ou en parties courantes. Lorfqu'une mefure linéaire se divise en plufieurs parties, fa' mefure fuperficielle ou quarrée ABCD, Figure 1, Planche LXX, se divise dans un nombre de parties qui eft le quarré du nombre des parties de la mesure linéaire: ainfi, comme les toifes linéaires fe divifent en fix pieds, la toife quarrée fe divife en 36 pieds quarrés; de même, comme un pied linéaire fe divife en 12 pouces, le pied quarré fe divise en 144 pouces quarrés.

L'on divife encore la mefure quarrée en parties courantes, c'est-à-dire, dont la longueur AB, Figure 2, court fur le tout, ou bien qui eft égale à celle du tout; & la largeur cft de la quantité des parties de la mesure linéaire; ainsi, une toise quarrée se divife en 6 pieds courans, ou en 72 pouces courans fur toife; c'est-à-dire fur la hauteur AC de la toife, qui a 6 ou 72 parties; ce qui s'entendra aifément, fi on fi on obferve que la hauteur AE, qui a un pied, & celle A C, qui en contient six, donne une toise ou 6 pieds; que chaque pied ayant 12 pouces, la toife doit en contenir 72, &c.

PROPOSITION I.

Mefurer la fuperficie d'un Quarré.

Comme le quarré a fes quatre côtés égaux, il faut multiplier un des côtés par lui-même ; le produit fera la fuperficie du quarré.

EXEMPLE, Figure 1, Planche. LX X.

Soit le quarré ABCD, dont chacun des côtés foit de 6 pieds; il faut multiplier 6 pieds par 6 pieds, ou

le côté A B par le côté BC; le produit donnera 36 pieds, ou une toife quarrée pour la fuperficie demandée.

PROPOSITION II.

Mefurer la fuperficie d'un Parallelogramme rectangle.

Il faut multiplier le petit côté par le grand, ou le grand par le petit; le produit fera la fuperficie demandée.

EXEMPLE.

Fig. 3. Au rectangle A B foit le côté A C 12 pieds, & le côté BC, 6 pieds: il faut multiplier AC par BC, ou 12 pieds par 6 pieds, pour avoir au produit 72 pieds pour la fuperficie demandée, ou 2 toifes quarrées.

Fig. 4. Si le parallelogramme n'eft pas rectangle, il faut abaiffer une perpendiculaire A E entre les côtés oppofés, qu'on nomme hauteur du parallelogramme : multiplier la base BC, 6 pieds par la hauteur AE, pieds le produit 30 pieds fera la fuperficie demandée, ou o toife 12 pieds.

PROPOSITION

I I I.

Mefurer la fuperficie d'un Triangle rectangle.

5

Il faut fçavoir que tous triangles rectangles font la moitié d'un quarré, ou d'un triangle: donc, pour les mefurer, il faut connoître la fuperficie du quarré ou rectangle, en prendre la moitié, qui fera la fuperficie du triangle rectangle.

EXEMPLE.

Fig. 5. Soit le triangle rectangle ABC, dont le côté AB foit de 6 pieds, & le côté B C de 12 pieds: comme fes côtés comprennent l'angle droit A BC, il faut multiplier BC par AB, ou 12 pieds par 6 pieds, comme fi l'on vouloit mesurer le parallélogramme ABCD: on aura au produit 72 pieds pour la fuperficie du parallélogramme, dont la moitié 36 pieds fera la fuperficie du triangle rectangle demandé, ou une toife.

Il en fera de même, fi on multiplie le côté BC 12 pieds, par la moitié du côté BA, 6 pieds, qui eft 3 pieds; on aura également au produit 36 pieds ou une toise.

Mefurer la fuperficie de toutes fortes de Triangles rectilignes.

De même que les triangles rectangles font la moitié d'un quarré ou d'un rectangle, tous ces autres triangles font la moitié des mêmes figures, dans lefquelles on peut fuppofer que ces triangles font infcrits; ce qui fera facile de concevoir, fi l'on fuppofe le triangle irrégulier ABC, Figure 6, infcrit dans le rectangle EDCA; car fi du fommet B du triangle ABC on abaiffe la perpendiculaire BF, le triangle fera divifé en deux autres triangles, égaux aux deux triangles de complément AEB & CBD, qui compofent ensemble le rectangle EDAC; car le triangle A F B fera égal au triangle AEB, & le triangle C F B fera égal au triangle CDB: donc, dans tous triangles rectilignes de quelques efpeces qu'ils puiffent être, fi l'on abaiffe une per

pendiculaire de l'un des angles fur le côté oppofé à cet angle, & qu'on multiplie à côté par la perpendiculaire, la moitié du produit fera la fuperficie demandée; ou, fi l'on veut multiplier une de ces deux lignes par la moitié de l'autre, on aura la même chose.

S'il arrivoit qu'un des angles de la base du triangle foit obtus, il faudroit abaiffer la perpendiculaire fur la bafe prolongée.

EXEMPLE.

Soit le côté AC de 9 pieds, & la perpendiculaire BF de 6 pieds ; fi l'on multiplie AC par BF, ou 9 pieds par 6 pieds, on aura 54 pieds, dont la moitié est 27 pour la fuperficie du triangle BAC; ou, fi l'on multiplie 9 par 3, moitié de 6, on aura là même fuperficie, ou o toife, 9 pieds.

Mefurer la fuperficie des Triangles par la connoissance de leurs côtés.

Il faut ajouter les trois côtés enfemble de la moitié de leurs fommes, en fouftraire chaque côté féparément; fi l'on multiplie de fuite cette moitié par les trois reftes, la racine quarrée du produit total fera la fuperficie du triangle propofé.

EXEMPLE.

Fig. 7. Soit le triangle ABC; que le côté B C foit de 13 pieds, le côté BA 14 pieds, & le côté AC 15 pieds: fi on ajoute enfemble ces trois côtés, leur fomme

somme fera 42 pieds, dont la moitié est 21: de cette moitié, fi l'on ôte féparément les trois côtés du triangle, c'est-à-dire 13, 14, 15; il restera 8, 7, 6: il faut multiplier premierement 21 par 8, premier refte; on aura au produit 168 pieds, qu'il faut enfuite multiplier par 7, second refte; on aura au produit 1176 pieds, qu'il faut encore multiplier par 6, troifieme refte; le produit fera 7056 pieds, dont la racine quarrée 84 pieds, fera la fuperficie demandée, ou 2 toises, o, 12 pieds.

Il peut arriver que la fomme des trois côtés d'un triangle n'ait pas fa moitié jufte; alors, pour ne rien perdre, il faut doubler tous les côtés; & on aura une fuperficie quadruple de celle qu'on cherche, dont il faudra prendre le quart.

Si on eft obligé de tiercer, la fuperficie fera neuf fois plus grande, & on prendra le neuvieme.

Cette propofition épargne beaucoup d'opération dans la pratique, fur-tout en arpentage, lorfque, par la grandeur du triangle ou autre empêchement, on ne peut abaiffer de perpendiculaire : cette opération est une des plus belles applications de la racine quarrée, & devient effentielle dans bien des cas.

Mefurer la fuperficie d'un Trapeze rectangle.

Soit le trapeze rectangle ABCD, que le côté AC foit de 7 pieds, & le côté BD de 9 pieds; il faut ajouter ensemble les deux côtés A C & BD; leur fomme fera 16 pieds, dont la moitié eft 8 pieds, qu'il faut multiplier par le côté CD, qui a 10 pieds; on aura au

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