de la proportion continue, proprieté que l'on connoît appartenir appartenir à cette proportion. Dans le premier extrême j'ai déja deux petits Quadrilignes exprimés ; & dans le dernier extrême 2 Sou-quadrifegments auffi exprimés. Il faut donc de néceffité, dès que la proportion continue des termes complexes eft palpable, que le Quadrifegment qui refte dans le premier extrême & le Sub-fouquadrifegment qui refte auffi dans le dernier extrême, faffent ensemble deux petits Quadrilignes. (En effet, dans la fuite des termes fimples ils font également éloignés l'un au-deffous, & l'autre au-deffus du petit Quadriligne ;) c'està-dire, qu'il faut que le Quadrifegment, pour devenir petit Quadriligne, fe dépouille des deux differences fimples, que, par la premiere démonftration, il a de plus que le petit Quadriligne, & que fe Sub-fouquadrifegment devienne par la réception de ces 2 différences fimples, le fecond petit Quadriligne que l'on cherchoit. Donc le Sub-fouquadrifegment eft de 2 différences fimples, plus petit que le petit Quadriligne. Donc il eft cinquiéme terme de progreffion dans la premiere colomne C. Q. F. D. Autre Démonftration de la même verité. Comme, fuivant l'obfervation que j'ai déja faite, par la premiere Démonftration qui eft au commencement de cet Ecrit, le Quadrifegment eft de 2 différences fimples plus grand que le petit Quadriligne, j'aurai démontré que le Sub-fouquadrifegment eft de 2 différences fimples plus petit que le petit Quadriligne & par conféquent cinquième terme de progreffion dans la premiere colomne, វ j'établis bien qu'il vaut 2 petits Quadrilignes moins le Quadrifegment: or voici la preuve de cette nouvelle propofition. 8 Sou-quadrilignes moins le Quadrifegment font la même chofe que 2 Souquadrifegments plus le Sub-fouquadrifegment: Et fi l'on fait l'analyfe des 8 Souquadilignes, ce font 2 petits Quadrilignes plus 2. Sou-quadrifegments. Il y a donc dans l'expreffion dévelopée de 8. Sou-quadrilignes moins le Quadrifegment auffi-bien que dans 2 Souquadrifegments plus un Sub-fouquadrifegment une partie commune, ce font 2 Souquadrifegments; je les ôte de part & d'autre; il refte fous 2 expreffions différentes d'une même quantité fimple, 1o. un Sub-fouquadrifegment. 2°. deux petits Quadrilignes moins le Quadrifegment, c'est-à-dire, 2 petits Quadrilignes moins un petit Quadriligne & moins 2 différences fimples. Donc telle eft la valeur du Sub-fouquadrifegment C. Q. F. D. Troifiéme Partie de la Propofition ci-dessus. Le Souquadrifegment eft quatriéme terme de progreffion dans la premiere colomne. DEMONSTRATION. Pour démontrer cette Propofition je vas repréfenter mes 2 dernieres colomnes fous des expreffions en partie nouvelles; je ne ferai qu'y joindre quelques obfervations très-courtes, & d'une évidence parfaite pour juftifier les changemens que j'aurai faits, & j'en conclurai ce que je croirai néceffaire & conclû légitimement. Seconde Colomne fans cinquième Terme. 2. Petits Segments moins le Sub-fouquadri fegment. 3. Moitiés de petit Segment. 8. Sou-quadrilignes moins le Sub-souqua, drifegment. 3. Sou-quadrifegments. Troifiéme Colomne. Dividendo. 2. Petits Segments moins le Sou-quadrifegment. 2. Petits Segments moins de Quadrifeg Voici ou ce que l'on fçait déja, ou ce qu'on doit remarquer par rapport à ces expreffions. 1°. Celle du dernier terme, la plus connue, eft celle qui s'employe ici. 2°. Il est encore évident que le terme qui le précéde immédiatement eft plus grand que lui d'une Quadratrice; puifque la Quadratrice eft l'excès du Quadrifegment fur le Sou-quadrifegment. 3°. Le troifiéme terme, en remontant, eft la petite figure toute; on ne peut jetter les yeux fur cette figure dans le Livre, qu'on ne connoiffe évidemment que notre expreffion lui convient. 