à un même point accidental B, elles font (363) les perfpectives de trois paralleles : de même les droites AC, AD, AE font les perfpectives de trois paralleles; or trois paralleles rencontrant trois autres paralleles, elles leur doivent être également inclinées, & par conféquent former avec elles des angles égaux.

382. Il fuit enfin qu'une droite, comme DA ou EA, tirée fur le tableau d'un de fes points quelconques D ou E, & aboutiffante à un point A de la ligne horizontale, eft la perfpective d'une ligne originale couchée fur un plan de niveau & inclinée au plan vertical du côté où eft le point A, & d'une quantité exprimée par le nombre qui marque le degré où eft le point A : par exemple, DA ou EA font les perspectives de deux droites de niveau, qui déclinent de 10 degrés à droite du plan vertical.

Problêmes fur la pratique de la Perspective par le Chassis.

383. PROBLEME I. D'un point donné C (Fig. 55) fur un tableau, mener une droite perfpectivement parallele à une droite donnée en perspective comme DF. On fuppofe ces droites dans des plans de niveau.

SOLUTION. Prolongez DF jufqu'à ce qu'elle rencontre lá ligne horizontale en quelque point B, & joignez CB.

384. PROBLEME II. Faire à l'extrêmité D (Fig. 55) d'une droite donnée en perspective DF, & pofée originalement fur un plan de niveau, un angle dans le même plan de tant de degrés qu'on voudra.

SOLUTION. Prolongez DF jufqu'à la rencontre de la ligne horizontale en un point quelconque B, depuis lequel comptez fur les divifions le nombre de degrés demandés du côté où l'angle doit être, comme de B en A, & tirez DA.

385. REMARQUE I. Si l'angle demandé eût été, par exemple, de 60 ou 80 degrés, on l'auroit fait de même en prenant le point A à 60 ou à 80 degrés du point B, c'est-à-dire, 20 ou 40 degrés au-delà du point de vue S.

386. H. S'il eût fallu faire l'angle vers la droite du point B, & fi les divifions de la ligne horizontale qui font au

delà de B n'euffent pas été fuffifantes, on auroit pris depuis B vers la gauche un nombre de degrés égal au fupplément de l'angle donné comme depuis B jufqu'en A; & par les points A & D, on auroit tiré DR, qui eût fait l'angle perspectif BDR de la quantité & du côté demandés.

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387. PROBLEME III. D'un point D (Fig. 56) donné fur une droite CE mife en perspective, y élever perspectivement une perpendiculaire.

SOLUTION. Ce problême revient au précédent. Ayant prolongé CE jufques à la ligne horizontale en B, il faut prendre un point A tel qu'il y ait 90° depuis B fur les divifions, & tirer A D.

388. PROBLEME IV. D'un point donné fur un tableau mener perspectivement une perpendiculaire à une droite donnée. SOLUTION. Soit CE (Fig. 56) la droite donnée, & F le point donné. Ayant prolongé CE jufqu'à la ligne -horizontale en B, prenez un point A éloigné de 90° du point B; par A & par le point F faites paffer la droite AD qui fera la perpendiculaire cherchée.

389. PROBLEME V. Etant données la distance d'un point original placé fur le terrein au plan du tableau, & fa distance au plan vertical, trouver fon point de perspective.

SOLUTION. Tirez une ligne occulte par les divifions du montant qui marquent la distance au plan du tableau, & une autre du point de vue au point de la divifion de la base ou bord inférieur du tableau, qui marque la distance du point original au plan vertical: l'interfection de ces deux occultes donnera le point de perfpective cherché. Par exemple, fi la distance au plan du tableau étoit de 4 modules, & au plan vertical de 3 modules à gauche, le point de perspective feroit en G.

390. REMARQUE. Si le point donné n'étoit pas fur le terrein, mais élevé au-deffus, ou enfoncé au - deffous, comme dans un foffé, il faudroit imaginer une droite tirée de ce point original perpendiculairement fur le terrein laquelle mefure alors la hauteur ou l'abaiffement de ce Foint à l'égard du terrein, & comme cette perpendiculaire

eft en même temps parallele au plan du tableau, & au plan vertical, le point du terrein auquel cette perpendiculaire aboutit, eft à la même diftance à l'égard de ces deux plans, que le point original. Il faut donc comme ci-deffus déterminer fur le tableau la perfpective du point du terrein où la perpendiculaire aboutit, & y ayant fait passer une droite parallele à la ligne verticale, il faut en déterminer perspectivement la longueur, felon la diftance du point original au plan du Terrein, ce qu'on enfeignera dans le problême fuivant; & l'extrêmité de cette perpendiculaire fera la perspective du point original donné.

391. PROBLEME VI. Mettre en perfpective une droite originale donnée de grandeur & de pofition.

SOLUTION. Soit la longueur de la ligne donnée de 2 modules. Qu'une de fes extrêmités G (fig. 56) doive être éloignée du plan vertical de 3 modules, & du plan du tableau de 4. Je cherche par le problême précédent la perfpective G de ce point: mais pour trouver celle de l'autre extrêmité, il y a trois cas.

