PREMIERE PROPOSITION FONDAMENTALE.

361. Un Mobile qui fe meut en ligne circulaire, décrit ucceffivement une infinité de petites Diagonales, occafionées par l'adion toujours uniforme d'une Force projectile & Pune Force centripete qui le meuvent. (Fig. 29).

DÉMONSTRATION. I°. Un Mobile qui fe meut en ligne circulaire, obéit néceffairement à plus d'une Force motrice: puifque, s'il n'obéiffoit qu'à une feule force, il fe mouvroit en ligne droite, & non en ligne courbe. (308).

Par exemple, fi le Mobile a n'obéiffoit qu'à la force a b: il se mouvroit perfévéramment dans la direction ab, par la tangente.

Si le même Mobile n'obéiffoit qu'à la force ac : il se mouvroit persévéramment dans la direction a c, par le rayon.

Ces deux Forces combinées font néceffaires & font fuffifantes pour produire le Mouvement circulaire du Mobile: comme nous allons le faire voir. Donc il n'y a ni plus, ni moins que ces deux Causes, dans le mouvement circulaire du Mobile.

II°. Un Mobile qui fe meut en ligne circulaire, eft toujours également éloigné du centre de fon mouvement: donc les deux Forces qui tendent conjointement, & à l'approcher & à l'éloigner du centre C de fon mouvement, reftent toujours dans le même rapport entre elles, fans aucune augmentation & fans aucune diminution.

Donc les directions de ces deux forces, font toujours entre elles un Angle droit : puifque fi elles faifoient un angle obtus ou un angle aigu, elles ne conferveroient pas leur même rapport. (348 & 349).

III. Un Mobile qui fe meut en ligne circulaire, doit donc être confidéré dans un point quelconque a de fa Courbe, comme livré à deux Forces motrices

a b & a c, dont les directions par la tangente & par rayon, font toujours un angle droit au centre du Mobile.

le

Donc, par la théorie du Mouvement compofé rectiligne, le Mobile a, obéiffant à l'action des deux Forces confpirantes a & a c, doit dans un tems infiniment petit, décrire la Diagonale a d d'un infiniment petit Parallelogramme rectangle, conftruit fur la direction & fur le rapport des deux forces confpirantes, Donc le Mobile, à la fin de ce tems très-petit, ne fe trouvera ni en b, ni en c, mais en d.

IV. Le Mobile, arrivé en d, eft encore livré à deux forces motrices dx & de, refpectivement égales aux deux précédentes: il parcourra donc encore, dans un tems infiniment petit, la Diagnoale dn.

Dans les tems fuivans, le Mobile parcourra de même, & par le même mécanifme, les diagonales nm & mr, & ainfi de fuite, dans la circonférence entiere du Cercle.

Donc un Mobile livré à l'action toujours uniforme d'une Force projectile & d'une Force centripete, doit décrire, dans une infinité d'inftans infiniment petits, une infinité de petites Diagonales, dont la fomme fera la Courbe circulaire. C. Q. F. D.

SECONDE PROPOSITION FONDAMENTALE.

362. Un Mobile qui fe meut en ligne elliptique, décrit une infinité de petites Diagonales, occafionnées par l'action alternativement croiffante & décroiffante d'une Force projectile & d'une Force centripete qui le meuvent conjointement. (Fig, 28).

EXPLICATION. Sans entrer ici dans aucun détail & fur la nature de l'Ellipfe & fur la cause physique du Mouvement elliptique; objets que nous traiterons avec foin dans la Géométrie & dans l'Aftronomie :

ous fuppoferons que la Figure 28 représente une Elpfe ; & que le Corps mu dans cette Courbe, a touOurs pour centre de mouvement, pendant toute fa évolution, le point F, qui eft l'un des deux Foyers e l'ellipfe. (Math. 749 & 757).

1°. Dans cette Courbe, ainfi que dans la précédene, le Mobile obéit néceffairement à deux Forces confpirantes qui le follicitent conjointement à fe mouvoir, une par le rayon de la courbe, l'autre par la tangente à la courbe.

Le Mobile, par la théorie du Mouvement compofé rectiligne, doit donc, dans chaque tems infiniment petit, décrire les Diagonales de tout autant d'infiniment petits parallelogrammes conftruits fur la direction & fur le rapport des deux forces qui le meuvent. Le Mobile, dans une infinité d'inftans infiniment petits, parcourra donc une infinité de petites Diagonales ad, dn, nr, rs, st,tv, v x, xy, y ?, zi, ik, ko,og, ga, dont la fomme fera la Courbe elliptique.