4°. Parler du premier terme de cette troifiéme colomne eft en quelque façon répéter ce qui s'eft dit fur le troifiéme, l'opération eft également incontestable. Nos quatre termes font donc en progreffion; & il eft palpable qu'en les prenant deux de fuite, il fe trouve partout une Quadratrice de différence; & par conféquent il fe trouve 3.Quadratrices de différence entre le premier & le dernier. Ce n'eft pas encore affez. Par la feconde Démonstration, le Sub-fouquadrifegment eft de 2. différences fimples, plus petit que le petit Quadriligne, & par la premiere Démonstration le petit Quadriligne eft plus petit d'une différence fimple que la moitié du petit Segment: Donc, pour la feconde colomne, 2. petits Segments moins le Sub fouquadrifegment font la même chofe que 3. Quadrifegments; parce que les 3. différences fimples qui ajoutées à 3. moitiés de petit Segment font 3. Quadrifegments, font prifes ici, pour produire cet effet, fur la quatrième moitié de petit Segment. Mettons à la ligne le Corollaire fuivant parce que nous l'allons encore prouver de nouveau, quoique fans befoin véritable.. Donc 8. Sou quadrilignes moins le même Sub-fouquadrifegment font auffi la même chofe que 3. petits Quadrilignes. En voici 3..nouvelles raifons.. Premiere raison. Le Terme complexe 8. Sou-quadrilignes moins le Sub-souquadrifegment excéde 8. Sou-quadrilignes moins le Sou-quadrifegment de l'excès du Sou-quadrifegment fur le Sub-fouquadrifegment; de même que 2. petits Segments moins le Sub-fouquadrifegment excédent 2. petits Segments moins le. Sou-quadrifegment, de l'excès du Sou-quadrifegment fur le Sub-fouquadrifegment; & par la premiere Démonstration de ce nouvel Ecrit, 3. Quadrifegments, 3. moitiés de petit Segment, & 3. petits Quadrilignes font en progreffion, ou en proportion continue. Seconde raifon. Le fecond Rectangle de la Progreffion de la troifiéme colomne augmenté d'une Quadratrice & de l'excès du Sou-quad ifegment fur le Sub-fouquadrifegment, eft égal à 3. Quadrifegments. Donc le quatrième Rectangle de la même Progreffion, auginenté d'une Quadratrice, & de l'excès du: Sou-quadrifegment fur le Sub-fouquadrifegment, eft auli égal à 3. petites Quadrilignes, & ils deviennent comme eux termes d'une Progreffion femblable à la premiere, par ce principe. Si de quantités en Progreffion arithmétique, vous. ôtez des parties égales, ou que vous leur ajoûtiez des parties égales, les reftes. ou les touts font encore en Progreffion.. Verités qui peuvent fervir de troifiéme raison. De même que 3. Quadratrices font la différence qui fe trouve 1°. entre 2. petits Segments moins le Sou-quadrifegment, & 8. Sou-quadrilignes moins le Quadrifegment. 2°. Entre 2. petitsSegments moins le Sub-fouquadrifegment (ou 3. Quadrifegments, ) & 3. Souquadrifegments (ou 8. Sou-quadrilignes moins la moitié du petit Segment, com me on l'entend par tout ceci, fans qu'il foit befoin de le prouver à part.) De même, 2. Quadratrices font la différence qui fe trouve 1°. Entre 2. petits Segments moins le Sou-quadrifegment, & 8. Sou-quadrilignes moins le Souquadrifegment. 2°. Entre la petite figure toute (ou 2. petits Segments moins le Quadrifegment, ) & 8. Sou-quadrilignes moins le Quadrifegment. 3°. Entre 2. petits Segments moins le Sub-fouquadrifegment, & 8. Sou-quadrilignes moins le Sub-fouquadrifegment. 4. Entre 2. petits Segments moins la moitié du petit Segment, & 8. Sou-quadrilignes moins la moitié du petit Segment; d'ou va naître cette derniere expreffion de notre feconde colomne encore fans cinquiéne terme. Je ne change rien à la troifiéme précédente. Seconde Colomne fans cinquième Terme. Deux petits Segments moins le Sub-fouquadrifegment. On voit par les expreffions de ces 2. dernieres colomnes que ces Quadratrices diftribuées, comme on vient de le dire, nous forment deux Progreffions femblables. Et voici en 5. Corollaires ce qui s'enfuit manifeftement. 