392. I. CAS. Lorfque la ligne originale eft parallele au plan vertical. Suppofons que fon extrêmité G doive être la plus proche du tableau; puifque la ligne a 2 modules de longueur, l'autre extrêmité doit être éloignée du plan du tableau de 6 modules. Je tire du point G au point de vue une droite GS, & par les points 6,6 du montant, je mene la ligne occulte 6 16. L'interfection I donne l'autre extrêmité cherchée.

Mais fi le point G eût dû être l'extrêmité la plus éloignée du tableau, j'euffe ôté 2 de 4, & par les points 2, 2 des montans, j'euffe mené une ligne occulte qui eût donné fur S3 le point cherché.

393. II. CAS. Lorfque la ligne originale eft parallele au plan 'du tableau. Alors ou elle a fon extrêmité G la plus proche du plan vertical, ou cette extrêmité en eft la plus éloignée; dans ce dernier cas, il eft clair que l'autre extrêmité n'est éloignée du plan vertical que de 1 module. Du point de vue S, je mene une occulte à la divifion 1 du bord inférieur

I

du tableau, & fon interfection K avec la parallele à la ligne horizontale qui paffe par le point G, donne l'autre extrêmité demandée.

Mais fi l'extrêmité G eût dû être la plus proche du plan vertical, j'eufse eu 5 modules de diftance de l'autre extrê mité au plan vertical, & j'euffe tiré du point de vue S, une occulte à la divifion 5.

394. III. CAS. Lorfque la ligne originale eft oblique auplan vertical & au plan du tableau. Comme fi on vouloit qu'elle déclinât de 20 degrés à droite du plan vertical.

Par le point Gje tire une droite au 20° degré de la ligne horizontale à la droite du point de vue; de ce même point G & du même côté à droite vers lequel la ligne horizontale décline, je tire GK parallele à la ligne horizontale; je la fais (393) perspectivement égale à la droite originale, c'eftà-dire, de 2 modules: de fon extrêmité K je tire une droite KQ qui puiffe couper la ligne GL qui va de G au 20° degré, du côté où doit être l'extrêmité cherchée, & qui aboutiffe en même temps au degré de la ligne horizontale où eft marquée la moitié du complément de l'angle dont la ligne originale eft oblique par rapport au plan vertical, (c'est ici 35° qui eft la moitié de 70° complément de 20°). L'interfection de KQ avec GL, donnera en L la perfpective de l'extrêmité de la ligne demandée. Car en faifant attention à cette opération, on voit qu'on a mis en perfpective un triangle original ifofcele GKL, dont les côtés perfpectivement égaux font GK & GL.

395. REMARQUE. En conftruifant fur un plan à part, ou en calculant par la Trigonométrie, un triangle rectangle dont la droite originale feroit l'hypoténufe, & un des angles feroit égal à son obliquité à l'égard du plan vertical, on trouveroit par la valeur du côté oppofé à cet angle, de combien l'autre extrêmité de la ligne originale donnée, eft plus ou moins éloignée du plan vertical que n'eft le point G: du point de vue S ayant tiré par G la droite S M, on prendroit fur les divifions du bord inférieur du tableau la quantité MP dont l'extrêmité L de la ligne cherchée eft

originalement plus près ou plus loin du plan vertical, & ayant tiré au point de vue la droite PS, fon interfection avec GH donnera en L le point cherché.

396. PROBLEME VII. Divifer une ligne donnée en perfpective en tant de parties égales qu'on voudra.

SOLUTION. Soit PQ (Fig. 57) la ligne donnée, qu'il faut divifer en quatre parties égales. Par un point Squelconque pris fur la ligne horizontale, tirez par les extrêmités P,Q deux droites SD, ST jusques à la ligne du bord inférieur du tableau. Divifez l'intervalle DT en parties égales DM, ML, LG, GT, & tirez SM, SL, SG ; & la ligne donnée fe trouvera divifée en parties égales, dans les points m,1,g. Car il eft évident qu'elle fe trouve interceptée entre des paralleles originales SD, SM, SL, SG, ST (383), & que ces paralleles font également éloignées entr'elles, puifqu'elles coupent FD en parties égales. Donc elles coupent auffi P Q en parties perfpectivement égales.

397. REMARQUE I. Pour plus d'exactitude, il faut choifir le point S, de forte que fes deux distances aux extrêmités de la ligne PQ donnée, foient les plus égales qu'il est poffible.

398. REMARQUE II. S'il falloit divifer PQ en parties inégales entr'elles, mais déterminées felon un devis; on diviferoit TD en parties proportionnelles à celles du devis, ce qui fe peut faire aifément par le compas de proportion, & tirant du point S des lignes à ces divifions, elles couperont PQ aux points cherchés.

399. ProblemE VIII. D'un point donné A (Fig. 57) fur le terrein, tirer la perfpective AK d'une droite qui faffe originalement avec le plan vertical un angle trop grand pour pouvoir être marqué fur la ligne horizontale.

Du point donné A je tire du côté où j'ai la place fuffifante, une droite AH parallele à la ligne horizontale, je la fais perspectivement égale au rayon principal. Je prends fur les divifions de la ligne horizontale une droite OZ depuis le point de vue Ojufques au point Z qui marque un degré égal au complément de l'angle donné:je vois fur les divifions