페이지 이미지
PDF
ePub

pourquoi ( Art. 9.no.-6.) AB, est le diametre principal de
s’Ellipse; D E son axe conjugé, & c le centre. Ce qu'il
faloit enfin démontrer.

On peut résoudre cette équation aa — xx=
le cercle. Mais il faut la changer en celle-ci aa - =
puis faire cette analogie, B.a + x.

*.y::9.

aayy 40

aayy

yy

[ocr errors]

4十 +

& l'on aura aa

aaz CC =

QC

On fera ensuite cette

ad

[ocr errors]
[ocr errors]

FIG. 59.

du

[ocr errors]

autre analogie, D. a-x.a::a.

=U,

& l'on aura
CC = 24
Pour trouver toutes les inconnues, u, x,y,2, 10. d'un
rayon qui ne soit pas moindre que la moitié d'AB= 2a
décrivez le cercle ABG, inscrivez-y la corde AB=2a,
fur laquelle vous prendrez AD= a +1, & DB=a-6
par le point D menez une autre corde EG. Et parce que
dans l'analogie D, a est plus petit que u, il faut prendre
DG=u plus grand que į ĀB.
A présent pour avoir x, à cause de l'analogie D, on aura
XU = aa , ou, au

aa = ux ; ainsi nous aurons cette analogie E. u. a :: a. x. On trouvera x en faisant FIG. 60. l'angle CAF, & prenant AF =u, BF=U — a, AC

=d,

les paralleles CF & BD menées, donnent DC=x. FIG. 61. Enfin pour avoir y , menez, à cause de l'analogie B, la

ligne À B, sur laquelle vous prendrez AD= a + x
(AK + DC), DB=2. De c milieu de AE, & de l'in-
tervalle AC ou CB, décrivez le demi cercle ALB, la
perpendiculaire DL=y.

DEFINITIONS.
Les points F & G sont nommez les fogers de l’Ellip-
se; CP, l'abcisse , ou coupée , & PM,ou Pm l'ordonnée, ou
l'appliquée à l'axe AB.

Fig. 58.

1.

aa

CC =

CD?

da

aayy

bb

COROLLAIRE I. 2. Il est clair que les lignes FM ,GM menées des foyers à la circonference de l'Ellipse sont , par la description, ensemble égales à l'axe AB, & que PM= Pm.

COROLLAIRE I I. 3. Il est aussi évident que le ređangle des deux parties AF, FB ou AG,GB de l'axe A B faites par un des foyers F, ou G, est égal au quarré du demi axe conjugué DC: car dans la Démonstration precedente l'on a trouvé

Or

CC = a +6xå -1,AF X FB=CD.

COROLLA I R E I I I. 4. On voit par les termes de l'équation aa. — *x=

& par les signes +- & - qui les précedent que x croissant, y diminue : car plus x devient grande , plus aa — xx diminue , & par consequent aussi yy ; puisque les quantitez constantes aa , & bb demeurent toujours de mê. me grandeur ; ce qui fait voir que les points M&m de l'Ellipse, s'approchent d'autant plus de l'axe AB, le

, que point P s'éloigne de C. On voit aussi que l'on ne peut augmenter x que jusqu'à ce qu'elle devienne = a; auquel cas aa - xx devient = aa aa=0; &, par

consequent aussi y=0, ce qui fait voir que les points M & m se confondent alors avec les points A & B , & que

l'El lipse coupe l'axe en ces points, comme on a déja remarqué.

COROLL AIRE I V. s. L'EQUATion à l’Ellipse aa — xx= anys étant ré. duite en analogie donne aa x* ( APR PB). yy (PM") :: aa ( AC). bb (CD) :: 40a ( AB2) 466 (DE), c'està-dire que le rectangle des deux parties AP, PB de

bb

aura ad

XX

l'axe A B faites par l'appliquée PM est au quarré de l'appliquée PM: comme le quarré de l'axe AB est au quarré de l'axe conjugué DE, COROLLAIRE

V. 6. Si l'on fait AB (2a). DE (26):: DE ( 26). 246, la ligne = 266 que je nomme pop sera (Art. 9. no. 13 ,) le parametre de l'axe A B. Or puisque a.b::b. p, l'on a aussi a. įp :: aa .

bb ; donc abb

=

1 aap; donc - ; C'est pourquoi si l'on met dans l'équation aa

arma, en la place de leche, sa valeur *, l'on

2012; d'où l'on tire cette analogie aa - xx ( AP ® PB ). yy ( PM2):: za ( AB). P, c'est-àdire que le rectangle des deux parties de l'axe faites par l'appliquée, est au quarré de l'appliquée ; comme le même axe, est à son parametre.

