127. II. Lo1. Un point lumineux qui à la rencontre de différentes furfaces ou milieux auroit fouffert toutes les réflexions réfractions, inflexions, &c. qu'exigent la nature de ces milieux &la pofition de leurs furfaces, rebroufferoit précisément par la même route & avec la même viteffe, s'il fe trouvoit un obftacle qui l'obligeât de prendre une direction précisément oppofée.

Ainfi un rayon TC qui traverferoit le verre PS, rencontrant fa furface PQ, prendroit fa route le long de CA: ou ce qui revient au même, un rayon AC qui fe feroit brifé en CT, & qui feroit repouffé en T, dans la direction TC, fortiroit du verre en prenant la direction CA.

128. III. Loi. L'angle de réflexion ou de réfraction eft dans le même plan que l'angle d'incidence, & ceplan eft perpendiculaire à la furface du milieu: car fa pofition eft déterminée par le cathete d'incidence, qui eft perpendiculaire à cette furface.

129.IV. Lo1. Le finus de l'angle de réflexion ou deréfraction d'un rayon, eft dans un rapport conftant avec le finus de fon angle d'incidence.

Dans la réflexion ce rapport eft celui d'égalité. Selon toutes les expériences, la différence eft infenfible.

130. Le rapport du finus de l'angle brifé au finus de l'angle d'incidence eft, lorfque le point lumineux paffe de l'air dans l'eau de pluie, à-peu-près comme 3 à 4, ou plus exactement comme 3 à 4, 0076: de l'air dans le verre, comme 2 à 3, ou plus exactement comme 20 à 31: du verre dans l'eau, comme 8 à 9, &c. & réciproquement le finus de l'angle brifé eft à celui de l'angle d'incidence, dans le paffage de l'eau dans l'air, comme 4 à 3 : du verre dans l'air, comme 3 à 2, &c.

131. COR. I. Lorsqu'un rayon incident eft perpendiculaire à la furface du milieu qu'il rencontre; ou il se réfléchit fur luimême, ou il traverse le milieu fans fe brifer. Car alors le finus de l'angle d'incidence étanto, le finus de l'angle de réflexion ou de l'angle brifé eft=0: ou ce qui eft le même,le rayon refte toujours confondu avec le cathete d'incidence.

132. COR. II. Sous quelque angle d'incidence qu'un rayon

le

rencontre un milieu pénétrable à la lumiere, il peut toujours être réfléchi, s'il ne le pénetre pas ; mais lorsque le finus de l'angle d'incidence doit, par la nature du milieu, être plus petit que finus de l'angle brifé, le rayon ne peut pas toujours pénétrer ce milieu en fe réfractant; ou ce qui eft le même, il y a toujours certaines limites dans les angles d'incidence, au-delà de fquelles un rayon ne peut plus être réfracté, ni par conféquent fortir du milieu dans lequel il eft, pour entrer dans celui qu'il rencontre. Car fi un point lumineux tombe de l'air fur une furface d'eau, avec un rayon d'incidence de près de 90°, l'angle de réfraction fera d'environ 48°, puifqu'alors le finus total ou le finus d'incidence, eft au finus de l'angle brifé comme 4 à 3; ce qui donne cet angle brifé d'environ 48°: Donc fi un rayon avoit à paffer de l'eau dans l'air fous un angle d'incidence de 48°, il doit fortir de l'eau en rafant fa fuperficie, & fous un angle brifé d'environ 90°: mais fi ce rayon avoit à paffer fous un angle d'incidence de plus de 48°, le finus de fon angle brifé devroit être plus grand que le finus total; ce qui eft impoffible. Il eft donc impoffible que le rayon forte; & l'expérience apprend que ce rayon fe réfléchit alors fur la furface commune de l'air & de l'eau, & refte dans l'eau. On peut faire le même raifonnement les autres milieux, & déterminer les limites des réfractions poffibles par le rapport donné des finus des angles d'incidence & de réfraction.

pour

Nous ne parlerons dans la fuite que des furfaces planes ou fphériques, parce que ce font les feules qui foient en ufage dans la pratique des Arts.

133.

PROBL

CHAPITRE II.

De la Catoptrique.

ARTICLE I.

Des Images ou Foyers par réflexion.

Tant donnés un point ou objet quelconque O, fitué Elur taxe ÁO dun miroir sphérique quelconque MAB concave (Fig. 10 & 11) out convexe (Fig. 12), & un rayon incident OM infiniment proche de l'axe AO, trouver le point F de l'axe par où paffe le rayon réfléchi au point M. lerayon

SOLUTION. Tirez au centre C, de la furface fphérique, la droite MC, laquelle étant (Elem. 459) perpendiculaire à la furface du miroir, au point d'incidence M, eft le cathete d'incidence. L'angle OMG ou CME, eft donc l'angle d'incidence ; & en faifant CMF OMG, le rayon réfléchi eft MD, qui va rencontrer l'axe OA en F.

