deux de fes côtés l'un par l'autre, ou 4 pieds par 4 pieds; on aura au produit 16 pieds, qu'il faut ajouter à 96 pieds, fuperficie de la pyramide, pour avoir 112 pieds pour la fuperficie totale, compris fa bafe, ou 3 toifes o, 4 pieds.

Si la pyramide n'étoit pas réguliere, il faudroit chercher féparément la furface de chacun des triangles qui la compofent par la méthode indiquée ci-devant; ajouter ensemble toutes fes furfaces, pour avoir celle totale de la base, qui feroit alors un polygone régulier.

Les pyramides polygonales, Fig. 14 & 15, dont les bases font des polygones réguliers, se mesurent de la même maniere, & les bafes par la méthode indiquée ci-devant, qui donnent, par le moyen d'une regle de proportion, leurs fuperficies.

Si les pyramides étoient inclinées, on prendroit leurs hauteurs fur la perpendiculaire abaiffée du sommet telle que la perpendiculaire AM, Fig. 16.

Les pyramides tronquées par un plan parallele à la bafe, Fig. 17, & obliquement, Fig. 18, fe mesurent les côtés ou faces féparément, ainfi que les bafes fupérieures & inférieures : les fuperficies réunies donnent la furface des pyramides tronquées.

PROPOSITION X.

Mefurer la furface convexe d'un Cône droit.

La furface convexe d'un cône droit eft égale au produit de la circonférence de fa base par la moitié d'un des côtés A B, Fig. 19, ou le côté par la moitié de la circonférence; le produit fera la furface demandée, fans

y comprendre sa base, qu'on mesurera comme ci-devant à l'article des cylindres.

EXEMPLE.

Soit le cône droit ABC; que la circonférence de fa base circulaire BHDG foit de 24 pieds, & fon côté BA 18 pieds; il faut multiplier 24 pieds par 9 pieds, moitié de 18; on aura au produit 216 pieds pour la fuperficie du cylindre demandé, ou 6 toises, fans y comprendre fa base.

Si le cône eft oblique, c'est-à-dire, qu'il ait un côté plus long que l'autre, Fig. 20 il faut ajouter enfemble le grand & le petit côté de leur fomme, en prendre le quart qu'il faut multiplier par la circonférence de la base, pour avoir la furface du cône oblique, fans y comprendre fa base.

EXEMPLE.

Soit le cône oblique BADG; que fa base, qui eft circulaire & oblique à l'axe, ait 25 pieds de circonférence, le côté BA, 20 pieds, & celui AD, 16 pieds; il faut ajouter 16 & 20 pieds, qui font 36 pieds, dont le quart est 9 pieds, qu'il faut multiplier par 25 pieds, circonférence de sa base; on aura au produit 225 pieds pour la fuperficie du cône oblique demandé, fans y comprendre fa base, ou 6 toises o, 9 pieds.

les

On pourra se fervir de cette méthode, pour mesurer trompes droites & obliques.

On pourroit encore partager la circonférence de la base du cône oblique en un affez grand nombre d'arcs,

pour que chacun puiffe être confidéré comme une ligne droite, fans erreur fenfible; alors on calculera la furface comme pour une pyramide qui auroit autant de triangles qu'on a d'arcs.

PROPOSITION X I.

Mefurer la furface convexe d'un Cône droit, tronqué par un Plan parallele à fa bafe.

Il faut ajouter ensemble la circonférence de la base du cône & celle de la partie tronquée; prendre la moitié de leur fomme, qu'il faut multiplier par le côté du même cône, pour avoir la surface du cône, fans y comprendre fes deux bases, qu'on mesurera comme cidevant, fi l'on veut connoître la fuperficie totale du cône droit tronqué, & fes deux bases.

EXEMPLE.

Planche LXXII. Soit le cône droit tronqué A B CD; il faut ajouter ensemble les circonférences des deux bases circulaires AB, DC, qu'on fuppofe être 56 pieds, dont la moitié est 28, qu'il faut multiplier par un des côtés AD ou BC de 16 pieds: on aura au produit 448 pieds pour la fuperficie demandée, ou 12 toifes o, 16 pieds.

Si le cône tronqué eft oblique, & que les bases foient paralleles, il faut ajouter ensemble le grand & le petit côté, en prendre la moitié, qu'on multipliera par la moitié de la fomme des deux circonférences; & on aura la fuperficie demandée.

Si le cône droit étoit tronqué obliquement, comme le cône ABCD, Fig. 22, il faudroit opérer comme ci-devant, pour la base inférieure, & pour la base fupérieure qui eft un ovale; il faut ajouter ensemble le grand & le petit diametre de l'ovale; en prendre la moitié, pour avoir un diametre commun; faire enfuite une regle de proportion, en difant 7: 22, comme le diametre commun eft à la circonférence qu'on cherche, & qui fera le quatrieme terme de la regle de proportion; on ajoutera enfuite les circonférences des deux bases; on prendra la moitié, qui fera multipliée par la moitié de la fomme des deux côtés réunis ; on aura la furface du cône droit tronqué obliquement.

EXEMPLE.

Soit la circonférence de la base DC 36 pieds, & la circonférence de la bafe A B 12 pieds; il faut ajouter enfemble les deux bafes, c'est-à-dire, 36 & 12 pieds; leur fomme fera 48 pieds, dont la moitié est 24.

qui

Soit le côté A D 18 pieds, & le côté BC 12 pieds; il faut ajouter ensemble les deux côtés 18 & 12, font 30, dont la moitié eft 15 pieds; on multipliera enfuite 24 pieds, circonférence moyenne des deux bases par 15 pieds, hauteur moyenne des côtés : le produit fera 360 pieds pour la furface convexe du cône droit tronqué obliquement, fans y comprendre fes deux bases, ou 10 toifes.

PROPOSITION XII.

Mefurer la furface convexe d'une Sphere.

La furface convexe d'une fphere eft égale au produit de la circonférence d'un de fes plus grands cercles, multiplié par le diametre.

EXEMPLE.

Soit le diametre AD de la fphere de 24 pieds; la circonférence du plus grand cercle AEDG fera 75 pieds; on multipliera 24 diametres par 75 pieds, circonférence du plus grand cercle; on aura au produit 1810 pieds pour la furface de la sphere demandée, toises O 10 pieds.

ou 50

On aura la même furface, en multipliant le quarré du plus grand diametre de la sphere par 3; ainfi le diametre étant 24 pieds, multipliant 24 pieds par 24, pour avoir le quarré du plus grand diametre; on aura au produit 576 pieds, qu'il faut multiplier par 3 pour avoir au produit 1810 pieds, comme ci-devant, pour la furface de la fphere.

La furface de la sphere eft encore égale à la furface convexe d'un cylindre, Fig. 24, qui lui feroit circonscrit; car la surface de ce cylindre est égale au produit de la circonférence de la base multipliée par la hauteur du cylindre; or la circonférence de la bafe eft celle du plus grand cercle de la sphere, & la hauteur est égale à fon diametre.

La circonférence de la fphere eft encore quadruple de celle d'un de ses plus grands cercles; puisque, pour