COROLLA IRE. VI. Il suit du Corollaire précédent que le rectangle de l'axe A B par son parametre est égal au quarré de l'axe conjugué D E; puisque AB. DE:: DE.p.

COROLLAIRE VII. 8. SI au lieu de

on met un autre raport P

myy égal comme l'on aura, aa - Xx=

c'est

. ; pourquoi l'on fera sur l'équation à l'Ellipse les trois remarques suivantes, après avoir délivré l'un des quarrez inconnus qu'elle renferme de toute quantité connue.

REMA R QUE I. 9.

LORSQue l'antécédent du raport qui accompagne un des quarrez inconnus de l'équation à l'Ellipse est égar & semblable au terme connu ; où ce qui est la même chose, li cet antécédent renferme les mêmes lettres que

le

7.

ad

[ocr errors]

ou de

[ocr errors]

bb

m

[ocr errors]

le terme connu de l'équation ; sa racine quarrée exprime-
ra le demi diametre dont l'autre inconnue exprime les
parties; & la racine quarrée du conséquent exprimera le
demi diametre conjugué.
R E M A R QUE

I I.
10. LORSQUE cet antecedent est le double de la ra-
cine quarrée du terme connu, il exprimera le diametre
dont l'autre inconnue exprime les parties ; & le consé-
quent exprimera son parametre.
REMARQUE

III. 1. En tout autre cas ce raport marque le raport du diametre, dont une partie est exprimée par l'autre incon. nue, à son parametre, ou le raport du quarré du même diametre au quarré du diametre conjugué. Tout cela est évident (no. 6 & 8).

COROLLAIRE VIII. 12. D'où il fuit qu'une équation à l’Ellipse renferme les expressions des deux diametres conjuguez, qui forment le parallelogramme des coordonnées, ou de l'un de ces diametres, & de son parametre, ou la raison du quarré de l'un des diametres au quarré de l'autre, ou enfin celle de l'un des deux à son parametre : de forte qu'on aura toujours les deux diametres conjuguez par le moyen de l'équation.

Par exemple, dans l'équation aa – xx="" le terme Fig. 58. connu aa est le quarré du demi diametre AC; l'antece. dent aa du raport mi qui accompagne yy eft semblable & égal au terme connu aa ; c'est pourquoi le conséquent bb est le quarré du demi diametre conjugé CD à l'axe ou au diametre principal AC. Dans l'équation aa - xx

2017, l'antecedent 2a étant double de la racine du terme connu aa ; 2a sera le diametre AB, &

P
son

parametre:& partant, si l'on fait șa.p::aa. į ap; į ap fera

N

248
m)

l'expression du quarré du demi diametre conjugué CD; &
parcant CD=Vidp. Enfin dans léquation att ***
mingen, da exprime le quarré du demi diametre AC dont
les parties C P sont nommées x'; & partant AB = 2a.
Mais pour avoir l'expression du demi diametre D E con-
jugue au diametre AB, l'on fera m. n:: an. ten & par-
tant va=CD, & 2V da SDE. Ec pour avoir l'ex-
pression du parametre du diamétré AB, l'on fera m. n:: 24,
& cette quantité 2am sera l'expression cherchée.

COROLLAIRE IX.
Fjc.se. 13. Si l'on nomme AP, &; BP será, 22**,& Poni
aüră (no. .) 2ax -

– xx (APR PB). (PM):: ad (AC"). 66 ( Ć D'); donc żax — **=. qui montre que lorsque les indéterminées n'ont point leur origine au centre de l’Ellipse, il se trouve des seconds termes dans son équation , & qu'une équation locale appartiendra toujours à l'Ellipse, lorsqu'elle renfermera deux

quar-
rez inconnus, l'un desquels ou tous deux seront accom-
pagnez de quelque quantité connue, & auront différens
fignes dans les deux membres de l'équation, ou même
fiğne dans le même membre, quelque mêlange de con-
ftantes qu'il s'y rencontre , & pourvu que les deux incon-
nues ne foient point multipliées l'une par

l'autre.
COROLLAIRE X.
14. Si dans l'équation à l'Ellipse aa — xe = day, ou

说,
, a=b

= 6, l'on aura aa – xx = yy ou
lax - xx=yy ; qui est une équation au cercle , pourvû
que

les coordonnées x & ý fallent un angle droit : car Pune & l'autre de ces deux équations donné A P x P B =PM qui est la principale propriété du cerclé. D'où l'on voit aussi que l'équation à l'Ellipse ne différe de celle du cercle , qu'en ce que l'un des quarrez inconnus est accompagné de quelque quantité connue dans l'équation

2 ax

.X.X =

[ocr errors]
« 이전계속 »