FIG. 42, polygones femblables d'une infinité de côtez, dont les diametres font les côtez homologues; il fuit que les cercles font entr'eux comme les, quarrez de leurs diametres, ce que l'on démontre auffi facilement que pour les triangles femblables. EXEMPLE VIII. Theorême. 8. LES folides femblables font entr'eux comme les cubes de leurs côtez homologues. Soient deux Spheres AB, & CD; ayant nommé le 43. diametre AB de la Sphere AB,a; fa circonference,c; le diametre CD de la Sphere CD,b; fa circonference, d; la Sphere AB, x; & la Sphere CD, y. Il faut démontrer que x.y:: a3.b3. DEMONSTRATION. aac La Sphere AB est égale à “at, & la Sphere CD = bbd ܪ، AAC bbd :: aac, bbd; donc bbdx = aacy: donc x. y :: ant 6 6 bc Mais les cercles étant des polygones femblables, leurs b3cx tion, l'on a =aacy, ou b3x=a3y; donc x.y::a3. A b3. C. Q. F. D. On démontrera la même chose, & de la même mapour les autres folides femblables. niere FIG. 44 9. LES triangles ABC, DEF dont les bafes BC, EF, & les hauteurs AG, DH font en raifon reciproque, font égaux. Ayant nommé BC, a; EF,b; AG, c; DH,d; le triangle ABC, ×; & le triangle DEF, y; l'on aura le Mais (hyp) a. bd. c; donc ac= la premiere équation bdx = DEF. C. Q. F. D. bd acy: donc ac=bd; c'est pourquoi acy devient x=y, ABC On démontrera de la même maniere que les parallepipedes, les prifmes, les cilindres, les cones, & les piramides dont les bases, & les hauteurs font en raison reciproque, font en raison d'égalité. On ne donnera pas davantage d'exemples de la Méthode de démontrer par l'Algebre les Theorêmes de Geometrie: car les quatre Sections fuivantes, où l'on démontrera les proprietez les plus confiderables des Se. ctions coniques, en fourniront un affez grand nombre. FIG. 45, 46, SECTION IV. Des Sections du Cone & du Cilindre. IX. I. DEFINITIONS O GENERALES. N appelle Section Conique, une ligne courbe IDH, qui eft la commune Section d'un Plan 47. EDF, & de la fuperficie d'un Cone ABC, dont A est le fommet; & la bafe eft un cercle dont le diametre est BC. 2. Le triangle ABC eft appellé le triangle par l'axe; parcequ'il eft la commune Section du Cone, & d'un Plan qui paffe par le fommet A, & par le diametre BC de la bafe, & que l'axe du Cone, eft dans le Plan du même triangle ABC. SUPPOSITION. 3. ON fuppofe que le Plan EDF, eft perpendiculaire au Plan du triangle ABC, & que le Plan du triangle ABC, eft perpendiculaire à la base du Cone. COROLLAIRE. 4. D'où il fuit que DG, qui est la commune Section du Plan EDF, & du triangle ABC, eft perpendiculaire à EGF, qui eft la commune Section du même Plan EDF, & de la bafe du Cone; & que la même EGF, est perpendiculaire à BC; & par confequent coupée ( Fig. 45, & 47) par le milieu en G, d'où l'on conclura auffi que fi l'on mene par quelque point Z de la ligne DG,une ligne MN parallele a BC, & une autre ligne IH parallele à EF; ces deux lignes MN, & IH, feront dans un plan parallele à la bafe du Cone, dont la commune Section avec la fuperficie du Cone, fera un cercle qui paffera par les points M, I, N, H, & dont le diametre fera MN, qui coupera à angles droits, & par le milieu en Z, la ligne IH. Il fuit auffi que le point D, qui eft commun à la courbe IDH, & au côté AB du triangle ABC, eft plus prés du fommet A dans les fuppofitions précedentes, que tout autre point de la même Courbe. DEFINITIONS PARTICULIERE.S. 5. LA Section Conique IDH, eft nommée parabole, F 1G. 45. lorfque le Plan coupant EDF, eft parallele à un des cô. tez AC du Cone ou du triangle ABC ; DG est nommée Paxe de la parabole ; D, fon fommet ; DL, l'abciffe, ou la coupée; IL, ou LH, l'appliquée, ou l'ordonnée à l'axe. 6. La Section Conique IDH, eft appellée, ellipfe, F1 c. 46. lorfque le Plan coupant EDF, coupe les deux côtez AB, AC du Cone ou du triangle par l'axe, & n'eft point parallele à la bafe du Cone. La ligne Dd eft nommée Paxe, ou diametre principal; le point K milieu de Dd, de centre, la ligne VKR menée par le centre K perpendiculaire à Dd, l'axe, ou le diametre conjugué à l'axe Dd; DL, l'abciffe ou la coupée; LI, ou LH, l'ordonnée, ou l'appliquée à l'axe Dd. le Il peut arriver un cas où la Section est un cercle, quoique le Plan coupant ne foit point parallele à la base du Cone: mais cela ne fait rien à notre deffein. 7. La Section Conique IDH, eft appellée hyperbole, F16.47. lorfque le Plan coupant EDF, coupe auffi la fuperficie Conique oppofée, & y forme une autre hyperbole edf, oppofée à la premiere, que l'on démontrera ailleurs lui être égale, & femblable; Dd eft nommée l'axe déterminé de l'hyperbole, ou des hyperboles oppofées; D, & d, le fommet de l'axe Dd; DL, l'abciffe, où la coupée ; LI, ou LH, l'appliquée; ou l'ordonnée, le point K milieu de Dd, le centre. PROPOSITION. I. Theorême. FIG. 45. 8. EN supposant les mêmes chofes que l'on a fuppofées dans la Figure où la courbe IDH, eft une parabole; & outre cela, fi on mene DO parallele à BC, ou à MN ; fi on prend =DO, & qu'on mene PQ parallele à DO, ou à MN. Je dis que DL × PQ=LI LH2. AP Puifque le Plan coupant EDF eft ( no. 5.) parallele à AC; AP= DO fera=LN; & ayant nommé les données AO, b; DO, ou AP, ou LÑ, c; PQ, P ; & les inconnues DL, x; & LI, y. Il faut prouver que px ( PQ × DL ) = yy { LI2). DEMONSTRATION. LES triangles femblables AOD, DLM, donnent ecx & par la proprieté du cercle ( LM× LN) =( LI2 ) =yy: mais la reffemblance des triangles AOD, APQ donne b. (AO). c ( OD) : ; c { AP).p(PQ); donc cc bp. Mettant donc bp en la place de ce dans la premiere équation, l'on aura px=yy, C. Q. F. D., A DEFINITION. 9. La ligne PQ =p, est appellée le parametre de l'axe de la parabole. |