Mefurer la folidité d'un Prifme triangulaire.

Fig. 9, par ce prifme on démontre que chacune des pyramides triangulaires, Fig. 10, 11 & 12, qui ont même base & même hauteur, font le tiers du prisme triangulaire d'où elles font émanées ; ce qui prouve qu'une pyramide quelconque eft toujours le tiers d'un prifme de même base & de même hauteur qu'elle; car on peut toujours concevoir un prifme comme compofé d'autant de prifmes triangulaires; c'est - à - dire, qu'un prisme qui auroit 8 pieds de hauteur, peut être confidéré comme 8 prifmes qui auroient mêmes bases & un pied de hauteur: on peut également confidérer une pyramide comme étant compofée d'autant de pyramides triangulaires, qu'on peut concevoir de triangles dans le polygone d'un prifme polygonale, qui fert de base à l'un & à l'autre.

Pour démontrer la vérité de la propofition pour la pyramide triangulaire, foit un prifme triangulaire, Fig. 9: fi, fur les faces de ce prisme, on tire les deux diagonales A F, AG, que, fuivant ces diagonales, on conduise un plan AFG; ce plan détachera du prisme une pyramide, Fig. 10, de même base & de même hauteur que ce prisme, puisqu'elle a fon fommet en A dans la base supérieure du prisme, & qu'elle a pour base la bafe EGF du prisme.

Si on tire une troifieme diagonale DG fur la face DBGF du prisme, que, fuivant cette diagonale & celle AG, on conduise un plan A GD; ce plan détachera

une seconde pyramide, Fig. 11, qui sera triangulaire : ayant pour base le triangle AFG, & pour fommet le point D, on peut fe la représenter comme renversée ou couchée fur la face AFG de la pyramide AE, tracée dans le prisme, & confidérer ensemble ses deux pyramides comme triangulaires, ayant pour base deux triangles égaux, & pour fommets les points F & D.

La troisieme pyramide AG DB, Fig. 9, & sa semblable, Fig. 12, fe trouve naturellement détachée des deux autres, & a pour base celle fupérieure du prisme, & pour fommet le point G, qui a appartenu à la base inférieure ou prisme : cette pyramide eft donc égale à la pyramide A EF G, puifqu'elle a même base & même

hauteur.

Donc, pour avoir la folidité d'une pyramide quelconque, il faut multiplier la furface de fa base par le tiers de fa hauteur.

EXEMPLE.

Fig. 9. Soit le prisme triangulaire AE; fi on le divise en trois pyramides, ainfi qu'on vient de le démontrer, elles auront mêmes bafes & mêmes hauteurs: pour le prouver, soit la base AB du triangle DBA de 8 pieds, & fa perpendiculaire CD 7 pieds: fi on multiplie fa base 8 pieds par 3 pieds 6 pouces, moitié de la perpendiculaire 7 pieds; on aura au produit 28 pieds pour la fuperficie d'une des bases du prisme, qu'il faut multiplier par fa hauteur AE 12 pieds, pour avoir au produit 336 pieds, qui fera la folidité du prisme.

Il s'agit actuellement de prouver que les trois pyramides qui ont été tirées du prifme, produisent ensemble

la même folidité que le prifme entier, en les mefurant féparément.

Soit donc la premiere pyramide A EFG, Fig. 10, dont la fuperficie de sa base soit, ainfi que celle inférieure du prisme, qui eft la même, de 28 pieds, fa hauteur A E 12 pieds: fi on multiplie 28 pieds par 4 pieds, tiers de la hauteur de la pyramide, on aura au produit 112 pieds pour la folidité d'une des pyramides.

Il y en a deux femblables, Fig. 10 & 12; ce qui eft fenfible, qui donneront 224 pieds pour leurs folidités réunies.

Il reste à mesurer la troisieme pyramide, qui a pour base le triangle AFG, & pour hauteur la ligne AD, Fig. 11 il faut d'abord connoître la fuperficie de fa base, & la multiplier, comme ci-devant, par le tiers de sa hauteur, pour avoir la solidité de la pyramide.

Soit donc la base F G du triangle rectangle AFG de 8 pieds, & fa hauteur perpendiculaire FA de 12 pieds fi on multiplie la base 8 pieds par 6 pieds, moitié de la perpendiculaire; on aura au produit 48 pieds pour la fuperficie de la base AFGA, qu'il faut multiplier par 2 pieds 4 pouces, le tiers de la hauteur perpendiculaire, abaiffée du fommet D sur la base de la pyramide AD 7 pieds, qui eft la même que la perpendiculaire CD du triangle DBA, qui forme l'une des bafes du prifme, Fig. 9; on aura au produit 112 pieds pour la folidité de la pyramide.

Si l'on ajoute ensemble le produit ou la folidité des trois pyramides; on aura pour leur folidité réunie 336

pieds, parce que chacune des pyramides ayant 112 pieds de folidité, & multipliant 112 par trois pyramides; le produit fera 336 pour leurs folidités, qui font égales à celle du prifme triangulaire d'où elles font émanées.

PROPOSITION I X.

Mefurer la folidité de la Pyramide quadrangulaire.

On aura, comme on l'a pu voir ci-devant, la folidité des pyramides & des cônes droits, en multipliant leurs bases par le tiers de la perpendiculaire qui tombe du fommet fur les mêmes bases.

EXEMPLE.

Fig. 13. Soit à mesurer la pyramide A BD, dont la bafe a 16 pieds de fuperficie; il faut du fommet A faire tomber perpendiculairement fur la base B D E F la ligne AM, qu'on fuppofe être de 10 pieds: il faut multiplier 16 pieds par le tiers de 10 pieds, qui est 3 pieds 4 pouces; on aura 53 pieds 4 pouces pour la folidité de la pyramide demandée.

Il en fera de même de toutes pyramides droites quelle que foit leur base, en multipliant la fuperficie de chacune des bases par le tiers de la hauteur perpendiculaire de chaque pyramide: on fera la même opération pour les cônes droits.

A l'égard des pyramides obliques, telles que la pyramide oblique, Fig. 16; il en fera de même, en obfervant de prendre la hauteur fur la perpendiculaire

A M. Mêmes obfervations fur lecône oblique, Fig. 20, dont la perpendiculaire A M donnera la hauteur du

cône.

PROPOSITION

X.

Mefurer la folidité de la Pyramide droite, tronquée par un Plan parallele à fa bafe.

Les pyramides & les cônes droits tronqués font mefurés; en multipliant la furface de la base inférieure par la furface de la base fupérieure de leur fomme, en extraire la racine quarrée, qui fera la furface moyenne qu'il faut ajouter aux deux autres; on multipliera enfuite leur fomme par le tiers de l'axe ; & le produit fera la folidité de la pyramide droite tronquée.

EXEMPLE.

Fig. 17. Que la furface de la base inférieure de la pyramide droite tronquée par un plan parallele à sa base, foit 16 pieds, & celle de la base fupérieure 4 pieds il faut multiplier 16 pieds par 4 pieds; le produit fera 64, dont la racine quarrée 8 pieds, fera la furface moyenne, qu'il faut ajouter à 16 pieds & 4 pieds; c'est - à - dire, qu'il faut additionner les trois fommes, 16-4-8 pieds; leur fomme fera 28, qu'on multipliera par 2 pieds, tiers de 6 pieds, hauteur de l'axe A B; le produit donnera 56 pieds pour la folidité de la pyramide tronquée.

On peut encore trouver la folidité de la pyramide droite tronquée par un plan parallele à sa base, en prolongeant les côtés jufqu'à ce qu'ils fe rencontrent