II. Si les angles que font au centre du Mobile, la direction de la force projectile & la direction de la force centripete, étoient toujours des angles droits, comme dans le Cercle; le Mobile ne s'approcheroit & ne s'éloigneroit jamais du centre F de fon mouvement: parce que ces deux Forces n'étant jamais ni plus ni moins confpirantes dans leurs directions à angles droits, elles conferveroient toujours chacune leur même quantité précife d'action, fans aucune augmentation & fans aucune diminution (348). Elles imprimeroient donc fans ceffe au Mobile, la même quantité de mouvement centripete & de mouvement centrifuge; & ces deux mouvemens, perfévéramment égaux & oppofés, retiendroient toujours le Mobile à la même diftance du centre F de fa révolution.

Mais, fi les directions des deux forces qui meu

premier. Donc il faut que dans le fecond cas, la viteffe de la Balle, foit de beaucoup plus grande, que dans le premier (272). Donc il faut que la Balle ait accéléré Ja viteffe, pendant les différens tems de la chûte. Mais felon quelle proportion, fe fait cette augmentation de vîteffe?

II°. Avant Galilée, la plupart des Philofophes penfoient, fans trop favoir pourquoi, que la vîteffe des Graves, dans leur chûte libre, s'accélere felon la progreffion croiffante des Nombres naturels 1, 2, 3, 4, 5,6,7, & ainfi de fuite: en telle forte que fi un Corps, en tombant librement pendant plufieurs tems égaux, parcouroit une toife dans le premier tems; il devoit parcourir deux toifes dans le fecond, trois toises dans le troifieme, quatre toises dans le quatrieme; & ainfi du refte.

&

III. Galilée, après avoir examiné & approfondi cette matiere, démontra que la vitesse des Graves, s'accélere, non felon la progreffion croiffante des Nombres naturels, mais felon la progreffion croiffante des Nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ainfi de fuite: en telle forte que fi un corps, qui tombe librement pendant plufieurs tems égaux, parcourt une toife dans le premier tems de fa chûte; il doit parcourir trois toifes dans le fecond, cinq toifes dans le troifieme, fept toifes dans le quatrieme, neuf toifes dans le cinquieme, onze toifes dans le fixieme; & ainfi des tems fuivans.

La théorie de Galilée, fur l'accélération des Graves, eft une des plus belles Productions de l'efprit humain: nous allons l'expofer & la mettre en ufage dans tout cet Article.

364. OBSERVATION II. Nous ferons voir ailleurs que la Pefanteur des Corps, a pour caufe unique, la Loi générale de gravitation ou d'attraction, en

vertu

vertu de laquelle tous les corps tenucnt vers certains

centres communs.

Mais quelles que foient & la nature & la caufe de la Pefanteur : il eft certain, & qu'elle exifte, & qu'elle agit perfévéramment dans les Graves. La théorie de fon action, eft donc indépendante de la théorie de fa nature & de fa caufe; & il n'eft ici queftion que de fon action, qu'il s'agit d'évaluer dans fes progrès.

I°. Il est démontré d'abord par les obfervations expérimentales (248),'que la Pefanteur, dans nos Contrées, fait parcourir aux Graves, dans la premiere Seconde de leur chûte libre, environ 15 pieds de France, qui font environ 16 pieds d'Angleterre, ou une Perche angloife.

II°. Il est démontré encore par les obfervations expérimentales, que la Pefanteur augmente à mesure que le Grave qui en eft animé, s'approche du centre de la Terre ; & que cette Puiffance variable croît & décroît dans un même Grave, placé à différentes distances du centre de la Terre, en raifon inverfe du quarré de ces diftances. (254 & 1272).

III. Il est démontré enfin par les mêmes obfervations expérimentales, que la Pefanteur eft fenfiblement la même dans un Grave placé à quelques centaines de pieds plus près ou plus loin du centre de la Terre. Far exemple, (Fig. 13):

Si un Corps D, avec fa ficelle C D, fait précifément équilibre en C avec la balance oppofée: ce même corps, deux ou trois cens pieds plus bas en D, fera encore précisément équilibre avec cette balance.

La raison en eft, que la Gravite des Corps terreftres, croît & décroît en raison inverse des quarrés de leurs distances au centre de la Terre; & que, fi l'on copare le quarré du fimple Rayon terreftre, avec le quarré du même rayon augmenté ou diminué de cert Tome 1. Dd

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