»l'autre; c'eft à quoi nul efprit n'a encore pû atteindre. Certainement ces paroles ne font point d'un Geometre; car ce à quoi nul efprit n'a encore pû atteindre, eft de connoître exactement la dimenfion du Cercle; ce que l'Auteur dit, qu'il eft aisé de connoître. On auroit la Quadrature du Cercle ou le rapport du Cercle au quarré, fi l'on avoit la dimenfion de l'un & dei. tre, & c'est cerapport que les Geométres n'ont pu encore démontrer. Ils n'ont point non plus recherché de correfpondance ni de proportion entre le Cercle & le quarré : de correfpondance ; 'car c'est un terme indéfini, dont ils ne font pas même d'ufage ni de proportion ; car il faut au moins trois grandeurs pour faire une proportion.

Je prie l'Auteur, de croire que c'eft uniquement l'amour de la verité qui me fait déclarer ici ce que je penfe de fa qualité de Geométre. Je crois qu'il n'a point ce noir deffein d'impofer au monde

d'abufer la credulité des Lecteurs. Je crois qu'il dit ce qu'il penfe, comme il le penfe; & qu'il croit démontré ce qu'il affirme démontré. Mais comme il eft rare que les vrais Geométres fe trompent, à cause de la clarté de leurs idées de la précifion de leurs termes, les fimples & ceux qui ne font pas Geométres, prennent fouvent pour certain ce qu'on leur dit être démontré. Voilà pourquoi j'ai cru devoir infinuer aux Lecteurs que l'Auteur ignoroit en Geométrie, ce que favent tous les Geometres, l'état de la queftion de la Quadrature du Cercle. Je ferois un jugement témer ure, fi je jugeois qu'il fe tint offenfe de ma conduite.

Il ne faut pourtant pas conclure de ce que l'Auteur du Livre de la Prémotion Phyfique n'eft point Geométre, & ne prouve point geométriquement la propofition dans toute fon Univerfalité, que la Prémotion foit à rejetter univerfellement. Quand elle fera bien enten

duë, non-seulement elle peut, mais elle doit être admife pour les actes furnaturels ; & en cela il faut rendre à Dieu toute la gloire qui lui eft dûë; mais pour fauver la `liberté, il faut en même tems comme les plus célébres d'entre les Thomiftes, & entr'autres Capreolus fur le Maître des Sentences, liv. 2. dist. 28. quejt. 1. lui fubftituer le simple concours pour les actes en même tems naturels & libres. Je conviens que cela demanderoit une explication ; mais on conviendra auffi que ce n'est point du tout ici le lieu de la donner; ainfi j'entame une au

tre matiere.

&

On tâchera de fe familiarifer tellement avec toutes les nouvelles quantités qu'il m'a fallu mettre en œuvre, combiner, pour ainfi dire, en plufieurs manieres, que les differentes notions que j'ai mises dans l'ordre où elles fe font préfentées, s'arrangent fur nouveaux frais dans la tête de chaque Lecteur, & qu'il ait le plaifir d'être au moins Auteur d'un bel ordre dans la science qu'il aura acquife.

peut

Je m'abstiens donc d'indiquer où se trouvera précisément ce que l'on pourroit chercher ; je rendrois être mon Traitté trop court pour bien des perfonnes, & la même raison m'empêchera d'en faire la Table ou l'Index; mais de peur auffi de rendre cette Préface trop longue, je n'en dirai pas davantage, quand j'aurai encore ajouté les raisons qui ont retardé la publication de ce Traitté.

Dès que j'eûs délivré de l'éxamen de mon Livre, les deux Commiffaires que m'avoit donnés l'Académie des Sciences, je fis quelques tentatives pour avoir la

per

miffion de faire imprimer; mais, dans la néceffité où je me vis de faire pour cela quelques démarches de plus que je ne m'étois attendu, je jugeai à propos, avant de les faire, de groffir un peu mon Traitté, dont je n'avois jufqu'alors prétendu donner que la substance ou même l'ébauche. L'on verra ce qu'y ajoutent le premier & le dernier Livre, lefquels au tems dont j'ai parlé n'étoient pas encore en état de voir le grand jour. Si-tôt que le tout fut prêt, je me ferois empreffé de le faire paroître ; mais il me vint d'autres occupations qui m'en détournerent. Et ce n'eft enfin qu'aujourd'hui que tous obftacles levés, je le donne tel qu'on le voit. Si j'ai négligé de démontrer fcrupuleufement quelque propofition, ou parceque je l'ai cru trop univerfellement connue comme démontrée ailleurs, ou parce qu'elle étoit avoüée de tous les Geométres; on voudra bien fe contenter que je m'impose la loi de la démontrer fur l'avis que j'en recevrai, & ne me pas faire un crime, d'avoir jugé trop favorablement de l'intelligence de mes Lecteurs & du panchant qui les porte eux-mêmes à juger des autres favorablement ; ils n'attribueront donc pas à l'impuissance de mieux faire, ce qui n'en viendroit en aucune façon ; & il fera beaucoup plus doux & plus agréable pour qu'ils m'objectent pour tout reproche la réfléxion que je viens de faire, & qu'ils ne la jugent fondée que fur une espece de terreur panique.

moi

I

LA QUADRATURE DU CERCLE Démontrée géométriquement.

