Par exemple, fi on a la proportion 12:3 :: 32:8, on en pourra conclure les proportions fuivantes :

Car fi c'est au conféquent que l'on compare, il est facile de voir que l'antécédent, augmenté ou diminué, contiendra ce conféquent une fois de plus, ou une fois de moins qu'auparavant ; & comme cette comparaison fe fait de la même maniere pour le fecond rapport qui, par la nature de la proportion est égal au premier, il s'enfuit néceffairement que les deux nouveaux rapports feront auffi égaux entr'eux.

Si c'eft à l'antécédent que l'on compare, le même raisonnement aura encore lieu, en concevant que dans la proportion fur laquelle on fait ce changement, on ait mis l'antécédent de chaque rapport à la place de fon conféquent, & le conféquent à la place de l'antécédent; ce qui eft permis.

Puifqu'en mettant le troifieme terme d'une proportion à la place du fecond, & réciproquement, il y a encore proportion; on doit conclure que les deux antécédens fe contiennent l'un l'autre autant de fois que les conféquens fe contiennent auffi l'un l'autre.

Donc, la fomme des deux antécédens de toute proportion contient la fomme des deux conféquens, ou est contenu en elle autant qu'un des antécédens contient fon conféquent, ou eft contenu en lui.

Par

12 plus 32 : 3 plus 8 :: 32: 8 ce qui eft évident.

Mais pour s'en convaincre généralement, il n'y a qu'à faire attention que fi le premier antécédent contient le fecond quatre fois; par exemple, la fomme des deux antécédens contiendra le fecond cinq fois; & par la même raison, la fomme des conféquens contiendra le second conféquent cinq fois : donc, la fomme des antécédens contiendra celle des conféquens, comme le quintuple d'un des antécédens contient le quintuple de fon conféquent ; c'est-à-dire, comme un des antécédens contient fon conféquent.

On prouveroit de même que la différence des antécédens eft à la différence des conféquens comme un antécédent est à son conféquent.

Il est évident que la propofition qu'on vient de démontrer revient à celle-ci ; fi on a deux rapports égaux, par exemple, celui de

& celui de

4: 12

7:21

11:33

On aura le même rapport, en ajoutant antécédent à antécédent, & conféquent à conféquent.

Donc, fi on a plufieurs rapports égaux, la fomme de tous les antécédens eft à la fomme de tous les confécomme l'un des antécédens eft à fon conféquent. Par exemple, fi on a les rapports égaux, 4: 127: 21: 2.6, on peut dire que 4, plus

quens,

Ο

7, plus 2, font à 12; plus 21, plus 6, comme 4 est à 12, ou comme 7 eft à 21, &c.

Car, après avoir ajouté entr'eux les antécédens des deux premiers rapports & leurs conféquens auffi entr'eux, le nouveau rapport qui, felon ce qu'on vient de voir, sera le même que chacun des deux premiers, sera aussi le même que le troisieme; par conféquent on pourra l'ajouter de même avec celui-ci, & il en résultera encore le même rapport; & ainfi de fuite.

On appelle rapport compofé celui qui résulte de deux, ou d'un plus grand nombre de rapports, dont on multiplie les antécédens entr'eux, & les conféquens entr'eux. Par exemple, fi on a les deux rapports 12: 4 & 25: 5, le produit des antécédens fera 300; celui des conféquens sera 20; le rapport de 300 à 20, est ce qu'on appelle rapport compofé des rapports de 12 à 4, & de 25

à 5.

Ce rapport eft le même que fi on avoit évalué féparément chacun des rapports compofans, & qu'on eût multiplié entr'eux les nombres qui expriment ces rapports: en effet, le rapport de 12 à 4 eft 3; celui de 25 à 5 eft 5; or trois fois 5 font 15, qui eft le rapport de 300 à 20; & on peut voir que cela eft général, en faisant attention que le rapport est mesuré par une fraction qui a l'antécédent pour numérateur, & le conféquent pour dénominateur ; ainfi le rapport compofé doit être une fraction qui ait pour numérateur le produit des deux antécédens, & pour dénominateur le produit des deux conféquens : c'eft donc le produit des deux fractions qui exprime les rapports compofans.

Si les rapports que l'on multiplie font égaux, le rap

port compofé eft dit rapport doublé, fi on n'a multiplié que deux rapports; rapport triplé, fi on en a multiplié 3; quadruplé, fi on en a multiplié 4; & ainfi de fuite.

Si on a deux proportions, & qu'on les multiplie par ordre, c'est-à-dire, le premier terme de l'une par le premier terme de l'autre ; le fecond par le fecond, & ainfi de fuite; les quatre produits qui en réfulteront, feront en proportion.

Car, en multipliant ainfi deux proportions, c'eft multiplier deux rapports égaux par deux rapports égaux; donc les deux rapports compofés qui en réfultent, doivent être égaux; donc les quatre produits doivent être en proportion.

Concluons de-là que les quarrés, les cubes, & en géné ral les puiffances femblables de quatre quantités en proportion, font auffi en proportion; puisque, pour former ces puiffances, il ne faut que multiplier la proportion par elle-même plufieurs fois de fuite, &c.

DE LA PLANIMÉTRIE,

ου

MESURE DES SURFACES PLANES.

LA Planimétrie eft la partie de la Géométrie, qui enfeigne à mesurer la fuperficie des figures planes : cette fuperficie fe nomme auffi l'aire, ou la furface de ces figures.

Comme les grandes lignes fe mefurent avec d'autres lignes plus petites, comme avec la toife qui a fix pieds de longueur, & le pied qui a douze pouces, de même les fuperficies fe mefurent avec d'autres fuperficies déterminées, comme la toife quarrée, qui a 36 pieds quarrés, & le pied quarré, qui a 144 pouces quarrés ; parce qu'une toife quarrée est un quarré dont chaque côté eft de fix pieds; ou une toife, & un pied quarré est un pied quarré, dont chaque côté eft d'un pied.

Outre ces mesures quarrées, il y en a d'autres affectées à certaines fuperficies: par exemple, pour l'arpentage, ou mesure des terres, on fe fert d'arpent, &c. chaque arpent contient ordinairement 100 perches quarrées; la perche, la chaîne, ou là verge (ces trois mots font fynonymes) eft entre 18 & 25 pieds de longueur, suivant les différens pays, qui ont des mefures & des noms qui leur font particuliers, & qu'on ne connoît que par l'usage des lieux.

La mefure quarrée fe divife ou en parties quarrées,