Pour trouver une expreffion analytique de AF, ou de fon égale MF, (puifque OM & OA font infiniment proches): foit OA ou MO, distance de l'objet au miroir =+d; (+d quand le miroir eft concave, &-d quand il eft convexe : ces fignes font ainfi déterminés par la pofition du rayon incident OM, à l'égard du demi-diametre AC du miroir: ) foit AC=r, & FA ou FM=f. On a donc FC-r-f(Fig. 10 & 12) ou=f-r (Fig. 11), & CO=―r+d (Fig. 10) ou=rd (Fig. 11) ou =r+d(Fig. 12). Or (Elem. 560) CO: CF :: MO: MF:ou (Fig. 10&11) Fr±d: ±r=f::d: f; d'où on tire la formule génerale pour les miroirs concaves ƒ= Et dans la (Fig. 12), dans le triangle CMO,

dr

zd-r

on a (El.746) CO: MO:: fin CMO ou FMC: fin MCO ou MCF; or dans le triangle FMC, on a auffi fin FMC: fin MCF:: CF: FM: donc CO:CF:: MO: MF,ou r+d: r-f::d:f: d'où on déduit la formule des miroirs con

dr

vexesf=2d+r De forte la formule générale pour

que

dr

toutes fortes de miroirs fphériques eft f=zd Fr°

134. REMARQUE I. Cette formule ne donne exactement la valeur de AF qu'autant que le rayon incident OM eft très-proche de l'axe OA, ou que la furface AM du miroir comprise entre le rayon incident & l'axe AO, qui paffe par l'objet O, eft une plus petite partie de la furface totale de la fphére: ainfi MF (Fig. 10 & 12.) étant toujours (Elem. 546) plus grand que AF, plus le rayon incident OM tombe loin du point A, plus le rayon réfléchi MF va rencontrer l'axe AF proche du point A.

135. REM. II. On peut à l'aide de la Trigonométrie rectiligne calculer rigoureufement la valeur de AF, en connoiffant celle de l'arc AM. Car dans le triangle OCM, on connoît OC, CM, & l'angle MCO mefuré par AM: on peut donc (Elem. 760) en conclure les angles COM, CMO & le côté MO. Enfuite dans le triangle FMO on a MO, l'angle FOM, & l'angle FMO double ( ou fupplément du double, Fig. 12) de l'angle CME; on aura donc par le calcul le côté OF, & par conféquent AF.

Si le rayon incident OM étoit parallele à l'axe OA; c'eftà-dire, fi l'objet étoit à une diftance infinie, l'angle EMC feroit égal à l'angle FCM, & le triangle CMF feroit ifofcele, fes deux angles égaux étant mefurés chacun par l'arc AM. Soit, par exemple, CM-6 pieds, & l'arc AM de 1 degré, on trouvera FA de 2,99964 pieds. Si AM eft de 10 degrés, on aura AF de 2,95372 pieds: fi AM eft de 30 degrés, alors AF eft de 2,53589 pieds.

138. COROL. I. Puifque toute la lumiere qui part de l'objet O, & qui tombe fur le miroir à peu de diftance du point A, va dans les miroirs concaves paffer par le point F

de l'axe, ou du moins fort près de ce point F, il fuit delà qu'il doit fe former au point F une image fenfible de l'objet O. Dans les miroirs convexes la réflexion difperfe les rayons qui partent du point O, & les dirige de forte qu'ils concourent au point F, & que la lumiere réfléchie qui entre dans l'œil fait voir l'objet vers F.

137. COROLL. II. Puifque l'image de l'objet O eft placée fur l'axe de la fphere qui pafle par ce point O, il fuit que s'il fe rencontre quelque obftacle qui empêche de tirer une droite de l'objet au centre de la fphere, il ne peut fe former d'image de l'objet. De même, dans quelque endroit qu'un œil fe place pour voir fon image dans un miroir, il ne la voit que dans une ligne qui paffe par le centre du miroir.

138. REM. III. Si l'objet O envoie des rayons de lumiere en affez grande quantité pour exciter une chaleur fenfible fans être réunis, tels que font ceux du Soleil, d'un flambeau, d'un charbon, &c. il eft clair qu'étant réunis par le moyen d'un miroir concave, ils doivent produire une chaleur proportionnelle à leur denfité & à la chaleur particuliere des rayons incidens. Et c'eft là d'où vient le nom de foyer au point de réunion.

Du Lieu, de la Situation, & de la Marche des Images par Réflexion.

139. E

N faifant différentes fuppofitions fur les différen

tes diftances auxquelles un objet exposé à la furface réfléchiffante d'un miroir fphérique, peut en être éloigné, on trouvera facilement le lieu de fon image par le moyen de la formule générale de l'article précédent. Suppofons donc un objet qui étant placé fur la furface d'un miroir, s'en écarte enfuite jufqu'à l'infini. . . . . .