1°. Le Souquadrifegment devient également bien petit Quadriligne, & par l'addition de Fexcès qu'a fur lui le petit Quadriligne ( ce qui eft trop clair), & par l'addition de l'excès d'un autre Sou-quadrifegment fur le Sub-fouquadrifegment, comme il paroît par l'expreffion de la parenthefe fuivante, laquelle expreffion nous donne 3. petits Quadrilignes (2. petits Quadrilignes, plus 2. Sou-quad ifegments moins un Sub-fouquadrifegment;) car comme l'exprefion enfermée dans cette parenthefe n'eft que le développement du troifiéme terme de la feconde colomne qui vient de paroître, l'on y voit palpablement que l'excès d'un Sou-quadrifegment fur le Sub-fouquadrifegment, reftant avec un autre Sou-quadrifegment, en fait un petit Quadriligne. 2°. Par conféquent l'excès du petit Quadriligne fur fe Sou-quadrifegment, eft égal à l'excès du Sou-quadrifegment fur le Sub fouquadrifegment, ou, ce qui eft la même chofe, l'un & l'autre excès eft différence fimple. 3. Il y a une Quadratrice de différence entre 3. Quadrifegments & 3. moitiés de petit Segment. 4°. Trois différences fimples, telles qu'elles ont été établics par la premiere Démonftration, font la Quadratrice, & en font les tiers. Avant que d'exprimer mon cinquiéme Corollaire, je vas ajoûter cette preuve, qui le confirmera conjointement avec les précédents, quoiqu'il n'ait point encore été tiré. Attendu les bornes prefcrites aux 3. différences qui font Quadratrices entre les termes extrêmes de chacune des deux colomnes: voici ce qu'il faut bien pefer. Parce que dans les 3.premiers termes de la troifiéme colomne le Quadrifegment eft à égale diftance de 2. Sou-quadrifegments, l'un inférieur & l'autre fupérieur; fçavoir, à la diftance d'une Quadratrice, il partage également les deux Quadratrices de différence qu'il y a entre deux petits Segments & 8. Sou quadrilignes: donc il cft encore vrai de dire, que dans les trois premiers termes de la feconde colomne, parce que la moitié du petit Segment eft à égale diftance de 2.Sub-fouquadrifegnients, l'un inférieur & l'autre fupérieur, fçavoir, à la diftance de 3. différences fimples, il partage aufli également les 2. Quadratrices qui fe trouvent entre deux petits Segments, & 8. Sou quadrilignes; (femblable raifonnement aura lieu fur les 3. derniers termes de chacune des 2. colomnes, en changeant ce qui eft à changer. ) Non feulement de cette Obfervation je tirerois de nouveau ce Corollaire, qui vient d'être le quatrième. (Donc 3. différences fimples font la Quadratrice, ) & les précedents; mais j'en tire encore, comme des principes ci-deffus ce dernier Corollaire dont il eft principalement queftion, & que je marque par fon nombre. 5°. Le Sou-quadrifegment eft quatriéme terme de Progreffion dans la premiere des 3. colomnes C. Q. F. D. Autres Corollaires pour le Cercle. 1. Donc deux tiers de Quadratrice, qui font un Rectangle, ajoûtés à 2. petites figures toutes, autre Rectangle d'égale bafe, font trois petits Segments, ou, ce qui eft la même chofe, 2. tiers de Quadratrice ajoûtés à 2. petits Quadrilignes font un perit Segment. 2. Donc le Théorême eft démontré, & non-feulement on fçait quarrer le Cercle, mais on fçait plufieurs manieres de le quarrer, puifque les figures qui le bornent, tant en dedans qu'en dehors, font connues par celles dont nous avons démontré la Progreffion arithmétique. Outre celles de ces manieres qui font dans le Livre je vas en donner encore une ; & pour faire en cela honneur aux efforts de l'ancien Traitté, pour lefquels j'aurai toûjours quelques complaifances, j'ajoûterai à la maniere que je propofe de quarrer le Cercle, fa preuve par chiffres. C'eft, fi l'on veut, pour les autres, mais non pas pour moi, le dernier foupir de cette Méthode; le Lecteur peut n'y avoir aucun égard, & s'épargner là de la peine. Que s'il veut y avoir égard, je fuppofe dans ce qui fuit qu'il ait du moins lû le Traitté dans fon entier, pour être un peu au fait, & voir que ceci fe rapporte aux pages 53. & 54. Voici les noms des lignes de chiffres. par A. trois Sinus du Complement de 30°.Cercle 4.B. trois petits Quadrilignes plus 4. grands Segments. C. leur Septuple. D. 4. petites figures toutes. E. 4. Suppléments. F. Somme