Addition faite au Livre en 1739. pofterieurement à deux autres qui y ont été inferées en differens tems.

I

Le s'agira pour exécuter ce Projet, que de démontrer géométriquement la Propofition qui va paroître fous le nom de Théorême que je lui donnois,liv. 2. pag. 19. du Traitté ci-après, & que je ne faifois profeffion alors de démontrer que par les chiffres ; mais je fuppofe entendues toutes les chofes que contiennent pages 15. 16. 17. 18. 19. la derniere moitié de la page 37. & les trois premieres lignes de la page 38. de ce Traitté, fans quoi l'on voudroit bien m'excuser fi ce qui va fuivre ne paroiffoit pas fort intelligible. L'on n'y trouvera rien qui regarde les chiffres, quoique tout y foit d'un accord parfait avec ceux du Livre.

les

THEOREM E.

Le Cercle deux auquel il manque trois petits Segments, n'eft point rendu parfair par l'addition de deux petites figures toutes, il lui faut encore deux tiers de la Quadratrice.

Il fuffira, dis-je, de démontrer géométriquement ce Théorême, & cela remplira le deffein du premier Titre de ce nouvel Ecrit; de deux petits Quadrilignes plus deux tiers de Quadratrice fe fera le feul petit Segment qui reftoit à fournir & qu'il fuffifoit d'achever pour quarrer le Cercle en queftion.

Propofition qui fe divifera, & fe démontrera par parties.

Pour dire par avance ce que je veux faire voir, en attendant les lumieres qui doivent du moins naître des parties de ma démonstration totale, je propose les termes que contiendra la premiere des trois colomnes qui vont paroître, comme décroiffants en progreffion Arithmétique. J'y forgerai encore, outre les anciens noms, celui du Sub-fouquadrifegment qui fera le dernier de tous, mais je ne ferai d'abord porter la démonftration que fur quelques-uns de ces termes : voici les colomnes dont il s'agit.Le Titre dividendo viendra de ce que j'ôte une différence fimple des termes de la feconde colomne pour former la troifiéme.

Ces termes fe transformeront de plusieurs manieres dans la fuite. On en comprendra la raison par les démonftrations qui auront précédé ces transformations, au par les endroits du Livre que j'ai indiqués, finon je la dirai pour explication.

Premiere Partie de la Propofition ci-dessus.

Le Quadrifegment, la moitié du petit Segment, & le petit Quadriligne, forment, en décroiffant, une proportion arithmétique continuë.

DEMONSTRATION.

Je commence cette Démonftration par une proportion dont les termes ne font pas précisément ceux de la progreffion; ils fe lieront avec eux par les conféquences. quadrifigne

La moitié du Quadrisegment eft arithmétiquement à la moitié du petit egt comme la moitié du petit Segment eft au petit Quadriligne; car on voit dans le Rectangle I F. de la premiere figure du Livre, que ce Rectangle eft également formé, & de l'addition des Extrêmes, & de celle des Moyens de la portion, laquelle par conféquent eft arithmérique. J'en tire deux confequences. Donc le Quadrifegment entier contient pardeffus le petit Quadriligne deux fois l'excès de la moitié du petit Segment fur le petit Quadriligne.

pro

Donc il eft réellement vrai, qu'en defcendant d'une plus grande quantité à une moindre, le Quadrifegment eft à la moitié du petit Segment, comme la moitié du petit Segment eft au petit Quadriligne C. Q. F. D.

Les deux termes fimples, dont il me reste à parler, vont être traittés dans un ordre différent de celui qu'ils tiennent dans la premiere colomne; & pour ne point emploier de preuves qui puiffent même être fufpectes, j'omettrai les raifons qui ne feront pas tout-à-fait fenfibles.

Seconde Partie de la Propofition ci-deffus.

Le Sub-Souquadrifegment eft cinquiéme terme de la progreffion de la premiere colomne, où l'on vient de démontrer bien établis les trois premiers.

DEMONSTRATION.

Qu'on représente en entier le Quadrifegment dans la premiere Figure du Livre la fimple infpection fera voir qu'on peut exprimer la petite figure toute comme le premier des trois termes qui vont fuivre.

Un Quadrifegment, plus deux petits Quadrilignes.

Deux petits Quadrilignes, plus le Sou-quadrifegment.

Deux Sou-quadrifegments, plus un Sub fouquadrifegment.

L'on fçair encore que tous les trois peuvent s'exprimer de ces autres manieres. Deux petits Quadrilignes, plus fe Sou quadrifegment, plus la Quadratrice. Deux petits Quadrilignes, plus le Sou-quadrifegment.

Deux petits Quadrilignes, plus le Sou-quadrifegment, moins la Quadratrice.

*

Un petit Quad iligne, plus 4 Sou-Quadrilignes, plus la Quadratrice.

Un petit Quadriligne, plus 4 Sou quadrilignes.

Un petit Quadriligne, plus 4 Sou-quadrilignes moins la Quadratrice.

Et que par confequent ils font en proportion arithmétique continuë. Ne parlons plus que de la premiere Expreffion. Si l'on en double le moïen terme, on a 4 petits Quadrilignes, plus deux Sou-quadrifegments.

Il s'agit de trouver la même chofe dans l'addition des deux termes extrêmes