plié les expofans 2, 4 & 6 par, l'on aura a ou ab❜c3 après avoir réduit les expofans fractionnaires en entier, de forte que Va2bc=ab2, ce qui est évident. De même, Vab = ab2 = a√b car a eft la racine de I aa, ou a3, & b1eft la même chose que vb ; Vab= I až b1⁄2 —√ab; c'est-à-dire que vab est une quantité toute a až b ž = a√ab ; √72 a3b3="6ab√2ab: car il eft clair par les Exemples précedens, que Va3b3 = ab√ab, & je démontre que √72 = 6√2 en cette forte. Si l'on cherche (no. 56.) tous les divifeurs de 72, & qu'on examine tous les quarrez qui s'y rencontrent (s'il s'agiffoit de la racine cube, il faudroit examiner tous les cubes, & ainfi des autres racines) on trouvera que 36 eft le plus grand. Or 12=2 = 2 & 36 × 2 = 72; c'est pourquoi √72 peut être regardée comme le produit de V36 × √2 :mais √36 = 6; donc √72 = 6√2, & partant √72 a3b3 — 6ab√2ab. On trouvera de même que V12aab2a√3b, & que Vbaabc= av6bc; parceque 6 ne peut être divifé par aucun quarré. Il en eft ainfi des autres. 72 36 Ехтаасті о N Des racines des Polynomes. 62. LA Méthode d'extraire les racines des Polynomes, felon la maniere ordinaire, eft femblable à celle d'extraire la racine des nombres. EXEMPLE I. SOIT la quantité aa + zab + bb + 2ac + 2bc + cc, dont il faut extraire la racine quarrée. Je dis, le premier terme aa eft un quarré, dont la racine eft a que j'écris au Quotient, & je fouftrais le quarré de a qui eft aa du premier terme aa de la quantité propofée, en l'écrivant au-deffous avec le figne. Je réduis à la maniere de la divifion la quantité propofée, & le quarré fouftrait, & j'écris la Réduction A au-deffous d'une ligne. Je double le Quotient a, ce qui me donne a que j'écris à la gauche de la Réduction A, & qui fait partie du premier divifeur. Je divife le premier terme + zab de la quantité A par 2a; ce qui me donne + b que j'écris au Quotient, & à la droite du divifeur 2a, & j'ai le premier divifeur complet 2a+b que je multiplie par le nouveau Quotient b, & j'ai plus 2ab+bb que je fouftrais de la quantité A, en l'écrivant au-deffous avec des fignes contraires, & la Réduction de ces deux quantitez me donne la quantité B. Je double le Quotient a + b, & j'ai 2a+26 pour une partie du nouveau divifeur que j'écris à la gauche de B. Je divise de nouveau le premier terme 2ac de la quantité B par + 2a, ce qui me donne +c que j'écris au Quotient, & à la droite du nouveau diviseur 2a+2b; ce qui fait 2a + 2b + c pour le fecond divifeur complet. Je multiplie ce fecond divifeur za +26+ par le nouveau Quotient c, & j'ai 2ac + 2bc + cc que j'écris au-deffous de la quantité B avec des fignes contraires; & réduifant ces deux quantitez je trouve zero pour la troifiême Réduction; d'où je conclus que l'operation est achevée, & que par confequent, Vaa + zab+bb + 2ac + 2bc +cc=a+b+6. Racine, ou Quotient. (за - 26. Le premier terme 9aa étant un quarré dont la racine eft 3a; j'écris za au Quotient, & fon quarré 9aa au-def fous de 9aa avec le figne & la premiere Réduction eft la quantité A. Je double le Quotient 3a, ce qui me donne 6a, qui font partie du premier divifeur, & que j'écris à la gauche de la quantité A. Je divise -12ab par +6a, ce qui me donne-26 que j'écris au Quotient & à la droite de 6a, j'ai par ce moyen le divifeur complet 6a-2b. Je multiplie 6a-26 par—26, ce qui me donne 12ab+ 4bb, & j'écris + 12ab — 4bb audeffous de la quantité A. Je réduis ces deux dernieres quantitez, & la Réduction B qui fe trouve égale à zero, fait voir que la quantité propofée eft un quarré dont la racine est za—26, c'est-à-dire, que V9aa — 12ab+466 3a — 26. S'il venoit une Réduction qui ne pût être divifée par le double du Quotient, ce feroit une marque que la quantité propofée ne feroit point quarrée; & il faudroit alors fe contenter de la mettre sous le figne radical. Pag exemple, fi on vouloit extraire la racine quarrée de aa+bb, l'on trouveroit que la racine de aa eft a : mais on ne pourroit divifer la Réduction bb par 2a, ce qui feroit voir que aa + bb, n'est point un quarré, c'eft pourquoi il faudroit fe contenter d'en exprimer la racine en cette forte Vaa + bb. Il en eft ainfi des autres. Au reste, il est aifé de connoître par la formation des puiffances, ou lorsqu'on a un peu d'habitude dans le calcul algebrique, fi une quantité propofée eft quarrée, ou cube, &c. & d'en extraire par confequent la racine fans le fecours d'aucune operation, ou par la feule inspection des termes de la quantité propofée. 63. Mais fans cela, & fans le fecours des Regles que nous venons de donner, l'on peut avec toute la facilité poffible extraire toutes fortes de racines, quarrées, cubes, quarrées quarrées, &c. par le moyen de la formule generale propofée no. 30: car pour cela il n'y a qu'à regarder les quantitez dont on veut extraire une racine quelconque, comme des quantitez qu'il faut élever à une puiffance dont l'expofant foit celui de la racine qu'on veut extraire, c'est-à-dire, que cet exposant soit —, si c'est la racine quarrée; —, fi c'est la racine cube; fi I c'est la racine quarrée quarrée, &c. ce qui eft facile en fuivant ce qui est prescrit n°. 31, comme on va voir par les Exemples qui fuivent. EXEMPLE I. SOIT la quantité a3 — 3aab +3abb — b3 dont il faut extraire la racine cube, ou ce qui eft la même chofe, qu'il faut élever à la puissance. Ayant fait a'=p, — zaab + zabb 63 =q, & mettant ces valeurs de p & de 9 dans les deux premiers ter m m-] mes, p+ mp 9 de la formule generale proposée no. 30; (car les autres termes font inutiles, lorfque les raci nes qu'on veut extraire, font rationnelles ;) l'on aura a 3m b3, & faifant encore m · zaab + zabb — b3, ou -2 6: mais parceque le fecond terme - a =—a°b=-1b-b; le troifiême & quatriême termes font nuls Ainfi l'on a a—b pour la racine cherchée, c'est-à-dire, que II. SOIT la quantité aa+2ab -2ac+bb. 2bc + ce dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puiffance 2 Ayant fait aa ou a2=p,+2ab — 2ac + bb — 2bc+ cc=q, & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux m MI premiers termes de la Formule p +mp q, l'on aura bc += a bc+ 2 zac + bb 1-2 I -2+I b -a 112 × zab 1—2+I 2bc + cc, ou en fai 2ac+bb 2bc + cc, I c+ a cc. Mais parceque le fecond & le troifiême termes deviennent + b, & c; il fuit que tous les autres termes, où b, & c fe rencontrent font nuls. Ainfi |