de la parabole. On ne peut pas

dire

que point G soit sur la parabole:car GF(=GH) seroit=GI.

COROLLAIRE. I. 1. Il est clair que Mo prolongée rencontre l'axe AP aussi prolongé en T: car l'angle FOT est droit, & l'angle OFT aigu.

COROLLA IRE II. 2. Si l'on prolonge HM vers R, & la tangente MO du côté de M vers S ; l'angle RMS sera égal à l'angle OMF=OMH.

COROLLAIRE I II. D'où il suit 3.

il suit par les loix de la Catoptrique que si le foyer F écoit un point lumineux, les rayons refléchis à la rencontre de la parabole seroient paralleles à l'axe ;

le

ou ce qui est la même chose, les rayons paralleles à l'axe venant d'un point lumineux infiniment éloigné, se refléchissant à la rencontre de la parabole , leurs refléchis passeroient tous au foyer F. PROPOSITION VII.

Theorême. 4. En supposant la même chose que dans la Proposition précedente. Je dis que, si l'on mene par

si l'on mene par le point touchant M, la droite MQ parallele à HF, qui rencontrera l'axe' AP en Q, la partie de l'axe PQ, comprise entre le point & Pordonnée PM qui part du point M , sera égale à la moitié du parametre de l'axe de la parabole.

D E'M ON STRATION. A Cause des paralleles HF, MQ, & HM, FQ, les triangles MPQ, HDF sont semblables & égaux ; c'est pourquoi PQ=DF=( Prop. 1.) à la moicié du para. metre de l'axe.

De' FINITION. s. L A ligne PT est nommée foutangente, MQ perpcndiculaire ; & Pl, fouperpendiculaire , ou founormale. PROPOSITION VIII.

Theorême. 6. Les choses demeurant dans le même état

que

dans la Proposition précedente. Je dis que la foutangente ÚT eft double de l'abcisse AP, comprise entre le' sommet A & l'ordonnée PM qui part du point touchant M.

Ayant nommé comme dans la premiere Proposition les données A F, ou AD, a; P Q (no. 5.) 2a; & les variables AP,*; PM, Y; PT, t.

Il faut prouver que t=2x.

<

DE' M O N S T R A TI O N. L'ANGLE FOT étant (Prop. 6.) droit, l'angle QMT (no. 4.) sera aussi droit ; c'est pourquoi 2a (OP).y (PM) :: y.t(PT); donc zat=yy: Mais ( Prop. 1.) 4ax=yy; donc zat=4ax; & partant t=2x. C. l. F. D.

7. Cette Proposition fournit un moyen aisé de mener, une tangente à la parabole ; car si d'un point quelconque M, on mene l'ordonnée MP perpendiculaire à l'axe AP; ayant fait AT=AP, la ligne MT sera la tan

gente cherchée.

la ligne

PROPOSITION IX.

Theorême.
Fig. 56. 8. UN E parabole AM dont AP eft l'axe; A le fommet;
F, le foyer; D, le point generateur; DE, la ligne gencratrice

.
Si par un point quelconque M pris sur la parabole, on mene
(no. 7.) la tangente MT, & par quelqu'autre point L, la
ligne LG parallele à la tangente MT. Je dis que
MR menée par le point touchant

. M parallele à l'axe AP, coupera GL par le milieu en O.

Ayant mené par les points L, M,0, & G. Les lignes BLI qui rencontrent MR prolongée en 1, MP, OC, &GRS perpendiculaires à l'axe AP, & nommé AF, ou

le parametre de l'axe sera ( Art. 10.) 4a=4AF; AP, x; PM; ou Bi, ou SR, 9; AC, M; BC, ou 10, S; CS, ou OR, K; AB sera, m-\; AS, m+2; CP, ou OM, m — *; & PT (no. 6.), 2x.

Il faut prouver que =OL, ou ce qui revient au même OR=01, ou s=2

DEMONS IR AI I O N. Les triangles semblables (Const.) TPM, ORG, OIL, donnent les deux Analogies suivantes.

TP.

AD, a;

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