totale. G. Entiers à ajoûter, & onze Dénominateurs en fraction à retrancher par rapport à la feule ligne immédiatement au-deffus. H. Cercle 12, tant en Somme totale d'Entiers, qu'en refte de Fraction. On ne donne pas cette maniere de former le Cercle douze; comme s'il étoit difficile d'en trouver plufieurs. Par le moyen des tiers de Quadratrice, qui font des Rectangles, à peine finiroit-on de diverfifier cette formation, fans craindre même de s'écarter de fon but. Mais ce que ce dernier calcul a de particulier, c'est l'on n'y employe que des Rectangles d'une grandeur confidérable, fans y en mêler aucun qui puiffe paffer pour être trop minces de pareilles découvertes ne font pas faciles à multiplier beaucoup par principes. que 1. Avertiffemens tendans à faciliter l'intelligence de tout le Traitté. "DGDH are ACB, tranfplanté en D, pour rendre visible le Sou Ans la premiere des trois Figures que contient la Planche du Livre quad:iligne. 2. Autli-tôt après la premiere impreffion, ayant eû plus à ma portée le Graveur que l'Imprimeur, j'avois fait mettre dans la planche du Traité ce que je vas rétablir ici, je fuppofe que l'on pourroit fouhaiter le voir. Problême. Pour un quarré quelconque trouver le Cercle qui lui est égal. Solution. 29, a. 3, b. 7, c. 5, 19, n. 16,0. 11, p. 4, 9. 23 d. 46, e. I f. 1, g. 6, i. , I. 9 S. 14 , t. 21, u. 4, Y. 20, m. Cette Solution eft expliquée dans la page 57. qui précede immédiatement les Vers. 3. Puifque j'ai cû occafion de parler de la planche du Livre, je prie le Lecteur de réformer la divifion de la ligne L. vers le milieu de cette planche. Il s'agira de marquer fimplement triplée la diftance qui fe trouve, fig. 3. entre le point A, & la tangente du Cercle 4. au lieu que les divifions du Graveur ont embraffé toute la ligne L. 4. Si le Lecteur, quoi qu'appliqué, fouffroit quelque difficulté à se mettre au fait des principes qui font particuliers au Livre, je l'exhorte à démembrer d'abord la premiere & la derniere figure de la feule planche que l'on a donnée, en fe repréfentant fur le papier, par ordre, les parties principales de ces figures, chacune avec fon nombre & fon nom particulier, pour pouvoir con pter ces parties, & fe familariser avec elles. Par-là, le Cercle un, le Cercle deux, le Cercle quatre, ( dont les endroits du Livre indiqués ci-deffus, font connoître les différents Centres, & dont les circonférences doivent dans la premiere figure paffer toutes trois par les points A & B;) le grand Segment, le petit Segment, le Sou-fegment; le grand Quadriligne, le petit Quadriligne, le Sou quadriligne; la grande figure toute, la petite figure toute, la Sou-figure toute, occuperont douze chiffres de fuite; & l'on continuëra bien pour les quantités fuivantes de compter, fans que & comme on verra clairement par la fimple comparaifon de 2. figures, que 4. je m'en mêle. On fe repréfentera le Quadrifegment entier ; Sou-quadrilignes font plus grands qu'un feul petit Quadriligne, on fçaura que c'eft un excès réel que j'appelle Sou-quadrifegment; fçavoir, celui de 4. Souquadrilignes fur un petit Quadriligne. Par ces principes, & en fe repréfentant fous des Rectangles, encore à part, le détail de la troifiéme figure de la Planche, on appercevra que la petite figure toute eft, z. petits Quadrilignes plus le Quadrifegment, & que le Rectangle nommé, un petit Quadriligne plus 4. Souquadrilignes, eft, 2. petits Quadrilignes plus le Sou-quadrifegment; Et plein éclairciffement que donnent les Démonftrations de ce nouvel Ecrit, on Içaura que le Quadrifegment contient la Quadratrice avec le Sou-quadrifegment, par le que par conféquent la Quadratrice eft aufli l'excès de la petite figure toute fur le Rectangle nommé un petit Quadriligne plus 4. Sou-quadrilignes. Je ne fais plus que nommer quelques Rectangles, & les diftinguer par des points. On connoîtra comme tels, le Cercle 2. plus 3. petits Quadrilignes. Le Cercle 2. plus 4. grands |